复变函数期末考试复习题及答案详解

1、."复变函数"考试试题一1、 _.为自然数2. _.3.函数的周期为_.4.设，那么的孤立奇点有_.5.幂级数的收敛半径为_.6.假设函数f(z)在整个平面上处处解析，那么称它是_.7.假设，那么_.8._，其中n为自然数.9. 的孤立奇点为_ .10.假设是的极点，那么.三.计算题40分：1. 设，求在内的罗朗展式.2. 3. 设，其中，试求4. 求复数的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2. 试证:在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值."复变函数&qu

2、ot;考试试题二二. 填空题. (20分)1. 设，那么2.设，那么_.3. _.为自然数 4. 幂级数的收敛半径为_ .5. 假设z0是f(z)的m阶零点且m>0，那么z0是的_零点.6. 函数ez的周期为_. 7. 方程在单位圆内的零点个数为_.8. 设，那么的孤立奇点有_.9. 函数的不解析点之集为_.10. .三. 计算题. (40分)1. 求函数的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3. 计算积分：，积分路径为1单位圆的右半圆.4. 求 .四. 证明题. (20分)1

3、. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2. 试用儒歇定理证明代数根本定理."复变函数"考试试题三二. 填空题. (20分)1. 设，那么f(z)的定义域为_.2. 函数ez的周期为_.3. 假设，那么_.4. _.5. _.为自然数6. 幂级数的收敛半径为_.7. 设，那么f(z)的孤立奇点有_.8. 设，那么.9. 假设是的极点，那么.10. .三. 计算题. (40分)1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数.2. 试求幂级数的收敛半径.3. 算以下积分：，其中是. 4. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题.

4、(20分)1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。"复变函数"考试试题四二. 填空题. (20分)1. 设，那么.2. 假设，那么_.3. 函数ez的周期为_.4. 函数的幂级数展开式为_5. 假设函数f(z)在复平面上处处解析，那么称它是_.6. 假设函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，那么称它是D内的_.7. 设，那么.8. 的孤立奇点为_.9. 假设是的极点，那么.10. _.三. 计算题. (40分)1. 解方程.

5、2. 设，求3. . 4. 函数有哪些奇点.各属何类型假设是极点，指明它的阶数.四. 证明题. (20分)1. 证明：假设函数在上半平面解析，那么函数在下半平面解析.2. 证明方程在内仅有3个根."复变函数"考试试题五二. 填空题.20分1. 设，那么.2. 当时，为实数.3. 设，那么.4. 的周期为_.5. 设，那么.6. .7. 假设函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，那么称它是D内的_。8. 函数的幂级数展开式为_.9. 的孤立奇点为_.10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，那么.为自然数三. 计算题. (40分)1. 求复数的实部与虚部.2. 计算

6、积分：，在这里L表示连接原点到的直线段.3. 求积分：，其中0<a<1.4. 应用儒歇定理求方程，在|z|<1内根的个数，在这里在上解析，并且.四. 证明题. (20分)1. 证明函数除去在外，处处不可微.2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当时，证明:是一个至多n次的多项式或一常数."复变函数"考试试题六一、 填空题20分1. 假设，那么_.2. 设，那么的定义域为_.3. 函数的周期为_.4. _.5. 幂级数的收敛半径为_.6. 假设是的阶零点且，那么是的_零点.7. 假设函数在整个复平面处处解析，那么称它是_.8.

7、 函数的不解析点之集为_.9. 方程在单位圆内的零点个数为_.10. 公式称为_.二、 计算题30分1、.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、求的值.三、 证明题20分1、 方程在单位圆内的根的个数为6.2、 假设函数在区域内解析，等于常数，那么在恒等于常数.3、 假设是的阶零点，那么是的阶极点.计算以下积分分(1) ； (2) 计算积分分求以下幂级数的收敛半径分(1)；(2)设为复平面上的解析函数，试确定，的值分三、证明题设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数分试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数分试卷一至十四参考答案&qu

8、ot;复变函数"考试试题一参考答案二填空题1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 16. 整函数； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .三计算题.1. 解 因为 所以.2. 解 因为 ,.所以.3. 解 令, 那么它在平面解析, 由柯西公式有在,. 所以.4. 解 令, 那么. 故 , .四. 证明题.1. 证明 设在. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 那么上述方程组变为. 消去得, .1) 假设, 那么 为常数.2) 假设, 由方程 (1) (2) 及 方程有, .所以. (为常数).所以为常数.2. 证明的支点为. 于是割

9、去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故."复变函数"考试试题二参考答案二. 填空题1.1， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.三. 计算题1. 解 .2. 解 令. 那么. 又因为在正实轴去正实值，所以. 所以.3. 单位圆的右半圆周为, . 所以.4. 解=0.四. 证明题.1. 证明 (必要性)

10、 令,那么. (为实常数). 令. 那么. 即满足, 且连续, 故在内解析.(充分性) 令, 那么 , 因为与在内解析, 所以, 且.比拟等式两边得 . 从而在均为常数,故在内为常数.2. 即要证“任一 次方程 有且只有 个根. 证明 令, 取, 当在上时, 有 .由儒歇定理知在圆 , 方程 与 有相同个数的根. 而 在 内有一个 重根 . 因此次方程在 内有 个根."复变函数"考试试题三参考答案二.填空题.1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5.;6. 1; 7.; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1. 解 .2. 解 . 所以收敛半径为.3. 解 令 ,

11、 那么 .故原式.4. 解 令 , . 那么在上均解析, 且, 故由儒歇定理有. 即在 , 方程只有一个根.四. 证明题.1. 证明 证明 设在. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 那么上述方程组变为. 消去得, .1) , 那么 为常数.2) 假设, 由方程 (1) (2) 及 方程有, .所以. (为常数).所以为常数.2. 证明 取 , 那么对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至屡次多项式或常数."复变函数"考试试题四参考答案.二. 填空题.1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函数

12、;6. 亚纯函数; 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1.2. 解 , . 故原式.3. 解 原式.4. 解 =，令，得，而 为可去奇点 当时， 而为一阶极点.四. 证明题.1. 证明 设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点, 考虑.而, 在上半平面内, 在上半平面解析, 因此, 从而在下半平面内解析.2. 证明 令, , 那么与在全平面解析, 且在上, ,故在.在上, , 故在.所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三个根."复变函数"考试试题五参考答案一. 判断题.1 ×× 6× × 10.二.

13、 填空题.1.2, , ; 2. ; 3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0; 7. 亚纯函数; 8. ; 9. 0; 10. . 三. 计算题.1. 解 令, 那么. 故 , .2. 解 连接原点及的直线段的参数方程为 , 故.3. 令, 那么. 当时, 故, 且在圆只以为一级极点, 在上无奇点, 故, 由残数定理有.4. 解 令 那么在内解析, 且在上, 所以在, , 即原方程在 内只有一个根.四. 证明题.1. 证明 因为, 故. 这四个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件, 故只在除了外处处不可微.2. 证明 取 , 那么对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有.

14、 故, 即是一个至屡次多项式或常数."复变函数"考试试题六参考答案二、填空题：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 阶 7. 整函数 8. 9. 0 10. 欧拉公式 三、计算题：1. 解：因为 故.2. 解： 因此 故.3.解：4.解：5解：设, 那么.6解：四、1. 证明：设那么在上， 即有. 根据儒歇定理，与在单位圆内有一样个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数为6. 2.证明：设，那么, 由于在内解析，因此有 , .于是故，即在内恒为常数. 3.证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的某邻域内解析且，于是 由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解

15、析，故为的阶极点."复变函数"模拟考试试题"复变函数"考试试题一一、 判断题4x10=40分：1、假设函数f(z)在z0解析，那么f(z)在z0的某个邻域内可导。 2、有界整函数必在整个复平面为常数。 3、假设函数在D内连续，那么u(x,y)与v(x,y)都在D内连续。( )4、cos z与sin z在复平面内有界。 5、假设z0是的m阶零点，那么z0是1/的m阶极点。 6、假设f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，那么f(z)在z0解析。 7、假设存在且有限，那么z0是函数的可去奇点。 8、假设f(z)在单连通区域D内解析，那么对D内任一简单闭曲线C都有

16、。 9、假设函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，那么它在D内有任意阶导数。 10、假设函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，那么在区域D内恒等于常数。 二、填空题4x5=20分1、假设是单位圆周，n是自然数，那么_。2、设，那么_。3、设，那么f(z)的定义域为_。4、的收敛半径为_。5、_。三、计算题8x5=40分：1、设，求在内的罗朗展式。2、求。3、求函数的幂级数展开式。4、求在内的罗朗展式。5、求，在|z|<1内根的个数。"复变函数"考试试题二 一、判断题4x10=40分：1、假设函数f(z)在z0解析，那么f(z)在z0连续。 2、有界

17、整函数必为常数。 3、假设收敛，那么与都收敛。( )4、假设f(z)在区域D内解析，且，那么常数。 5、假设函数f(z)在z0处解析，那么它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。 6、假设f(z)在z0解析，那么f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件。 7、假设函数f(z)在z0可导，那么f(z)在z0解析。 8、假设f(z)在区域D内解析，那么|f(z)|也在D内解析。 9、假设幂级数的收敛半径大于零，那么其和函数必在收敛圆内解析。 10、cos z与sin z的周期均为。 二、填空题4x5=20分1、_。2、设，那么f(z)的孤立奇点有_。3、假设函数f(z)在复平面上处处解析，那么称它是_。4

18、、 _。5、假设函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，那么称它是D内的_。三、计算题8x5=40分：1、2、求3、4、求在内的罗朗展式。5、求在|z|<1内根的个数。"复变函数"考试试题三一、判断题3x10=30分：1、假设函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，那么f(z)在z0解析。 2、假设函数f(z)在z0解析，那么f(z)在z0的某个邻域内可导。 3、如z0是函数f(z)的本性奇点，那么一定不存在。( )4、假设函数f(z)在z0可导，那么f(z)在z0解析。 5、假设函数f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在D内连续，那么

19、二元函数u(x,y)与(x,y)。 6、函数与在整个复平面内有界。 7、假设函数f(z)在z0处解析，那么它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。 8、假设z0是的m阶零点，那么z0是1/的m阶极点。 9、存在整函数将复平面映照为单位圆内部。 10、假设函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，那么数f(z)在区域D内为常数。 二、填空题2x10=20分1、假设，那么_。2、假设是单位圆周，n是自然数，那么_。3、函数的周期为_。4、设，那么的孤立奇点有_。5、幂级数的收敛半径为_ 6、假设z0是f(z)的m阶零点且m>0，那么z0是的_零点。7、假设函数f(z)在区域D内除去

20、有限个极点之外处处解析，那么称它是D内_。、8、函数的不解析点之集为_。9、_，其中n为自然数。10、公式称为_.三、计算题8x5=40分：1、设，其中，试求2、求。3、设，求4、求函数在内的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、求四、证明题6+7+7=20分：1、设是函数f(z)的可去奇点且，试证：。2、假设整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且，那么。3、证明方程在内仅有3个根。"复变函数"考试试题四一、判断题3x10=30分：1、假设函数f(z)在z0解析，那么f(z)在z0的某个邻域内可导。 2、如果z0是f(z)的本性奇点，那么一定不存在。 3、假设存在且有限，

21、那么z0是f(z)的可去奇点。( )4、假设函数f(z)在z0可导，那么它在该点解析。 5、假设数列收敛，那么与都收敛。 6、假设f(z)在区域D内解析，那么|f(z)|也在D内解析。 7、假设幂级数的收敛半径大于0，那么其和函数必在收敛圆内解析。 8、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部。 9、假设函数f(z)是区域D内的解析函数，且在D内的某个圆内恒等于常数，那么f(z)在区域D内恒等于常数。 10、。 二、填空题2x10=20分1、函数ez的周期为_。2、幂级数的和函数为_。3、函数ez的周期为_。4、设，那么的孤立奇点有_。的收敛半径为_。5、幂级数的和函数为_。6、假设函数f(

22、z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，那么称它是D内的_。7、假设，那么_。8、_，其中n为自然数。9、方程在单位圆内的零点个数为_。10、函数的幂级数展开式为_。三、计算题5x6=30分：1、2、求3、4、求函数在内的罗朗展式。5、求方程在单位圆内零点的个数。6、求。四、证明题6+7+7=20分1、设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析。2、如果函数在上解析，且，那么。3、设方程 证明：在开单位圆内根的个数为5。"复变函数"考试试题五一、判断题3x10=30分：1、假设函数f(z)在z0解析，那么f(z)在z0连续。 2、假设函

23、数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，那么f(z)在z0解析。 3、假设函数f(z)在z0解析，那么f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件。( )4、假设函数f(z)在是区域D内的单叶函数，那么。 5、假设f(z)在单连通区域D内解析，那么对D内任一简单闭曲线C都有。 6、假设f(z)在区域D内解析，那么对D内任一简单闭曲线C都有。 7、假设，那么函数f(z)在是D内的单叶函数。 8、假设z0是f(z)的m阶零点，那么z0是1/ f(z)的m阶极点。 9、如果函数f(z)在上解析，且，那么。 10、。 二、填空题2x10=20分1、假设，那么_。2、设，那么的定

24、义域为_。3、函数sin z的周期为_。4、_。5、幂级数的收敛半径为_。6、假设z0是f(z)的m阶零点且m>1，那么z0是的_零点。7、假设函数f(z)在整个复平面处处解析，那么称它是_。8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为_。9、方程在单位圆内的零点个数为_。10、公式称为_。三、计算题5x6=30分：1、2、设，其中，试求3、设，求4、求函数在内的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、求的值。四、证明题6+7+7=20分1、方程在单位圆内的根的个数为6。2、假设函数在区域D内解析，等于常数，那么在D内恒等于常数。3、假设z0是的m阶零点，那么z0是1/的m阶极点。"

25、复变函数"考试试题六一、判断题3x8=24分1、假设函数f(z)在z0解析，那么f(z)在z0的某个邻域内可导。 2、假设函数f(z)在z0处解析，那么f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件。 3、如果z0是f(z)的可去奇点，那么一定存在且等于零。( )4、假设函数f(z)是区域D内的单叶函数，那么。 5、假设函数f(z)是区域D内的解析函数，那么它在D内有任意阶导数。 6、假设函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，那么在区域D内恒等于常数。 7、假设z0是f(z)的m阶零点，那么z0是1/ f(z)的m阶极点。 8、。 二、填空题2x10=20分1、

26、假设，那么_。2、设，那么的定义域为_。3、函数的周期为_。4、_。5、幂级数的收敛半径为_。6、假设z0是f(z)的m阶零点且m>1，那么z0是的_零点。7、假设函数f(z)在整个复平面处处解析，那么称它是_。8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为_。9、方程在单位圆内的零点个数为_。10、_。三、计算题5x6=30分1、求2、设，其中，试求3、设，求4、求函数在内的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分：四、证明题6+7+7=20分1、方程在单位圆内的根的个数为7。2、假设函数在区域D内解析，等于常数，那么在D内恒等于常数。3、假设z0是的m阶零点，那么z0是1

27、/的m阶极点。五、计算题10分求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘保形映射为w平面的单位圆盘。"复变函数"考试试题七一、 判断题2x10=20分1、假设函数f(z)在z0可导，那么f(z)在z0解析。 2、假设函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，那么f(z)在z0解析。 3、如果z0是f(z)的极点，那么一定存在且等于无穷大。( )4、假设f(z)在单连通区域D内解析，那么对D内任一简单闭曲线C都有。 5、假设函数f(z)在z0处解析，那么它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。 6、假设f(z)在单连通区域D内解析，那么对D内任一简单闭曲线C都有

28、。 7、假设函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常数，那么f(z)在区域D内恒等于常数。 8、假设z0是f(z)的m阶零点，那么z0是1/ f(z)的m阶极点。 9、如果函数f(z)在上解析，且，那么。 10、。 二、填空题2x10=20分1、假设，那么_。2、设，那么的定义域为_。3、函数sin z的周期为_。4、_。5、幂级数的收敛半径为_。6、假设z0是f(z)的m阶零点且m>1，那么z0是的_零点。7、假设函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，那么称它是_。8、函数的不解析点之集为_。9、方程在单位圆内的零点个数为_。10、_。三、计算题5x6=3

29、0分1、2、设，其中，试求3、设，求4、求函数在内的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分。四、证明题6+7+7=20分1、方程在单位圆内的根的个数为6。2、假设函数在区域D内解析，等于常数，那么在D内恒等于常数。3、假设z0是的m阶零点，那么z0是1/的m阶极点。五、计算题10分求一个单叶函数，去将z平面上的带形区域保形映射为w平面的单位圆盘。"复变函数"考试试题八二、 判断题4x10=40分：1、假设函数f(z)在z0解析，那么f(z)在z0的某个邻域内可导。 2、如果z0是f(z)的本性奇点，那么一定不存在。 3、假设函数在D内连续，那么u(x,y

30、)与v(x,y)都在D内连续。( )4、cos z与sin z在复平面内有界。 5、假设z0是的m阶零点，那么z0是1/的m阶极点。 6、假设f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，那么f(z)在z0解析。 7、假设存在且有限，那么z0是函数的可去奇点。 8、假设f(z)在单连通区域D内解析，那么对D内任一简单闭曲线C都有。 9、假设函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，那么它在D内有任意阶导数。 10、假设函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，那么在区域D内恒等于常数。 二、填空题4x5=20分1、函数ez的周期为_。2、幂级数的和函数为_。3、设，那么f(z)的定义域为_。

31、4、的收敛半径为_。5、_。三、计算题8x5=40分：1、2、求3、。4 设。求，使得为解析函数，且满足。其中D为复平面内的区域。5、求，在|z|<1内根的个数"复变函数"考试试题九一、判断题。正确者在括号内打，错误者在括号内打×，25=10分1当复数时，其模为零，辐角也为零。 2假设是多项式的根，那么也是 的根。 3如果函数为整函数，且存在实数，使得，那么为一常数。 4设函数与在区域D内解析，且在D内的一小段弧上相等，那么对任意的，有。 5假设 是函数的可去奇点，那么。 二、填空题每题2分1 。2设，且，当时，。3函数将平面上的曲线变成平面上的曲线。4方程的不同的根为。5。6级数的收敛半径为。7在n为正整数内零点的个数为。8函数的零点的阶数为。9设为函数的一阶极点，且，那么。10设为函数的m阶极点，那么。三、计算题。50分1 设。求，使得为解析函数，且满足。其中D为复平面内的区域。15分2求以下函数的奇点，并确定其类型对于极点要指出它们的阶。10分 1 ； 5分 2。5分3计算以下积分。15分 1 8分， 27分。4表达儒歇定理并讨论方程在内根的个数。10分四证明题。20分