可测函数的定义及其简单性质课件

1、第三章 可测函数 iniibamEdxxfL10,lim)()(yi yi-1 )(:1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei 的“长度” 问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)?,afERa注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )， 若 可测，则称f(x)是E上的可测函数iniEE1)()(1xcxfiEniiiiiExEExEx10)(可测,afERa可测函数注：Dirichlet函数是简单函数0 1| )()(|, 0, 000 xfxfxx时，有当即对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数， 0

2、( )( , )f xxa b在处连续)()(lim00 xfxfxx若),(),(00)(, 0, 0 xfxOOf使得即),(),(00)(, 0, 0 xfxOxfOx时，有当即( ) ( ) ( ),0bax f(x) 在 处连续(对闭区间端点则用左或右连续),(),(00)(, 0, 0 xfxOEOf使得若Ex 0设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 处连续为可测集故EGEaf ),()(, 0,)(),(),(aOEOfaxfxfxxx使得对( ,)xxfaOEE即证明：任取xEfa, 则f(x)a,由连续性假设知，( ) x f(x0)+ f(x0) f(x0)- a(

3、,)xfaxx EGO令( ,)( ,)()()xxfafaxxfax Ex EGEOEOEE另外则G为开集，当然为可测集，且( ,)()xfafaxx EEOEGE所以反之aI a x1 x2 )(|),)(|),(axfxIIEaxfxIIEafaaaaE当当由f单调增知下面的集合为可测集)(|infaxfxIa令证明：不妨设f单调增，对任意aR可测,)2(afERa可测,)3(afERa可测,)4(afERa(5),(|( )|)a f ba bR ab Ef x 可测 充分性要求证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及 11111()fafaafanfnnfanfaafb

4、fafbnfanEEEEEEEEEE ),) 1 (可测即afERa定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测)(1111nnafnafnafEEE),(),(),1111nnnnaaa ( a-1/n a)(1111nnafnafnafEEE),(),),(1111nnnnaaa( a a+1/n11 1afnnafafafEEEEE可测函数关于子集、并集的性质nnEE1l反之，若 , f(x)限制在En上是可测函数， 则f(x)在E上也是可测函数。11,EEE l即:若f(x)是E上的可测函数, 可测， 则f(x)限制在E1上也是可测函数；证明：令E 1= Efg， E

5、2= Ef=g，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ，即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测 注：用到了可测函数关于子集、并集的性质另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 E2上也可测 。可测，：只要证证明,gafagfEERa,( )( ),( )( )()fa gfrg a rr QxEf xag xrQf xrag xxEE 任取则从而使即a-g(x) r f(x)可测，：只要证证明,gafagfEERa,( )( ),( )( )()fa gfrg a rr QxEf xag xrQf

6、 xrag xxEE 任取则从而使即a-g(x) r f(x)类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。gfE()frg a rfa gr QEEE 反之也成立()fa gfrg a rr QEEE 从而()fa gfrg a rr QEEE 从而可测证明中利用了 Q是可数集和 R中的稠密集 两个性质 ,( )( ),( )( )()fagfrga rr QxEf xag xrQf xrag xxEE 任取则从而使即a-g(x) r f(x)类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。gfE()frg a rfa gr QEEE 反之也成立()fa gfrg

7、a rr QEEE 从而()fa gfrg a rr QEEE 从而可测证明中利用了 Q是可数集和 R中的稠密集 两个性质 ,( )( ),( )( )()fagfrga rr QxEf xag xrQf xrag xxEE 任取则从而使即a-g(x) r f(x)11afnaafnannEEEE)(infsup)(inflim)(supinf)(suplim)(inf)()(sup)(xfxfxfxfxfxxfxmnmnnnmnmnnnnn若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。1afnanEE)(inf)(xfxnxSxS,) 1 (的下界，即是数集xSxS使得即的最大

8、下界，是数集, 0)2(Sinf下确界： 1111fannfafannEEE比 较 ： ( a-1/n a从而f (x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f (x)是可测函数.nnnoxxfxfxxfxxfxf11)()(lim)()(lim)( 证明：由于gn(x)注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.limlimnnnnEfflimlimnnnnEff证明：发散点全体为 收敛点全体为limlimnnnnff在利用和是可测函数即可再可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限12| )()(|nnmMxfxM mM mM mn 0次等分nn 2g 可测f 连续x| f( g(

9、x)a= (f g)-1(a,+) = g-1(f-1(a,+)f-1(a,+) =),(iiiba),(),(11iiiiiibagbag第三章 可测函数 | )()(|, 0, 0,xfxfNnNExnxx有一致收敛:| )()(|, 0, 0 xfxfExNnNn有注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xnEffn于点点收敛: 记作1-0.20.40.60.810.20.40.60.81例：函数列 fn(x)=xn , n=1,2, 在(0,1)上处处收敛到 f(

10、x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛fn(x)=xnEeaffn于.feEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集, 0| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen有可测子集即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 Euaffn于.0 ffnEEffn于0lim, 0|ffnnmE有|0,0,0,nffNn NE 有m|0,0,0,nffNnNE 有m0lim,0|ffnnmE有0, 0|不收敛于使得ffnmE|0,0,0,nffNnNE使得m说明：当n越大，取1的点

11、越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1)(limlim, 10|，有对nmmEnffnnn, 2 , 1)(, 0 (1),(0nxfnxnxn 在R+上处处收敛于 f(x)=1 , 所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外feEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集, 0| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen有可测子集Euaffn于.即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 | )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen使可测子集即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛 任意 （ ）适当小小| )()(|, 0, 0, 0

12、xfxfeExNnNmeEen使可测子集即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛 | )()(|),1,()(, 0, 0, 02121xfxfnneExNNnNmeEen使可测子集, 0(1),(0)(nxnxnxfn0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1 f80lim,(limlim, 1021212|kkknkiikffnmmE有,0)(),()()(21,2(2xfxxfxfkkkiiin令 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3

13、, Effn于则说明：对任何x(0,1 , fn(x)有两个子列，一个恒为1， 一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛1-0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xn即：于Euaffn.即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 Euaffn于，则.Eeaffn于若.几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理） 设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， （即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）即：

14、于Eeaffn. .0 ffnmE即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 knknnxfxfNnNxfxf11| )()(|, 1, 1:)()(lim有,:AxxA有,:AxxA使11( )( ):1,1,|( )( )|nnkkfxf xNnNfxf x 不收敛使111 :( )( ) :|( )( )|nnkkNn Nx fxf xxfxf x不收敛于111| )()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfx引理：设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， |. .0,lim()0nnffNnNff a eEmE若于，则有0)()lim()(lim, 0|1|f

15、fNnNffNnNffNnNnnnEmEmEmmE）（有时，从而当)(0)()(0)(|11|11ffNnNkffNnNnknEmEm)(|1|*nfnfEEE证明：由于 为零测度集， 故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：0)(0.|111knnffNnNkffnEmmEEeaff于关于N 单调减小EffEmEmnffNnNffNnN于所以从而0)(lim)(lim|0)(lim, 0|ffNnNnEm有证明：由引理知，Eeaffn于若.Effn于，则设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，第三章 可测函数 问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？l可测集E上的连续函数定为可

16、测函数实变函数的三条原理（J.E.Littlewood） （1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并） ，闭集EF , 0设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)且f(x)在F上连续。 （去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数） 即：可测函数“基本上”是连续函数（3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列（2）任一可测函数差不多就是连续函数)()(1xcxfiEnii令可测且两两不交）其中iiniEEE,(1), 2 , 1()(, 0niFEmFEEniiiii，使中的闭子集，作及每个ninniiiFEmFEm11)()(iniFF1iniFF10

17、),()(),(),(1iiniFxOFxOFxO从而iniFFx1证明：任取 ciiiF )(0ciiiFxO)(),(0说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为 内点，从而可取x足够小的邻域不含其他 中的点函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续， 但函数在R上处处不连续 QxQRxxD10)(1211)()(nnnnnnFEmFEmEFFF，且，则令由n(x) 在F连续及一致收敛于f ， 易知上连续在且使，存在闭集及每个nnnnnFxFEmEFxn)()()(,02利用(1)的结果知)| )(|1)()(| )(|1)()(xgxgxfxfxfxg(3)当f(x)为一般可测函

18、数时，作变换RE 若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)（对n维空间也成立），闭集EF , 0则 及R上的连续函数g(x)开集的余集是闭集 闭集的余集是开集aibi直线上的开集构造 直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个 互不相交的开区间的并),(iiicbaF设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数， 则 使得m(E-F)且f(x)在F上连续，闭集EF , 0Exfxgn于即)()(1|0,()0(0)ngfnnmEm EFn从而 )()(xgxfini令 ，即得我们所要的结果。 nnnnnnnFEmxfxgFxgEEF11)()()()(,且上使在上的连续函数，及闭集证明：由鲁津定理的推论知再由Riesz定理，存在gn(x) 的子列 gni(x) 使gni