板块一　六大核心素养引领二轮复习

1、一、数学抽象、直观想象素养1数学抽象是指舍去事物的一切物理属性 ,得到数学研究对象的思维过程.例1(1)如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系 ,有人根据函数图象 ,提出了关于这两个旅行者的如下信息：骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ,晚到1 h；骑自行车者是变速运动 ,骑摩托车者是匀速运动；骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样其中 ,正确信息的序号是_答案解析看时间轴易知正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线 ,所以是匀速运动 ,而骑自行车者

2、行驶的路程与时间的函数图象是折线 ,所以是变速运动 ,因此正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5 ,故正确 ,错误(2)某楼梯共有11级 ,每步可走一级或二级 ,走完这11级楼梯共有多少种不同的走法？解楼梯共有11级 ,数值比拟大 ,可以先考虑简单情形楼梯共有：1级、2级、3级、4级、5级、 ,从特殊的情境里发现规律.楼梯级数1234511走法种数12358？从上面的走法种数1,2,3,5,8 ,可以发现：前两个走法种数之和是下一个走法种数于是 ,容易推算出：走完这11级楼梯 ,共有144种不同的走法1加工爆米花时 ,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率在特定条件下 ,可食用率

3、p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a ,b ,c是常数) ,如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据 ,可以得到最正确加工时间为()A3.50分钟 B3.75分钟C4.00分钟 D4.25分钟答案B解析根据图表 ,把(t ,p)的三组数据(3,0.7) ,(4,0.8) ,(5,0.5)分别代入函数关系式 ,联立方程组得消去c化简得解得所以p0.2t21.5t222 ,所以当t3.75时 ,p取得最大值 ,即最正确加工时间为3.75分钟2甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物假设干并混合 ,且使

4、混合物中维生素A ,B的含量分别不低于100,120个单位 ,那么混合物重量的最小值为_ kg.答案30解析设甲食物重x kg ,乙食物重y kg ,A ,B的含量分别不低于100,120个单位 ,由得A(20,10) ,混合物重zxy ,平移直线zxy ,由图知 ,当直线过A(20,10)时 ,z取最小值为201030.素养2直观想象是指借助几何直观形象和空间想象感知事物的形态与变化 ,利用图形理解和解决数学问题的思想过程.例2(1)如图 ,点列An ,Bn分别在某锐角的两边上 ,且|AnAn1|An1An2| ,AnAn2 ,nN* ,|BnBn1|Bn1Bn2| ,BnBn2 ,nN*(

5、PQ表示点P与点Q不重合)假设dn|AnBn| ,Sn为AnBnBn1的面积 ,那么()ASn是等差数列 BS是等差数列Cdn是等差数列 Dd是等差数列答案A解析作A1C1 ,A2C2 ,A3C3 , ,AnCn垂直于直线B1Bn ,垂足分别为C1 ,C2 ,C3 , ,Cn ,那么A1C1A2C2AnCn.|AnAn1|An1An2| ,|CnCn1|Cn1Cn2|.设|A1C1|a ,|A2C2|b ,|B1B2|c ,那么|A3C3|2ba , ,|AnCn|(n1)b(n2)a(n3) ,n1和n2时也符合Snc(n1)b(n2)ac(ba)n(2ab) ,Sn1Snc(ba)(n1)

6、(2ab)(ba)n(2ab)c(ba) ,数列Sn是等差数列(2)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中 ,M ,N分别是AC1 ,A1B1的中点点P在该正方体的外表上运动 ,那么总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于()A.1 B.2C21 D22答案B解析如图 ,取BB1的中点E ,CC1的中点F ,连接AE ,EF ,FD ,那么BN平面AEFD.设M在平面ABB1A1中的射影为O ,过MO与平面AEFD平行的平面为 ,能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形 ,其周长与矩形AEFD的周长相等 ,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1 ,矩形AEFD的周长为2.3“

7、牟合方盖(如图1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成 ,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 ,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如图2所示 ,图中四边形是为表达其直观性所作的辅助线 ,其实际直观图中四边形不存在 ,当其正(主)视图和侧(左)视图完全相同时 ,它的正(主)视图和俯视图分别可能是()Aa ,b Ba ,c Cc ,b Db ,d答案A解析当正(主)视图和侧(左)视图完全相同时 ,“牟合方盖相对的两个曲面正对前方 ,正(主)视图为一个圆 ,俯视图为一个正方形 ,且两条对角线为实线 ,应选A.4(2019

8、83;北京)某四棱锥的三视图如下图 ,在此四棱锥的侧面中 ,直角三角形的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析由三视图得到空间几何体 ,如下图 ,那么PA平面ABCD ,平面ABCD为直角梯形 ,PAABAD2 ,BC1 ,所以PAAD ,PAAB ,PABC.又BCAB ,ABPAA ,AB ,PA平面PAB ,所以BC平面PAB.又PB平面PAB ,所以BCPB.在PCD中 ,PD2 ,PC3 ,CD ,所以PCD为锐角三角形所以侧面中的直角三角形为PAB ,PAD ,PBC ,共3个应选C.二、逻辑推理、数学运算素养3逻辑推理是指从一些事实和命题出发 ,依据逻辑规那么推出一个命题的思

9、维过程.例3(1)(2019·北京)设a ,b均为单位向量 ,那么“|a3b|3ab|是“ab的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析由|a3b|3ab| ,得(a3b)2(3ab)2 ,即a29b26a·b9a2b26a·b.又a ,b均为单位向量 ,所以a2b21 ,所以a·b0 ,能推出ab.由ab得|a3b| ,|3ab| ,能推出|a3b|3ab|.所以“|a3b|3ab|是“ab的充要条件应选C.(2)记I为虚数集 ,设a ,bR ,x ,yI ,那么以下类比所得的结论正确的选项是_(填序号)由a

10、83;bR ,类比得x·yI；由a20 ,类比得x20；由(ab)2a22abb2 ,类比得(xy)2x22xyy2；由ab>0 ,a>b ,类比得xy>0 ,x>y.答案解析由a·bR ,不能类比得x·yI ,如xyi ,那么xy1I ,故不正确；由a20 ,不能类比得x20.如xi ,那么x2<0 ,故不正确；由(ab)2a22abb2 ,可类比得(xy)2x22xyy2 ,故正确；假设x ,yI ,当x1i ,yi时 ,xy0 ,但x ,y 是两个虚数 ,不能比拟大小 ,故错误故4个结论中 ,正确5从2开始的连续偶数蛇形排列成宝

11、塔形的数表 ,第一行为2 ,第二行为4,6 ,第三行为12,10,8 ,第四行为14,16,18,20 , ,如下图 ,在该数表中位于第i行、第j列的数记为aij ,如a3210 ,a5424.假设aij2 018 ,那么ij_.答案72解析第1行有1个偶数 ,第2行有2个偶数 , ,第n行有n个偶数 ,那么前n行共有123n(个)偶数 ,2 018在从2开始的偶数中排在第1 009位 ,所以1 009 ,所以n45.当n44时 ,第44行第44个偶数为×21 980 ,所以第44行结束时最右边的偶数为1 980.由题意得2 018排在第45行的第27位 ,所以ij452772.6甲

12、、乙、丙三位同学被问到是否参加了学校组织的A ,B ,C三个活动兴趣小组时 ,甲说：我参加的兴趣小组比乙多 ,但没参加过A兴趣小组；乙说：我没参加过B兴趣小组；丙说：我们三人参加了同一个兴趣小组由此可判断乙参加的兴趣小组为_答案C解析三人参加了同一个兴趣小组 ,乙不参加B ,甲不参加A ,三人共同参加的小组只有C ,又甲参加的兴趣小组比乙多 ,甲不参加A甲参加两个兴趣小组 ,乙参加一个小组 ,甲参加B和C ,乙参加的兴趣小组是C.素养4数学运算是指在明晰运算对象的根底上依据运算法那么解决数学问题的思维过程.例4(1)(2019·全国)在ABC中 ,cos ,BC1 ,AC5 ,那么A

13、B等于()A4 B.C. D2答案A解析cos ,cos C2cos212×21.在ABC中 ,由余弦定理 ,得AB2AC2BC22AC·BC·cos C52122×5×1×32 ,AB4.应选A.(2)(2019·全国)角的顶点为坐标原点 ,始边与x轴的非负半轴重合 ,终边上有两点A(1 ,a) ,B(2 ,b) ,且cos 2 ,那么|ab|等于()A. B.C. D1答案B解析由cos 2 ,得cos2sin2 , ,又cos 0 , ,tan ± ,即± ,|ab|.应选B.(3)(2019

14、83;全国)函数f(x)log2(x2a)假设f(3)1 ,那么a_.答案7解析f(x)log2(x2a)且f(3)1 ,1log2(9a) ,9a2 ,a7.7定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2x上移动 ,设点P为线段MN的中点 ,那么点P到y轴距离的最小值为_答案解析设M(x1 ,y1) ,N(x2 ,y2) ,抛物线y2x的焦点为F ,抛物线的准线方程为x ,所求的距离d ,所以(M ,N ,F三点共线时取等号)三、数学建模、数据分析素养5数学建模是指对现实问题进行数学抽象 ,构造数学模型用数学语言表达问题 ,用数学知识与方法解决问题的思维过程.例5(1)(2019·山东、

15、湖北局部重点中学模拟)我国古代著名的数学家刘徽著有?海岛算经?内有一篇：“今有望海岛 ,立两表齐 ,高三丈 ,前后相去千步 ,令后表与前表相直从前表却行百二十三步 ,人目著地取望岛峰 ,与表末参合从后表却行百二十七步 ,人目著地取望岛峰 ,亦与表末参合问岛高及去表各几何？请你计算出海岛高度为_步. (参考译文：假设测量海岛 ,立两根标杆 ,高均为5步 ,前后相距1 000步 ,令前后两根标杆和岛在同一直线上 ,从前标杆退行123 步 , 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰 ,从后标杆退行127步 , 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰 ,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远

16、？)(丈、步为古时计量单位 ,当时是“三丈5步)答案1 255解析如下图 ,设岛高x步 ,与前标杆相距y步 ,由相似三角形的性质 ,有解得那么海岛高度为1 255步(2)秸秆还田是当今世界上普遍重视的一项培肥地力的增产措施 ,在杜绝了秸秆燃烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用某农机户为了到达在收割的同时让秸秆还田 ,花137 600元购置了一台新型联合收割机 ,每年用于收割可以收入6万元(已减去所用柴油费)；该收割机每年都要定期进行维修保养 ,第一年由厂方免费维修保养 ,第二年及以后由该农机户付费维修保养 ,所付费用y(元)与使用年数n的关系为yknb(n2 ,且nN*) ,第二年付费1

17、800元 ,第五年付费6 000元试求出该农机户用于维修保养的费用f(n)(元)与使用年数n(nN*)的函数关系式；这台收割机使用多少年 ,可使年平均收益最大？(收益收入维修保养费用购置机械费用)解依题意知 ,当n2时 ,y1 800；当n5时 ,y6 000 ,即解得所以f(n)记使用n年 ,年均收益为W(元) ,那么依题意知 ,当n2时 ,W60 000137 6001 400(23n)1 000(n1)60 00060 000(137 200700n2300n) 60 30060 300240 700 ,当且仅当700n ,即n14时取等号所以这台收割机使用14年 ,可使年均收益最大8甲

18、与乙午觉醒来后 ,发现自己的手表因故停止转动 ,于是他们想借助收音机 ,利用电台整点报时确认时间(1)求甲等待的时间不多于10分钟的概率；(2)求甲比乙多等待10分钟以上的概率解(1)因为电台每隔1小时报时一次 ,甲在0,60)之间任何一个时刻翻开收音机是等可能的 ,所以他在哪个时间段翻开收音机的概率只与该时间段的长度有关 ,而与该时间段的位置无关 ,符合几何概型的条件设事件A为“甲等待的时间不多于10分钟 ,那么事件A恰好是翻开收音机的时刻位于50,60)时间段内 ,因此由几何概型的概率公式得P(A).所以“甲等待的时间不多于10分钟的概率为.(2)因为甲、乙两人起床的时间是任意的 ,所以所

19、求事件是一个与两个变量相关的几何概型 ,且为面积型设甲需要等待的时间为x ,乙需要等待的时间为y(10分钟为一个长度单位)那么由己知可得 ,对应的根本领件空间为.甲比乙多等待10分钟以上对应的事件为M.在平面直角坐标系中作出两个不等式组所表示的平面区域 ,如下图显然表示一个边长为6的正方形OQRS的内部及线段OQ ,OS ,其面积S16236.M表示的是腰长为5的等腰直角三角形QDE的内部及线段DQ ,其面积S2×52.故所求事件的概率为P.素养6数据分析是指针对研究对象获得相关数据 ,运用统计方法对数据中的有用信息进行分析推断 ,形成已学知识的思维过程例6华东师范大学为了了解大学生

20、使用 的情况 ,分别在大一和大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查下面是根据调查结果绘制的学生日均使用 时间的频率分布直方图和频数分布表 ,将使用 时间不低于80分钟的学生称为“ 迷大一学生日均使用 时间的频率分布直方图如下图 ,大二学生日均使用 时间的频数分布表如下表时间分组频数0,20)1220,40)2040,60)2460,80)2680,100)14100,1204(1)将频率视为概率 ,估计哪个年级的大学生是“ 迷的概率大？请说明理由；(2)在大一学生的抽查中 ,随机抽到的女生共有55名 ,其中有10名为“ 迷根据条件列出2×2列联表 ,根据此资料你有多大的把握认为“ 迷与性别有关？附表：P(K2k0)0.100.05k02.7063.841解(1)由频率分布直方图可知 ,大一学生是“ 迷的概率为P1(0.002 50.010)×200.25.由频数分布表可知 ,大二学生是“ 迷的概率为P20.18.因为P1>P2 ,所以大一学生是“ 迷的概率大(2)由频率分布直方图可知 ,从大一学生抽取的100人中 ,“ 迷有(0.0100.002 5)×20×10025(人) ,非 迷有1002575(人)2×2列联表如下：非 迷 迷总计男301545女451055总计7525100