数理方程华南理工大学ppt课件

1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法第二章第二章 分离变量法分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微

2、分方程来处理，使问题简单化。22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令( , )( ) ( )u x tX x T t带入方程：2( ) ( )( ) ( )X x Tta Xx T t2( )( )( )( )XxTtX xa T t 令2( )( )0( )( )0XxX xTta T t带入边界条件(0) ( )0,( ) ( )0XT tX l T t(0)0,( )0XX l22222,0,0(0, )0

3、,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 1 求两端固定的弦自由振动的规律一 有界弦的自由振动数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法( )( )0(0)0,( )0XxX xXX l特征固有值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题特征固有值：使方程有非零解的常数值特征固有函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：01）( )xxX xAeBe 00llABAeBe 00ABX02）( )X xAxB00ABX( )cossinX xAxBx0sin0ABl03） 令 ，

4、为非零实数 2(1,2,3,)nnl222(1,2,3,)nnnl222nl( )sin(1,2,3,)nnnXxBxnl数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2222 ( )( )0nna nTtT tl( ) cos sin(1,2,3,)nnnn atn atT tCDnll( , )(cossin)sin(1,2,3,)nnnn an anux tCtDtxnlll11( , )( , )(cossin)sin(1,2,3,)nnnnnu x tux tn an anCtDtxnlll2( )( )0( )( )0XxX xTta T t2222

5、2,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 222(1,2,3,)nnnl( )sin(1,2,3,)nnnXxBxnl数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法01( , )( ,0)sin( )ntnnu x tu xCxxl10( , )sin( )nntu x tn anDxxtll1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanCu2001 cos 2/sindd22llnlnlx xxl001sinsindcoscosd02llnmnmnmxx xx

6、xxllll xxlmxlnCxxlmxlnnldsinsindsin)(010 mCl2lmxxlmxlC0dsin)(2lnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(2数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法)()(),(tTxXtxu2/lnnxlnBxXnnsin)(tlanDtlanCTnnnsincos1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanC11nnnnnTXuulnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(20 XX02 TaT分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离

7、变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 lxxtxuxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22222数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2 解的性质 x=x0时：( , )(cossin)sinnnnn an anux tCtDtxlll其中：22arctannnnnnnnDn aACDlC00(, )sincos()nnnnnux tAxtlcos()sinnnnnAtxlxlnsin驻波法 2nlnlt=t0时：22nnnaflnnvfnllna 22Ta 00( , )

8、cos()sinnnnnnux tAtxl(1,2,3,)n 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。( )(10) 1000 xxx)()(),(tTxXtxuTXTX 410TTXX 41010 XX0104 TT0)()0(), 0(tTXtu 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX0)0(X0)()10(),10(tTXtu0)10(X100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxx

9、xuttututxxutu解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX20 02 XX1010(0)0( )0XABX lAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0(10)sin100XAXB, 3 , 2 , 1,10/nnn100/22nnxnBxXnn10sin)(xBxAxXsincos)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法, 3 , 2 , 1,100/22nnnxnBxXnn10sin)(0

10、104 TT010022 nnTnTtnDtnCTnnn10sin10cos1110sin)10sin10cos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )10sin10cos(10sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnn10sin)10sin10cos(100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu0 XX0104 TT数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法110sin)10sin10cos(nnnxntnDtnCu1000)10(10sin)

11、0 ,(1xxxnCxunn0sin)0 ,(1nnxlnlanDtxu0nD100d10sin1000)10(102xxnxxCn13310) 12(sin) 12(10cos) 12(54nxntnnu100d10sin)10(50001xxnxx)cos1 (5233nn为奇数，为偶数，nnn33540100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波

12、。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法)()(),(tTxXtxu2XTa X T21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(), 0(tTXtu0,010(0)0,( )0XXxXX l0)0(X( , )( ) ( )0u l tX l T tx( )0X l222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt解：例2求下列定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法0,0(0)0,( )0XXxlXX l20 02

13、 XX(0)0( )0llXABX lA eB e0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0( )cos0XAX lBl(21)/2 ,1,2,3,nnln222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxlxBxAxXsincos)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxl20Ta T2222(21)04nnnaTTl(21)(21)cossin1,2,3,22nnnnanaTCtDtnll11(21)(21)(21)(cos

14、sin)sin222nnnnnnananuuCtDtxlllnnnTXu (21)(21)(21)(cossin)sin222nnnananCtDtxlll222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt0 XX20Ta T数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法1(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnananuCtDtxlll21(21)( ,0)sin22nnnu xCxxlxl1( ,0)(21)(21)sin022nnu xnanDx

15、tll0nD202(21)(2 )sind2lnnCxlxx xll2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 23332(21)ln 2( ,0)( ,0)2 ,0u xu xxlxt初始条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 若l=1,a=10时的震动。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第

16、第2 2章分离变量法章分离变量法)()(),(tTxXtxuTXTX TTXX 0 XX0 TT0)() 1 (), 1 (0)()0(), 0(tTXtutTXtu0) 1 (, 0)0(XX 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu例3 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX0202 XX(0)0(1)0XABXAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0B

17、AxxX)(0 BA0)(xX0 X02xBxAxXsincos)(0sin) 1 (, 0)0(BXAX, 3 , 2 , 1,nnn22nnxnBxXnnsin)(02 XX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法, 3 , 2 , 1,22nnnxnBxXnnsin)(0 TT022 nnTnTtnDtnCTnnnsincos11sin)sincos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )sincos(sintnDtnC

18、xnBnnnxntnDtnCnnsin)sincos(xxnCxunnsinsin)0 ,(10sin)0 ,(1nnxnnDtxu0nD1011nnCn，xtusincos10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutuxtusincos数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法lx

19、txuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,22222)()(),(tTxXtxuTXaTX 2TTaXX 210 XX02 TaT0)()0(), 0(tTXtu0)()(, 0)0(lhXlXX 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlXtlhuxtlu例4 求下列定解问题令带入方程：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX02x

20、xBeAexX)(0)()(0)0(llllBhehAeeBeAlhXlXBAX0 BA0)(xX02 XX0BAxxX)(0)()(hAlAlhXlX0A0)(xX0 X0)0( BX02xBxAxXsincos)(0sincos)()(, 0)0(lBhlBlhXlXAXhl/tan, 3 , 2 , 1,nn2nnxBxXnnnsin)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,22222, 3 , 2 ,

21、1,n2nnxBxXnnnsin)(02 TaT022 nnnTaTatDatCTnnnnnsincosnnnTXu 11sinsincosnnnnnnnnxatDatCuuatDatCxBnnnnnnsincossinxatDatCnnnnnsinsincos0 XX02 TaT数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,222221sinsincosnnnnnnxatDatCu0sin)0 ,(1xaDtxunnnn0nD

22、)(sin)0 ,(1xxCxunnnlmmlmxxxxxC020dsindsin)(1sincosnnnnxatCuxxxxxxClmlmnnndsin)(dsinsin001 lmmxxC02dsin数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法nmnmxxxnlm00dsinsin0nmnmnmnmll)sin()sin(21nmnmnmnmnmnmllllllsincoscossinsincoscossin21llllnmnnmmnmnmcossinsincos)(1mmnnnmnmnmnmlllltantancoscos1)(10 xxxlnmnmd)

23、cos()cos(210hl/tan数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法二 有限长杆上的热传导222,0,0,( , )(0, )0,( , )0,0( ,0)( )0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxl)()(),(tTxXtxu2XTa X T 21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(), 0(tTXtu0)()(, 0)0(lhXlXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlXtlhuxtlu令带入方程：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法

24、 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX02xxBeAexX)(0)()(0)0(llllBhehAeeBeAlhXlXBAX0 BA0)(xX02 XX0BAxxX)(0)()(hAlAlhXlX0A0)(xX0 X0)0( BX02xBxAxXsincos)(0)0( )( )cossin0XAX lhX lBlBhlhl/tan, 3 , 2 , 1,nn2nnxBxXnnnsin)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法, 3 , 2 , 1,n2nnxBxXnnnsin)(20Ta T220nnnTa T22na tnnT

25、C ennnTXu 2211sinna tnnnnnuuC ex22sinna tnnnC B ex22sinna tnnC ex222,0,0,( , )(0, )0,( , )0,0( ,0)( )0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxl数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法00sinsind0lmnmnxx xmn20sindlnnxxL令)(sin)0 ,(1xxCxunnnlmmlmxxxxxC020dsindsin)(1sincosnnnnxatCuxxxxxxClmlmnnndsin)(dsinsin001 lmmxx

26、C02dsin221sinna tnnnuC ex222,0,0,( , )(0, )0,( , )0,0( ,0)( )0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxlhl/tan数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法lxxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXXXXTaT 20)()(),(0)()0(), 0(tTlXtlutTXtu0)(, 0)0(lXX令带入方程：令例5 求下列定

27、解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法 0)(, 0)0(00lXXlxXX0202 XXxxBeAeX0X00 XBAxX0X 0202 XXxBxAXsincoslnnxlnBXnnsin0)0(BAX0)( llBeAelX0 BA0)0( AX0sin)(lBlX, 3 , 2 , 1,22nlnnn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法lxxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22202TaT02222nnTlnaTtlnanneAT2222n

28、nnTXu 11sin2222ntlnannnxlneCuuxlneBAtlnannsin22222222sina ntlnnnuC exlxlnBXnnsin, 3 , 2 , 1,22nlnnn1sin)()0 ,(nnxlnCxxuxxlnxlClndsin)(20数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2XXTaT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXX0)()(),(0)()0(),

29、0(tTlXxtlutTXxtu0)(, 0)0(lXX例6 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法 0)(, 0)0(00lXXlxXX0202 XXxxBeAeX0X0)0(BAXlleBeAlX )(0 BA00 XBAxX0BX 0202 XXxBxAXcossinlnnxlnBXnncos0)0(AX0sin)(lBlX, 3 , 2 , 1,22nlnnn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,

30、0,22200BX xlnBXnncos, 3 , 2 , 1,2nlnn02TaT000T00TA002222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu xlneBAtlnanncos2222xlneCtlnancos2222000CAB100cos2222ntlnannnxlneCCuu000TXu 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222100cos2222ntlnannnxlneCCuu10cos)()0 ,(nnxlnCCxxuxxl

31、Cld )(100 xxlnxlClndcos)(20( )1x假设 则u为多少？为什么会出现这样的现象？考虑数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法( ),10,10 xx al假设001( )d2llCx xl022( )cosd2( 1)1()lnnnCxx xllln2222001cosnna ntlnnuuCnC exl有界杆上的热传导杆的两端绝热）数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法xxtuau20|0 xx luu)(|0 xut)()(xXtTu0)() 0 (LXXXXTaT/ )/(2220Ta

32、T20XX22exp()T Aatsin,nlXx )()(xXtTukkkkkXTu),( txuu分离变量流程图数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法三 拉普拉斯方程的定解问题axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222XYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0(), 0(yYaXyauyYXyu0)(, 0)0(aXX1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2

33、章分离变量法章分离变量法axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222 0)()0(0, 0aXXaxXX0202 XXxxBeAeX0X0)0(BAX0)( aaBeAeaX0 BA00 XBAxX0X0202 XXxBxAXcossinannxanAXnnsin0)0( BX0sin)(aAaX, 3 , 2 , 1,22nannn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0

34、,0, 02222xanAXnnsin, 3 , 2 , 1,2nann0 YY0222 nnYanYyannyannneDeCYnnnYXu 1nnuu1sinnyannyannxaneDeCxaneDeCyannyannsinsinnnyyaannnnnuC eD eAxa数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 022221sinnyannyannxaneDeCuxanDCxxunnn1sin)()0 ,(xaneDeCxbxunabnna

35、bnn1sin)(),(xxanxaDCnndsin)(2a0 xxanxaeDeCabnnabnndsin)(2a0022( )( ) sind1n baann banx exx xaaCe022( )( ) sind1n baann banx exx xaaDe数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法22220,0,0(0, )( , )0,0( ,0)( ), ( , )( ),0uuxaybxyuyu a yybxxu xx u x bxxaXYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0

36、(), 0(yYaXxyauyYXxyu0)(, 0)0(aXX例7 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法axxbxuxxubyxyauxyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222 0)()0(0, 0aXXaxXX0202 XXxxBeAeX0X0)( aaeBeAaX0)(BAaXa0 BA00 XBAxX00BX0202 XXxBxAXcossinannxanBXnncos0)0(AX0sin)(aBaX, 3 , 2 , 1,22nannn数学物理方程与特殊函数数学物理方程

37、与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法axxbxuxxubyxyauxyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xanBXnncos, 3 , 2 , 1,22nannn000BX0 YY0000DyCY0 Y00222 nnYanYyannyannneDeCYnnnYXu 000YXu 00000C yDBC yDxaneDeCyannyanncosxanBeDeCnyannyanncosxaneDeCDyCuunyannyannnn1000cos数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法axxb

38、xuxxubyxyauxyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xaneDeCDyCunyannyann100cosxanDCDxxunnn10cos)()0 ,(xaneDeCDbCxbxunabnnabnn100cos)(),(xxanxaDCnndcos)(2a0 xxanxaeDeCabnnabnndcos)(2a01dcos)()(22a0abnabnnexxanxexaC1dcos)()(22a0abnabnnexxanxexaDxxaDd )(1a00 xxaDbCd )(1a000 xxxabCd)(-)(1a00数学物理

39、方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法axxuxxuyyauyuyaxyuxu0, 0),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222XYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0(), 0(yYaXyauyYXyu0)(, 0)0(aXX例8 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法axxuxxuyyauyuyaxyuxu0, 0),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222 0)()0(0, 0aXX

40、axXX0202 XXxxBeAeX0X0)( aaBeAeaX0)0(BAX0 BA00 XBAxX0X0202 XXxBxAXcossinannxanBXnnsin0)0( BX0sin)(aAaX, 3 , 2 , 1,22nannn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法axxuxxuyyauyuyaxyuxu0, 0),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xanBXnnsin, 3 , 2 , 1,2nann0 YY0222 nnYanYyannyannneDeCYyanneD11sinnyannnnxaneDuunn

41、nYXu xanBeDnyannsinxaneDyannsinxanDxxunn1sin)()0 ,(xxanxaDandsin)(20数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2 圆域内的拉普拉斯问题22222yuxuu22,arctanyxxysin,cos221cos,sin/1122222yxyxxyxyxyxuu2222222222222sincoscos2sinsinuuuuuyuxuxuxu2222222222222sinsinsin2sincosuuuuuxuuuuyuxu11222222222cossinuuyuyuyusincosuu22

42、211uu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20),(),(20 , 01100222fuuu), 0(u)2 ,()0 ,(uu)()(),(u0112 0112 欧拉方程 21102 0 )2()0( )2()0(20, 0)()2()()0(例9 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20),(),(20 , 01100222fuuu )2()0(20, 00202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn, 3 , 2 , 1,22nnnnnBnAnnnsincos02 欧拉

43、方程 lntet令ddd1 ddd ddPPtPtt 222d1 d1dd()()ddddPPPttt 0 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20),(),(20 , 01100222fuuu000A, 3 , 2 , 1,2nnnnBnAnnnsincos02 00002 ln000DC 0C02 n022 nnnnnnnnDCnnC000unnnu100sincosnnnnnnnFnEEuu000ECAnnnnnnnnFnECnBnAsincossincos1000sincos)(),(nnnnnFnEEfu222000000111( )d ,(

44、 )cosd ,( )sind2nnnnEfEfnFfn 0 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20,cos),(20 , 01100222uuu)2 ,()0 ,(uu),(u)()(),(u0112 0112 21102 0 )2()0( )2()0(20, 0)()2()()0(例10 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20,cos),(20 , 01100222uuu )2()0(20, 00202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn, 3 , 2 , 1,22nn

45、nnnBnAnnnsincos02 欧拉方程 lntet令ddd1 ddd ddPPtPtt 222d1 d1dd()()ddddPPPttt 0 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20,cos),(20 , 01100222uuu000A, 3 , 2 , 1,2nnnnBnAnnnsincos000000lnCD tCD 0C02 nntntnnnnnnnC eD eCD nnC000unnnu100sincosnnnnnnnFnEEuu000ECAnnnnnnnnFnECnBnAsincossincos1000sincoscos),(nnnnn

46、FnEEu01Ecos0u其它为零0 02 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20, 1),(, 0),(20 , 011222buaubauu)2 ,()0 ,(uu)()(),(u0112 0112 21102 0 )2()0( )2()0(20, 0)()2()()0(例12 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20, 1),(, 0),(20 , 011222buaubauu )2()0(20, 00202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn, 3 , 2 , 1,2

47、2nnnnnBnAnnnsincos数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20, 1),(, 0),(20 , 011222buaubauu000A, 3 , 2 , 1,2nnnnBnAnnnsincos02 欧拉方程 00002 ln000DC 02 n022 nnnnnnnnDC000unnnulnln00000FEDCAnnnnnnDCnBnAsincosnHGnFEnnnnnnnnsincos1000sincoslnnnnnnnnnnnnnHGnFEFEuu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20, 1

48、),(, 0),(20 , 011222buaubauu1000sincoslnnnnnnnnnnnnnHGnFEFEuu0sincosln),(100nnnnnnnnnnaHaGnaFaEaFEau1sincosln),(100nnnnnnnnnnbHbGnbFbEbFEbu0ln00aFE0nnnnaHaG0nnnnaFaE1ln00bFE0nnnnbHbG0nnnnbFbEabaElnln0abFln10其他为零ababaulnlnlnlnabalnln数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法1, 0) 3/,()0 ,(3/0,6sin), 1 (

49、3/0, 1, 011222uuuuu), 0(u)()(),(u0112 0112 21102 0 0) 3/()0( 0)3/()0(3/0, 00)() 3/()()0(例13 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法1, 0) 3/,()0 ,(3/0,6sin), 1 (3/0, 1, 011222uuuuu 0)3/()0(3/0, 00202 BeAe000 AB002sincosBAnn3, 3 , 2 , 1,922nnnnnBnn3sin0)0(A03/sin)3/(B数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2

50、 2章分离变量法章分离变量法1, 0) 3/,()0 ,(3/0,6sin), 1 (3/0, 1, 011222uuuuunBnn3sin, 3 , 2 , 1,92nnn02 0922 nnnnnnnnDC33nnC3nnnu1313sinnnnnnnEuu13sin6sin), 1 (nnnEu2, 0, 12nEEn66sinunnnnnnECnB333sin3sin数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法qypxtpxyxyxutqxutxutqytyputyutqypxyuxuatu0 ,00,0),()0 ,(, 0),(), 0 ,(0,0, 0),(), 0(0,0 ,0,22222)()()(),(tTyYxXtyxuTYXYTXaTXY 2012 TTaYYXX XX YY)(12TTa0 XX0 YY0)(2TaT例13 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法qypxtpxyxyxutqxutxutqytyputyutqypxyuxuatu0 ,00,0),()0 ,(, 0),(), 0 ,(0,0, 0),(),