数学物理方法第三章2019ppt课件

1、目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤立奇点的概念及朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。判定、零点与极点的关系。重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数 无穷级数：一系列无穷多个数无穷级数：一系列无穷多个数w1，w2，w3， wn， 写成写成w1+w2+w3+ wn+ 就称为无穷级数。这仅是一种形就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有式上的相加。这种加法是不是具有和

2、数和数呢？这个呢？这个和数和数的确切意义是什么？的确切意义是什么？ 为什么要研究级数？为什么要研究级数？ (1) (1) 级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具； (2) (2) 常微分方程的级数解。常微分方程的级数解。 研究级数需关心的问题：研究级数需关心的问题： (1) (1) 级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据； (2) (2) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。复数项级数定义复数项级数定义 形如形如 的表达式被称为复数项级数，其中的表达式被称为复数项级数，其中

3、是复数。是复数。kkkwuiv每一项收敛性问题归结为两个实数项级数每一项收敛性问题归结为两个实数项级数111limlimlimnnnkkknnnkkkwuiv极限存在并有限极限存在并有限部分和部分和111nnnnkkkkkkswuiv121,kkkwwww收敛性收敛性问题问题 若在区域内某一点若在区域内某一点z0z0点，前点，前n n项和极限存在项和极限存在, ,那那么么 00lim()() nnszs z那么级数那么级数 在在z0z0点收敛，点收敛，1kkw为该无穷级数的和；否则称为发散。为该无穷级数的和；否则称为发散。0()s z 柯西判据：复数项级数收敛的充要条件是，对于柯西判据：复数项

4、级数收敛的充要条件是，对于任一小的正数任一小的正数 ，必存在一，必存在一 N 使得使得 nN 时有时有1,n pnkkw 式中式中 p 为任意正整数为任意正整数2211kkkkkwuv假设假设收敛，则称收敛，则称1kkw绝对收敛绝对收敛 判别法：判别法： 的每一项都是复数的模，即正实数，所以它的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级数的判别法。别法即正项级数的判别法。1kkw复变函数项级数：复变函数项级数：121()()()(),kkkwzwzwzwz每一项都是复变函数每一项都是复变函数 实际

5、上，对于实际上，对于 z z 的一个确定值，复变函数项的一个确定值，复变函数项级数变成一个复数项级数。级数变成一个复数项级数。 复变函数项级数有一个定义域复变函数项级数有一个定义域 B 。它的收敛的。它的收敛的概念应当是相对于这个定义域而言的。概念应当是相对于这个定义域而言的。一致收敛一致收敛收敛收敛复变函数项级数在其定义域复变函数项级数在其定义域 B B中每一点都收中每一点都收敛，则称在敛，则称在B B中收敛。它满足柯西判据：中收敛。它满足柯西判据：对于一小正数对于一小正数 ，必存在一，必存在一N(z)N(z)使得使得nN(z)nN(z)时有时有1( ),n pkk nw z N 与与 z

6、无关无关收敛，但收敛，但N(z) N(z) 与复变量与复变量 z z有关有关给定给定 ，有一个统一的，有一个统一的 N 使判据得到满足使判据得到满足绝对一致收敛绝对一致收敛在区域在区域 B B 中，复数项级数的各项满足中，复数项级数的各项满足 而常数项级数而常数项级数( ),kkw zm1kkm收敛。收敛。即在各点都绝对收敛即在各点都绝对收敛一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质 性质性质1 1： 若级数若级数 在在B B内一致收敛于内一致收敛于s(z)s(z)，且，且其各项均为其各项均为B B内的连续函数，则内的连续函数，则s(z)s(z)也是也是B B内的连续函数。内的连续函数。1( )kk

7、wz 性质性质2 2： 若级数若级数 在曲线在曲线l l上一致收敛于上一致收敛于s(z)s(z)，且各项均为且各项均为l l上的连续函数，则级数可沿上的连续函数，则级数可沿l l逐项积分：逐项积分：1( )kkwz1( )( )kllks z dzwz dzkkkkkzzazzazzaazza)()()()(020201000为以为以 为中心的幂级数为中心的幂级数. .0z1 定义定义幂级数：常用的一种级数，实变函数幂级数的推广幂级数：常用的一种级数，实变函数幂级数的推广20120 kkkkka zaa za za z00z 时时 定理定理 ( (阿贝尔阿贝尔Abel) Abel) 如果级数如

8、果级数 在在z=z0(0)z=z0(0)收敛，那么对满足收敛，那么对满足 的的z z，级数必绝对收敛；如果，级数必绝对收敛；如果在在z=z0z=z0级数发散，那么对满足级数发散，那么对满足 的的z z，级数必发散。，级数必发散。0kkka z0zz0zz复常数复常数复常数复常数证证由收敛的必要条件由收敛的必要条件, , 有有0lim0kkka z因而存在正数因而存在正数M, 0 , kka zM使对所有的使对所有的k, 有有 , 0zz 如如果果 , 1 0 qzz那末那末因为级数因为级数 收敛，收敛，00kkka z而而00kkkkkkza za zz由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较

9、判别法知: :0 kkka z20120kkkkka zaa za za z收敛收敛. .另一部分的证明请课后完成另一部分的证明请课后完成. . nMq证毕证毕故级数故级数 是绝对收敛的。是绝对收敛的。2. 2. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数, , 其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种: :(1) (1) 对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛. .由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知: :级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛. .例如例如, , 级数级数2212kkzzzn对任意固定的对任意固定的z, z, 从某个从某个k k开始开始, ,

10、总有总有1,2zk于是有于是有1,2kkkzk故该级数对任意的故该级数对任意的z z均收敛均收敛. .(2) 对所有的正实数除对所有的正实数除 z=0 外都发散外都发散.此时此时, , 级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散. .(3) (3) 既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, , 也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数. .例如例如, ,级数级数2212kkzzk z , 0 时时当当 z通项不趋于零通项不趋于零, , ;,级级数数收收敛敛时时设设 z.,级数发散级数发散时时 z如图如图:故级数发散故级数发散. .xyo . .R收敛圆收敛圆

11、收敛半径收敛半径幂级数幂级数0kkka z的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域. . 在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, , 不能作出不能作出一般的结论一般的结论, , 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析. .注意注意问题问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 幂级数幂级数0()kkkaza的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域? ?问题问题1:答案答案: :. 为中心的圆域为中心的圆域是以是以az 0020kkkkkkzzkzk收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点; ;在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处

12、处收敛. .例如例如, , 级数级数: :1, 1 zR收敛圆周收敛圆周均为均为;,1在其它点都收敛在其它点都收敛发散发散在点在点 z3. 3. 收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1: 1: 比值法比值法( (定理二定理二):):那末收敛半径那末收敛半径.1 R, 0lim 1 kkkaa假如假如证证由于由于, z zaazazakkkkkkkk111limlim 收敛收敛. . 0kkkza, 1 时时当当 z据阿贝尔定理据阿贝尔定理, ,. 01必收敛必收敛级数级数 kkkza, 1 1zz外再取一点外再取一点在圆在圆 , 01zz 使使, 0收敛收敛使级数使级数 kkkza, 1 0z

13、z外有一点外有一点假设在圆假设在圆 根据上节前面讨论根据上节前面讨论, , 0 kkkza级数级数, 1 内收敛内收敛在圆在圆 z所以收敛半径为所以收敛半径为.1 R证毕证毕. 1 , 1 1时时然而当然而当 z11111limzzazakkkkk 即假设不成立即假设不成立 . ., 01收敛相矛盾收敛相矛盾与与 kkkza, 1 0外发散外发散在圆在圆故故 zzakkk假如假如: :即即. R . 2( (极限不存在极限不存在),),即即. 0 R注意注意:存在且不为零存在且不为零 . .定理中极限定理中极限kkkaa1lim , 0. 1 , 0在复平面内处处收敛在复平面内处处收敛则级数则

14、级数 kkkza, , 0 0 0 0均发散均发散以外的一切以外的一切对于复平面内除对于复平面内除则级数则级数zzzakkk k= = =课堂练习课堂练习 试求幂级数试求幂级数 1npnnz)( 为为正正整整数数p的收敛半径的收敛半径. .pnn)11(1lim . 1 答案答案，因为因为pnka1 . 11 R所以所以pnnnnnnaa)1(limlim1 方法方法2: 2: 根值法根值法( (定理三定理三) )那末收敛半径那末收敛半径.1 R说明说明: : 0 0 RR( (与比值法相同与比值法相同) )假如假如, 0lim kkka假如假如4. 4. 复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数

15、在收敛圆内的性质定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,R那末那末 00)(kkkzza是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数 .(1) 0)()( kkkz0zazw它的和函数它的和函数Rz0z (2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, )(zw.)()(11 kkkz0zkazw即即Rz0z 简言之简言之: 在收敛圆内在收敛圆内, 幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导, , 逐项积分逐项积分. .( (常用于求和函数常用于求和函数) )(3)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, )

16、(zw即即 0.,d)(d )(kckkcRazczz0zazzw 01.)(1d)( kkkzaz0zkawz zz z或或 记记 CR1上点为上点为， CR1内任一点为内任一点为 z，则圆上的幂级数可，则圆上的幂级数可写为写为利用柯西公式利用柯西公式用有界函数用有界函数ziz121相乘后，在相乘后，在CR1上一致收敛上一致收敛1R111201020C2010201( )2()()111222()()( )RRRCCCwdizaazazdddizizizaa zza zzw zzzzzzzzzzzz0zzC1RC 6 幂级数的和与回路积分。201020( )()()waazazzzz乘以乘以

17、1)(12!nzinz11111201020111( )( )2 ( )( )01020!( )2()()()!222()()()()() ( )RRRRnCnnnCCCnnnnnwdizaazaznnniiizzzaa zza zzwzzzzzzzzz幂级数在收敛圆内可任意逐项求导，还可以逐项积分。幂级数在收敛圆内可任意逐项求导，还可以逐项积分。0zzC1RC 结论：幂级数的和可表为连续函数的回路积分。5、典型例题例例1 1 求幂级数求幂级数的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数. .解解级数的部分和为级数的部分和为 kkkzzzz201)1( ,11112 zzzzzzskkn1 z级数级数

18、收敛收敛,1 z级数级数发散发散.收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域, 1 z由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:在此圆域内在此圆域内, 级数绝对收敛级数绝对收敛, 收敛半径为收敛半径为1,zskk 11lim 0kkz0lim kkz 0kkz且有且有.1112 kzzzz例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径: :(1) 13nnnz( (并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形) )(2) 1)1(nnnz( (并讨论并讨论2,0 z时的情形时的情形) )解解 (1)3)1(lim nnn因为因为, 1 nnnaa1lim 或或. 11lim3 nnnnnnnnna3

19、1limlim 所以收敛半径所以收敛半径, 1 R即原级数在圆即原级数在圆1 z内收敛内收敛, , 在圆外发散在圆外发散, , 收敛的收敛的p级数级数 ).13( p所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的. .在圆周在圆周1 z上上, 级数级数 13131nnnnnz说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有也有 级数的发散点级数的发散点.原级数成为原级数成为,1)1(1 nnn交错级数交错级数, , 收敛收敛. .发散发散. .原级数成为原级数成为,11 nn调和级数，调和级数，,2时时当当 z,0时时当当 z(2),1 1liml

20、im1 nnaannnn. 1 R即即故收敛半径故收敛半径.1eR 0)(cosnnzin例例3求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径: :解解),(21coshnneen inancos 因为因为, e nnnnnnnneeeeaa 111limlim 所以所以解解所以所以.2221 R例例4 0)1(nnnzi求求 的收敛半径的收敛半径. .,24ie )4sin4(cos21 ii因为因为;)2(4inne nnia)1( nnn)2()2(lim1 . 2 nnnaa1lim 例例5 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解. 1 R所所以以利用逐项积分

21、利用逐项积分,得得: 0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1zz .)1(12z 1 z12limlim 1 nnaannnn因为因为例例6 求级数求级数 01)12(nnnz的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解.21 R所所以以,21时时当当 zzzznnn 11212)12(11故故, 2 , 12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 1212limlim 11 nnnnnnaa因为因为例例7 计算计算.21,d)(1 zczzcnn为为其中其中解解,21内内在在

22、 z 1)(nnzzS和和函函数数 czzzId)111(所以所以02 i,1收敛收敛 nnz 01nnzz,111zz cczzzzd11d1.2 i 问题问题: : 任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？ 0rz z z, )( 内解析内解析在区域在区域设函数设函数Dzf , 0为中心的任一圆周为中心的任一圆周内以内以为为zD , , KD 记为记为它与它的内部全包含于它与它的内部全包含于DKz.内任意点内任意点如图如图: :r0z.K.z zrz 0z z圆周圆周由柯西积分公式由柯西积分公式 , , 有有 Kzfizf,d)(21)(z zz zz z其中其

23、中 K 取正方向取正方向.0001111zzzzz z zz zz z那么那么, , 的内部的内部在在点点上上取在圆周取在圆周因为积分变量因为积分变量KzKz z. 1 00 zzzz z所以所以 200000)()(11zzzzzzzz zz zz z nzzz)(00z z 0010.)()(1nnnzzzz z KNnnnzzzfi.d)()()(21010z zz zz z 10010)()(d)(21)( NnnKnzzzfizfz zz zz z于是于是由高阶导数公式由高阶导数公式, , 上式又可写成上式又可写成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中

24、KNnnnNzzzfizRz zz zz zd)()()(21)(010可知在可知在K内内 000)()(!)()(nnnzznzfzf, 0)(lim zRNN假设假设, )( 内可以用幂级数来表示内可以用幂级数来表示在在即即Kzf令令qrzzzzz 000z z则在则在K上连续上连续, 即存在一个正常数即存在一个正常数M,.)( MfK z z上上在在, 10, qq且且无关的量无关的量是与积分变量是与积分变量z z , )( )(内解析内解析在在DKDzf , )( 上也连续上也连续在在因而因而Kfz z, )(上有界上有界在在 Kfz zszzzfzRKNnnnNd)()()(21)(

25、010 z zz z KNnnszzzzfd)(21000z zz zz z NnnrqrM221N.1MqqK0)(lim zRNN在在内成立内成立,Nlim0Nq从而在从而在K内内 圆周圆周K的半径可以任意增大的半径可以任意增大, ,只要只要K内成立内成立. .D在在 000)()(!)()(nnnzznzfzf的泰勒展开式的泰勒展开式,)(zf在在0z泰勒级数泰勒级数假如假如0z到到D的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立dzz 0因为凡满足因为凡满足dzz 0的的z必能使必能使.dR 即即由上讨论得重要定理由

26、上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理)(zf在在0z的泰勒级数的泰勒级数的收敛半径的收敛半径R至少等于，至少等于，d但但成立，成立， 000)()(!)()(nnnzznzfzf其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设)(zf在区域在区域D内解析内解析,0z为为D 内的一内的一d为为0z到到D的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 那末那末点点,dzz 0时时,成立成立,当当 00)()(kkkzzazf, 2, 1 , 0),(!10)( kzfkakk说明说明:1.1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多时弱得多;

27、 (; (想一想想一想, , 为什么为什么?)?)4.4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. . (为什么为什么?);,0. 30级数称为麦克劳林级数级数称为麦克劳林级数时时当当 z; , , )( . 200zdzdDzf 即即之间的距离之间的距离一个奇点一个奇点到最近到最近等于等于那么那么内有奇点内有奇点在在假如假如 )( zf因为解析，可以保证无限次可各因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性阶导数的连续性; 所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多要比实变函数广阔的多. .注意注意问题：利用泰

28、勒级数可以将函数展开为幂级问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？数，展开式是否唯一？那末那末,)(00azf ,)(10azf 即即因而因而, , 任何解析函数展开成幂级数的结果就是任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数泰勒级数, , 因而是唯一的因而是唯一的. . 202010)()()(zzazzaazf,)(0 kkzza, )(!10)(zfkakk : )( 0已被展开成幂级数已被展开成幂级数在在设设zzf常用方法常用方法: : 直接法和间接法直接法和间接法. .1.1.直接法直接法: :,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn由泰勒展开定理计算系数由

29、泰勒展开定理计算系数. )( 0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf例如，例如，. 0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze,)( )(znzee 因为因为, 在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze. R所所以以级级数数的的收收敛敛半半径径仿照上例仿照上例 , , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的的泰泰勒勒展展开开式式在在与与可可得得 zzz2. 2. 间

30、接展开法间接展开法 : : 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , , 结合解结合解析函数的性质析函数的性质, , 幂级数运算性质幂级数运算性质 ( (逐项求导逐项求导, , 积分等积分等) )和其它数学技巧和其它数学技巧 ( (代换等代换等) , ) , 求函数求函数的泰勒展开式的泰勒展开式. .间接法的优点间接法的优点: : 不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 , , 因而比因而比直接展开更为简洁直接展开更为简洁 , , 使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛 . .例如，例如， )(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(

31、!)(21nnnnniznizi. 0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求 zz附附: 常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7

32、zzzz ,!)1()1( nznn )1( z例例1 1. )1 (1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z, 11)1(12 zzz上上有有一一奇奇点点在在由由于于,1内内处处处处解解析析且且在在 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成 z zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式两边逐项求导上式两边逐项求导, ,例例2 2. 0 )1ln( 泰泰勒勒展展开开式式处处的的在在求求对对数数函函数数的的主主值值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴

33、剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z. 1 的的幂幂级级数数内内可可以以展展开开成成所所以以它它在在zz 如图如图,1OR=1xyzzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的的曲曲线线到到内内从从为为收收敛敛圆圆设设zzC 例例3 3. 231)( 的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321n

34、nnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即例例4 4 .0arctan的的幂幂级级数数展展开开式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因因为为1,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所所以以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn例例5 5.cos2的的幂幂级级数数求求z解解),2cos1(21cos2zz 因因为为 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 221

35、65432例例6 6.1展展为为麦麦克克劳劳林林级级数数将将zez 解解,1)(zezfz 令令即微分方程即微分方程0)()()1( zzfzfz对微分方程逐次求导得对微分方程逐次求导得:, 1所所以以收收敛敛半半径径为为, 1 内进行展开内进行展开可在可在 z, 11 zzez的的唯唯一一奇奇点点为为因因为为求求导导得得对对)(zf,1)(zzezfz , 2)0(, 1)0(, 0)0(, 1)0( ffff得得由由的的麦麦克克劳劳林林级级数数为为所所以以)(zf. 1,31211132 zzzzez0)()()1()()1( zfzfzzfz0)()2()()1( zfzzfz例：例：2

36、46( )1,1fzzzzz和和21( ),1F zzzi 解析延拓：将解析函数定义域加以扩大解析延拓：将解析函数定义域加以扩大概念：若概念：若f1(z)和和f2(z)分别在分别在D1,D2内解析，且在内解析，且在D1与与D2重叠重叠的区域中有的区域中有f1(z)=f2(z)，则称，则称f2(z)为为f1(z)在在D2中的解析延拓，中的解析延拓， f1(z)为为f2(z)在在D1中的解析延拓。中的解析延拓。 同一个解析函数在不同区域内同一个解析函数在不同区域内有不同的表达式，如例子有不同的表达式，如例子11zzi1z 问题：知问题：知 f(z) f(z) 在在 b b 中解中解析，是否存在析，

37、是否存在 F(z) F(z) 在在 B B 中解中解析析b bB B ，且在，且在 b b 中中 F(z)=f(z) F(z)=f(z) 。这个过程叫解析延。这个过程叫解析延拓。拓。Bb0z解析延拓的方法解析延拓的方法 在在 b b 中取点中取点z0z0，又取，又取z0 z0 的一个邻域，将的一个邻域，将 f(z) f(z) 展开为展开为泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域 b b 进进入区域入区域 B B 则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，可以逐渐将函数解析延拓。法，可以逐渐将函数解

38、析延拓。 可以证明，无论采用何种方法，函数可以证明，无论采用何种方法，函数 f(z) f(z) 的解析延拓的解析延拓是唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延是唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延拓。拓。证明：利用解析函数零点的孤立性证明：利用解析函数零点的孤立性含参量积分：含参量积分：0,d)(01 s，xexsxs0, 0,d)1(),(1011 qp，xxxqpqp称为格马称为格马 (Gamma) 函数写作函数写作函数）函数）.它们在应用中经常出现，统称为欧拉积分，它们在应用中经常出现，统称为欧拉积分，称为贝塔称为贝塔 (Beta) 函数写作函数写作B函数）函数）

39、.下面分别讨论这两个函数的性质下面分别讨论这两个函数的性质. 3.4.1 3.4.1 函数与函数与函数函数1. 1. 积分区间为无穷积分区间为无穷; ;函数函数0,d)(01 s，xexsxs特点特点: :函数函数2. 2. 当当 s - 1 0 s - 1 0 时，时，x = 0 x = 0 为瑕点为瑕点; ;写写函数为如下两个积分之和：函数为如下两个积分之和： 1110101ddd)(xexxexxexsxsxsxs)()(sJsI 其中其中 11d)(xexsJxs 101d)(xexsIxs当当 s 1 s 1 时，为正常积分，当时，为正常积分，当 0 s 10 s 0 s 0 时收敛

40、时收敛. . 01d)(xexsxs所以所以函数函数在在 s 0 s 0 时收敛时收敛. . 即即函数的定义域为函数的定义域为 s 0 1. 函数在定义域函数在定义域 s 0 内连续且可导内连续且可导 01dln)(xxexsxs 01)(d)(ln)(xxexsnxsn2. 递推公式递推公式)()1(sss !)1(nn 3. 函数图象的讨论函数图象的讨论 yx121函数的性质函数的性质, 2, 1 n4. 延拓延拓)(s sss)1()( 5.)(s 的其他形式的其他形式令令 x = y2 , 有有 01201d2d)(2yeyxexsysxs令令 x = py , 就有就有 0101dd

41、)(yeypxexspyssxs函数函数0, 0,d)1(),(1011 qpxxxqpqp),(),(d)1(d)1(),(1211121011qpJqpIxxxxxxqpqpqp 当当 p 1 p 1 时，时，I (p, q) I (p, q) 为正常积分，当为正常积分，当 0 p 10 p 1时收敛时收敛. .当当 q 1 q 1 时，时，J (p, q) J (p, q) 为正常积分，当为正常积分，当 0 q 10 q 0 , q 0 时时, B(p, q) 收敛收敛.即即B(p, q)函数的定义域为函数的定义域为 p 0 , q 01. B( p, q )在定义域在定义域 p 0,

42、q 0 内连续内连续2. 对称性：对称性：B( p, q ) = B( q, p ) 3. 递推公式递推公式1, 0),1,(11),( qpqpqpqqp0, 1), 1(11),( qpqpqppqp1, 1),1, 1()2)(1()1)(1(),( qpqpqpqpqpqp B(p, q) B(p, q)函数的性质函数的性质4. B( p, q ) 的其他形式的其他形式 2cos x令令 201212dcossin2),( pqqp则有则有令令yyx 1则有则有 01dy)1(),(qppyyqp令令ty1 则有则有 1011dy)1(),(qpqpyyyqp函数与函数与函数之间的关系

43、函数之间的关系) 0, 0()()()(),( qpqpqpqp例例计算计算).21(),21(),25(),25(nn )25(解解 )23(23 )21(2123 43 )25( 25)23(52 )23()21( )21()21(3252 158 )121()121()21( nnn 212n )21(21232n nn2!)!12( xxxde)21(0121 xxxde021xxde202 nnn 21)121()21()21(12322122 nn !)!12(2)1( nnn例例计算计算.dsin,dsin2012202 uuuunn解解 2012121)21(2202dcoss

44、indsin uuuuunn)1()21()21(21)21,21(21 nnn !2!)!12(21nnn 2!)!2(!)!12( nn 2012121)1(22012dcossindsin uuuuunn)23()21()1(21)21, 1(21 nnn )21()21()21()1(21nnn!)!12(!)!2( nn一、问题的引入问题问题: . , )( 00的幂级数的幂级数是否能表示为是否能表示为不解析不解析在在如果如果zzzzf 负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛kkkzza)(. 10 双边幂级数双边幂级数 kk

45、kkzza)(0kkkkkkzzazza)()(0001 10)( zzz z令令收敛半径收敛半径收收敛敛时时,R z z101RRzz 收敛域收敛域收敛半径收敛半径2R20Rzz 收敛域收敛域:)1( 21RR 若若两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分, ,:)2(21RR 两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分.201RzzR Rkkkzza )(01kkkzza)(00 kkkaz z 1结论结论:.201RzzR 圆圆环环域域1R2R.0z常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z的收敛区域为的收敛区域为双边幂级数双边幂级数kkk

46、zza)(0 :10 内内在在圆圆环环域域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析, ,但在圆环域但在圆环域10 z及及110 z内都是解析的内都是解析的.)1(1)(zzzf 2. 问题问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数成级数?,111zz 而而1,1112 zzzzzk所以所以)1(1)(zzzf 即即在在)(zf10 z内可以展开成级数内可以展开成级数. .内内，在在圆圆环环域域110 z也可以展开成级数：也可以展开成级数：)1(1)(zzzf )1(1111zz,121 kzzzz kzzzz)1()1()1(

47、1112.)1()1()1(1)1(121 kzzzz二、洛朗级数定理定理内内处处处处解解析析，在在圆圆环环域域设设 )( 201RzzRzf C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 0z内内可可展展开开成成洛洛朗朗级级数数在在那那末末Dzf )( ,)()(0kkkzzazf ),1,0( n为洛朗系数为洛朗系数. Ckkzfiaz zz zz zd)()(21 10其中其中2K1KB RR21CCf f 11f(z)=d -d2i - z2i - z证证)()(1100zzzz z zz z因因为为对于第一个积分对于第一个积分: : 111100000zzz

48、zzzzzz zz z0zRr2R.z1RC2RC1R.z z 00001kkzzzzz zz z,)()(0100 kkkzzzz z对于第二个积分对于第二个积分:( )R1C1f d2i - z)()(11 00zzzz z zz z因因为为 100zzzz z000111zzzzz z zz zz zz zd)(21R2 Czfi所以所以kkkzza)(00 kkKkzzzfi )(d)()( 2101101z zz zz z其中其中z zz zz zd)( 21R1 Czfi那么那么 1010)()(kkkzzzz z,)()(10110kkkzzz z z)()(d)()( 2101

49、1101zRzzzfiNkNkKk z zz zz z )(zRNz zz zz zd)()()( 211010 KNkkkzzfzi下面证明下面证明.0)(lim1外部成立外部成立在在 KzRNN 000 zzrzzzq z z令令. 10, q无无关关与与积积分分变变量量z z1000( )1( )d2RkNCk NfzRzszzzzzz)()( 的连续性决定的连续性决定由由因为因为又又zfMf z z.1qMqN rqrMkNk 221. 0)(lim zRNN所所以以101101( )d()2()RkkCkfzzizzzz 211( )1( )( )dd22RRCCfff zizizz

50、zzzzz那么那么z zz zz zd)(21 R1 Czfi于是于是,)(01kkkzzc 101( )d(0, 1,2,)2()kkCfakizzzz 如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单0z 证毕证毕 kkkkkkzzazza )()(0100.)(0kkkzza 闭曲线闭曲线. .那么那么可用一个式子表示为可用一个式子表示为: :kkaa 与与说明说明:函数函数)(zf在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗展开式)(zf在圆环域内的洛朗在圆环域内的洛朗(Laurent)级数级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解

51、析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的， 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法. .kkkzzazf)()(0 三、函数的洛朗展开式常用方法常用方法 : 1.: 1.直接法直接法 2.2.间接法间接法 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数ka缺点缺点: : 计算往往很麻烦计算往往很麻烦. .), 2, 1, 0(d)()(2110 kzfiaCkkz zz zz z然后写出然后写出.)()(0kkkzzazf 根据正、负幂项组

52、成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, , 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . .优点优点 : : 简捷简捷 , , 快速快速 . .2. 间接展开法间接展开法四、典型例题例例1 1, 0 内内在在 z. )( 2展展开开成成洛洛朗朗级级数数将将zezfz 解解由定理知由定理知: :,)(kkkzazf 其中其中z zz zz zd)()(2110 Ckkzfiaz zz zz zd213 Ckei)2, 1,0(, )0(: kzCr rr r故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知: :由高阶导数公式知由高阶导数公式

53、知: :0 ka, 2 时时当当 kz zz zz zd213 Ckkeia022)(dd)!2(1 zzkkezk)!2(1 k ! 4! 3! 211122zzzz z0 2)!2()( kkkzzf故故, 3 时时当当 k, 2在圆环域内解析在圆环域内解析zez另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,. 2的奇点的奇点也是函数也是函数zez例例2 2 ;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处处解析的内是处处解析的, ,试把试把 f (z)

54、f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数. .解解,)2(1)1(1)(zzzf : )2)(1(1)( 在圆环域在圆环域函数函数 zzzf , 10 )1内内在在 zoxy12112121zz )1(2 zz 421212zz 2874321zz nnzzz22212122 )( zf所以所以 nzzzz2111那么那么,1 z由于由于12 z从而从而12oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122 , 21 )2内内在在 z 842111121zzzzznn2oxy2 z由由1

55、2 z此时此时zzz211121 , 2 )3内内在在 z 21111zzz 2222121zz)( zf于是于是 24211zzz仍有仍有zzz111111 21111zzz, 121 zz此时此时 24211zzz 21111zzz.731432 zzz)( zf故故注意注意:0 z奇点但却不是函数奇点但却不是函数)2)(1(1)( zzzf的奇点的奇点 .本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明:1. 函数函数)(zf在以在以0z为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有0zz 的负幂项的负幂项, , 而且而且0z又是这些又是这些

56、项的奇点项的奇点, , 但是但是0z可能是函数可能是函数)(zf的奇点的奇点, ,也可能也可能)(zf的奇点的奇点.不是不是2. 给定了函数给定了函数)(zf与复平面内的一点与复平面内的一点0z以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 ( (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).).回答：不矛盾回答：不矛盾 .朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的) )问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛解解 z0zzz

57、fsin)( .)!12()1(02 nnnnz例例3 3. 0 sin 0洛朗级数洛朗级数的去心邻域内展开成的去心邻域内展开成在在将函数将函数 zzz )!12()1(! 51! 3111253nzzzzznn例例4 4. 2 )2( 01展展开开成成洛洛朗朗级级数数的的去去心心邻邻域域内内在在将将函函数数 zzz解解 , 220 内内在在 z ) 2(1)(zzzf 22112121zz.2221)2(2132 zz) 2(2121 zz 011)2(2)1(kkkkz例例5 5: )1)(2(52)( 22在以下圆环域在以下圆环域求求 zzzzzf内的洛朗展开式内的洛朗展开式. ; 21

58、 )1( z520)2( z解解 1221)(2 zzzf, 21 )1时时当当 z 221121221)(zzzzf 22111221121zzznnnnnzzz 20201)1(2221.2)1(201121 nnnnnnzz, 520 )2内内在在 z1221)(2 zzzf iziziz1121 )2()2(1)2()2(121iziziz iziiziiz221)2(1221)2(121 0022)1(2122)1(2121nnnnnniziiziiz.5)2()2()2()1(211110 nnnnnnziiiz 110)2(1)2(1)2()1(21nnnnniiziz 洛朗级数

59、是一个双边幂级数洛朗级数是一个双边幂级数, , 其解析部分是其解析部分是一个普通幂级数一个普通幂级数; ; .0Rzzr ,0, 0, 00时时当当 ncrz思考题答案思考题答案是一般与特殊的关系是一般与特殊的关系. . 洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数与泰勒级数有何关系洛朗级数与泰勒级数有何关系? ?思考题思考题. .级数了级数了洛朗级数就退化为泰勒洛朗级数就退化为泰勒定义：若函数定义：若函数f (z)在点在点z0处不解析或没有定义），处不解析或没有定义），但在点但在点z0的某个空心邻域的某个空心邻域 内解内解析，则称点析，则称点z0为为f (z)的孤立奇点。的孤

60、立奇点。00(0)zzRR 一、孤立奇点的概念例例10 z是函数是函数zzezsin,1的孤立奇点的孤立奇点.1 z是函数是函数11 z的孤立奇点的孤立奇点. .注意注意: : 孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点, , 但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点. .例例2 2 指出函数指出函数0 z在点在点zzzf1sin)(2 的奇点特性的奇点特性. .解解 kzz1,0),2,1( k即在即在0 z的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内, , 的奇点存在的奇点存在, , 函数的奇点为函数的奇点为)(zf总有总有0 z不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以，因为因为01lim k