排列组合问题常用方法(二十种)

1、解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） 例1、由0，1,2,3, 4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析： 特殊元素和特殊位置有特殊要求， 应优先考虑。 末位和首位有特殊要求。 先排末位， 从 1,3,5 三 个数中任选一个共有 C31 种组合；然后排首位，从 2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有C41种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有A43种排列。由分步计数原理得 C31C14 A43 288 。变式1、7 种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多 少不同的种法？分析：先种两种不同的

2、葵花在不受限制的四个花盒中共有A42 种排列，再种其它葵花有 A55 种排列。由分步计数原理得 A42 A55 1440。二、相邻问题捆绑法例2 、 7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？ 分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一 个复 合元素， 再与其它元素 进行排列 ，同时 在两对 相邻元素 内部进行自排 。由分步 计数原理得 522A55A22A22 480。变式 2 、某人射击 8枪，命中 4 枪， 4枪命中恰好有 3枪连在一起的情形的不同种数为。2分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个

3、空位，共有A52 种排列。三、相离问题插空法例 3 、一个晚会节目有 4 个舞蹈， 2 个相声， 3 个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排 2 个相声和 3个独唱共有 A55 种排列，第二步将 4 个 舞蹈插入第一步排好后形成的 6 个空位中（包含首尾两个空位）共有A64 种排列，由分步计数原理得A55A64 43200。变式 3 、某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节 目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。分析：将 2个新节目插入原定 5个节目排好后形成的 6 个空位中（包

4、含首尾两个空位） 共有 A62种排列， 由分步计数原理得 A62 30 。四、定序问题除序（去重复） 、空位、插入法例4 、 7人排队，其中甲、乙、丙 3人顺序一定，共有多少种不同的排法？ 分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几 个元素与其他元素一起进行排列， 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。 共有不同排法种数为： A773 840 。A33（空位法）设想有 7把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有A74 种坐法；甲、乙、丙坐其余的三个位置，共有 1种坐法。总共有 A74 840 种排法。思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以） （

5、插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有C73 种选法；余下四个空座位让其余四人就坐，共有 A44 种坐法。总共有 C73A44 840种排法。变式 4 、 10人身高各不相等，排成前后排，每排5 人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的排法？分析： 10 人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法； 现排成前后两排，因此共有 C150 252 种排法。解排列组合问题常用方法（共 8 页）五、平均分组问题倍除法（去重复法）6 本书为 ABCDEF ，若第一步取 AB ， ，则在 C62C42C22 中还有 AB， CD， EF 、 3AB，CD，

6、EF 共 A33 种分法 ，而这些分例5、6 本不同的书平均分成 3堆，每堆 2本，有多少种不同的分法？ 分析：分三步取书有 C62C42C22 种分法，但存在重复计数。记 第二步取 CD ，第三步取 EF ，该分法记为 AB， CD， EFAB，CD，EF 、 AB，CD， EF 、 AB，CD， EF 、C2C2C2法仅是 AB，CD， EF 一种分法。总共应有 6 43 2 种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都A33 是一种情况，分组后一定要除以Ann（ n为均分的组数） ，避免重复计数。变式 5 、将13个球队分成 3组，一组 5个队，其它两组 4 个队，有多少种不同的分法？

7、分析：分三步。第一步取 5个队为一组， 有C153种分法；余下 8个队平均分成两组， 每组 4个队，有C84C44 种分法，但存在重复计数。记 8 个队为 ABCDEFGH ，若第二步取 ABCD ，第三步取 EFGH ，该分法 记为 ABCD，EFGH ，则在 C84C44中还有 EFGH，ABCD 共 A22种分法，而这 A22 种分法是同一种分 法。总共应有 C153 C8C24 种分法。13 A22 变式 5 、 10名学生分成 3组，其中一组 4 人，另两组 3人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不 同的分组方法？分析：总的分组方法：分三步。第一步取4 人为一组，有 C140 种分

8、法；余下 6 个人平均分成两组，每组 3个人，有C63C33种分法，但存在重复计数。 记 6个人为 ABCDEF ，若第二步取 ABC ，第三步取 DEF ， 该分法记为 ABC，DEF ，则在 C63C33中还有 DEF，ABC 共 A22种分法，而这 A22 种分法是同一种分 C3C3法。总共应有 C10 C6C23 2100种分法。10 A22正、副班长同分在 4人一组：分三步。第一步在 8 人中取 2 人，加上正、副班长共 4 人为一 组，有 C82 种分法；余下 6个人平均分成两组，每组 3个人，有 C63C33 种分法，但存在重复计数。记 6 个人 为 ABCDEF ，若第二步取

9、ABC ，第三步取 DEF ，该分法记为ABC， DEF ，则在 C63C33 中还有C3C3DEF，ABC 共 A22种分法，而这 A22 种分法是同一种分法。总共应有 C82 C6C23 280种分法。1人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。总共应有2 2 8 A22 正、副班长同分在 3人一组：分三步。第一步在 8人中取 4人，有 C84种分法；第二步在余下 的 4 人中取 3 人，有 C43 种分法；第三步余下 C84C43 280 种分法。33减减得：总共有 C140 CA6C22 3332 C6C3 4 3 C8 2 C8C48 A22 8 4 变式 5 、某校高二年级共有 6

10、个班级，现从外地转入 4名学生， 排 2 名，则不同的安排种数为。分析：分三步。前两步将转入的 4 名学生平均分成两组， 复计数。记 4名学生为 ABCD ，若第一步取 AB ，第二步取 还有 CD， AB 共 A22 种分法，而这 A22 种分法是同一种分法。 种分法。总共应有 C4C22 A62 90 种分法。A226六、元素相同问题隔板法 例 6 、有 10个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个，有多少种分配方案？2100 280 280 1540种分法。要安排到该年级的两个班级且每班安2 名学生，有 C42C22 种分法，但存在重该分法记为 AB，CD ，则在 C42C22 中2

11、第三步将分成的两组分配到 6 个班级， 有 A62每组CD ，解排列组合问题常用方法（共 8 页）分析：隔板法也就是档板法。分两步。第一步：每班分配1个名额，只有 1种分法；第二步：将剩下的3个名额分配给 7 个班。取 7 1 6块相同隔板，连同 3个相同名额排成一排，共 9个位置。由隔板法知， 在 9 个位置中任取 6 个位置排上隔板，有 C96 种排法。每一种插板方法对应一种分法，由分步计数原理知， 共有 C96 84 种分法。变式 6 、 10个相同的球装入 5 个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？分析：分两步。第一步：每盒先装入 1个球，只有 1种装法；第二步：将剩下的 5 个球装入

12、5个盒中。 取 5 1 4 块相同隔板，连同 5 个相同的球排成一排，共 9 个位置。由隔板法知，在 9 个位置中任取 4 个 位置排上隔板， 有C94种排法。 每一种插板方法对应一种装法， 由分步计数原理知， 共有 C94 126种装法。 变式 6 、 x y z w 100 ，求这个方程的自然数解的组数。分析：取 4 1 3块相同隔板，连同 100个相同的 1排成一排，共 103 个位置。由隔板法知，在 103个 位置中任取 3 个位置排上隔板，有 C1303种排法。每一种插板方法对应一组数，共有C1303 176851组数。七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） 例 7 、

13、从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中取出三个，使其和为不小于10 的偶数，不同的取法有多少种？分析：直接求不小于 10的偶数很困难，可用总体淘汰法。十个数字中有5个偶数 5 个奇数，所取的三个数字含有 3个偶数的取法有 C53 ，只含有 1个偶数的取法有 C51C52 ，和为偶数的取法共有 C51C52 C53。淘 汰和小于 10 的偶数共 9种 0 2 4 、 0 2 6 、 0 1 3 、 0 1 5 、 0 1 7 、 0 1 9 、1 2 32 1 3 、 2 1 5 、 4 1 3 ，符合条件的取法共有 C51C52 C53 9。 。变式 7 、一个班有 43名同学，

14、从中任抽 5人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种?分析：未抽到正、副班长、团支部书记的抽法有C450 种；正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有 C453 C450 种。八、重排问题求幂法例8、把 6名实习生分配到 7个车间实习，共有多少种不同的分法？ 分析：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有 7 种分法，把第二名实习生分配到车间也有7 种分法，依此类推，由分步计数原理共有76 种不同的分法。变式 8 、某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新 节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为。分析：完成此事共分两步：把第一个新

15、节目插入原定5个节目排后形成的六个空中，有6 种插法；把第二个新节目插入前面 6个节目排后形成的七个空中，有7 种插法。由分步计数原理共有6 7 42种不同的插法。变式 8、某 8层大楼一楼电梯上来 8名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的下法有多少种？ 分析：完成此事共分八步：第一名乘客下电梯有 7 种下法，第二名乘客下电梯也有 7 种下法，依此类 推，由分步计数原理共有 78 种不同的下法。九、环（圆）排问题直排法 环形排列问题： 如果在圆周上 m个不同的位置编上不同的号码， 那么从 n 个不同的元素的中选取 m 个不同的元素排在圆周上不同的位置， 这种排列和直线排列是相同的； 如果从

16、n 个不同的元素的中选取 m 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直 线排列是不同的，这就是环形排列的问题。 环形排列数：一个 m个元素的环形排列，相当于一个有m 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个 m个元素的环形排列对应着 m 个直线排列。设从 n 个元素中取出 m 个元素组成的环形排列数为 N 个，则对应的直线排列数为 mN 个。m m 1 m又因为从 n个元素中取出 m个元素排成一排的排列数为 Anm个，所以 mN Anm，即 N 1 Anm 。 m 环形排列数公式：解排列组合问题常用方法（共

17、8 页）1从 n 个元素中取出 m 个元素组成的环形排列数为 N 1 Anm 。m1 n n! n 个元素的环形排列数为 NAnnn 1 ! 。nn 例 9 、 8 人围桌而坐，共有多少种坐法？CFH分析：围桌而坐与坐成一排的不同点在于坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展 成直线（如图所示） ，其余 7 人共有 8 1 ! 7! 7 6 5 4 3 2 1 5040种不同的坐法。ABCDEFGHA变式 9、6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？分析：可穿成 6 1 ! 5! 5 4 3 2 1 120种不同的钻石圈。十、多排问题单排法例10、 8人排成前后两排，每排 4人，其

18、中甲、乙在前排，丙在后排，共有多少种排法？分析： 8人排前后两排，相当于 8人坐 8把椅子，可以把椅子排成一排。先排前4个位置上的 2个特殊元素甲、乙有 A42种排法；再排后 4 个位置上的 2 个特殊元素丙有 A41 种；其余的 5 人在 5个位置上任意 排列有 A55种。共有 A42 A41A 55 5760种不同的排法。排好后，按前 4人为前排，后 4人为后排分成两排即 可。变式10 、有两排座位，前排 11个座位，后排 12个座位。现安排 2 人就坐，规定前排中间的 3个座位不能 坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同坐法的种数为。分析：前后两排共有 23个座位。前排中间第 5，6，7

19、号 3个座位甲、乙二人不能坐。甲、乙二人 不能左右相邻。前排第 1，4，8，11号和后排第 1，12号 6个座位，甲、乙中任一人就坐，有 C61种坐法，与之相 邻座位只能排除一个，另一人有 C123 3 1 1 C118种坐法，共有 C61C118种坐法；而其它 23 3 6 14个座位， 甲、乙中任一人就坐， 有C114种坐法，与之相邻座位要排除两个， 另一人有 C1233 21 C117种坐法，共有 C114C117 种坐法。总共有 C61C118 C114C117 108 238 346 种不同坐法。 十一、排列组合混合问题先选后排法 例11、有 5个不同的小球，装入 4个不同的盒内，每

20、盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？分析：第一步从 5个球中选出 2个组成复合元素，有 C52种方法；第二部把 4 个元素（包含一个复合元 素）装入 4个不同的盒内，有 A44种方法。由分步计数原理得 C52 A44 240 。 变式11 、一个班有 6 名战士，其中正、副班长各 1人。现从中选 4 人完成四种不同的任务，每人完成一种 任务，且正、副班长有且只有 1人参加，则不同的选法有多少种？分析：正、副班长选一人，有 C21种选法。 4名战士选三人，有 C43 种选法。给选出的 4 人分配 四种不同任务，有 A44 种分配法。由分步计数原理得 C12C43A44 192 。 十二、小集团

21、问题先整体后局部法 例12、用 1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数在1，5之间，这样的五位数有多少个？分析：两个偶数 2，4在 1，5之间是一个不能打破的小集团，3在这个小集团之外。把 1，5，2，4当作一个小集团与排列，有 A22种排法。再排小集团内部。 1，5有A22种排法； 2，4也有 A22种排法。由分步 计数原理得 A22 A22 A22 8 。变式 12 、计划展出 10 幅不同的画，其中 1幅水彩画， 4幅油画， 5幅国画，排成一行陈列。要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 。解排列组合问题常用方法（共 8 页） 4

22、分析： 4幅油画是一个小集团，内部有A44 种排法； 5 幅国画也是一个小集团，内部有A55种排法；两个小集团排列，有 A22 种排法；将 1幅水彩画插入两个小集团排列后形成的一个空中，有1种排法。由分步计数原理得 A44A55A22 1 5760 。变式12、 5男生和 5女生站成一排照像，男生相邻且女生也相邻的排法有种。分析： 5男生是一个小集团，内部有A55 种排法； 5 女生也是一个小集团，内部也有A55种排法；两个小集团排列，有 A22 种排法。由分步计数原理得 A55A55A22 28800。 十三、含约束条件问题合理分类与分步法 例13 、在一次演唱会上共 10 名演员，其中 8

23、人会唱歌， 5人会跳舞，现要演出一个 2人唱歌 2人伴舞的 节目，有多少种选派方法？分析： 10名演员中有 5人只会唱歌， 2人只会跳舞， 3人为全能演员。 以选上唱歌人员为标准分三类， 每一类中再分步：只会唱歌的 5人中没有人选上唱歌人员，有 C32C32 种；只会唱歌的 5人中只有 1人选 上唱歌人员，有 C5C3C4 种；只会唱歌的 5 人中有 2 人选上唱歌人员，有 C52C52 种。由分类计数原理得， 2 2 1 1 2 2 2共有 C3C3 C5C3C4 C5C5 199 种选派方法。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步。做到分类 标准明确

24、，贯穿解题过程始终；每一类中分步层次清楚，不重不漏。本题还有如下分类标准：以 3个全能演员是否选上唱歌人员为标准；以3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准；以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准。变式13 、从 4名男生和 3名女生中选出 4人参加某个座谈会，若这 4人中必须既有男生又有女生，则 不同的选法共有 种。分析：以选上女生为标准分三类，每一类中再分步：选上女生1人，有 C31C43种；选上女生 2 人，有 C32C42 种；选上女生 3 人，有 C33C41种。由分类计数原理得，共有 C31C43 C32C42 C33C41 34种选派方 法。本题还可以选上男生为标准分三类。变式1

25、3 、 3成人 2小孩乘船游玩， 1号船最多乘 3人， 2号船最多乘 2人， 3号船只能乘 1人，他们任 选 2只船或 3只船，但小孩不能单独乘一只船，这3 人共有多少种乘船方法？分析：分两大类。第一大类为选 2只船，则只能选 1号船和 2 号船。以 1号船乘成人为标准，又可分为 两小类：每一小类乘成人 1人，有 C31C22种；每二小类乘成人 2人，有 C32C21种。第二大类为选 3只船。以 1 号船乘成人为标准，又可分为三小类，每一小类均有C21C12 C22C21 种。由分类计数原理得，共有C3C2 C3C2 3 C2C2 C2C2 27 种乘船方法。十四、简单问题实际操作穷举法例14

26、、设有编号 1，2， 3 ， 4 ， 5的五个球和编号 1， 2，3， 4， 5的五个盒子，现将 5个球放入 5个 盒子内，要求每个盒子放 1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？分析：从 5个球中取出 2 个与盒子对号，有 C52种取法；剩下 3球3盒不对号，利用实际操作法。如果 剩下 3，4，5号球， 3，4，5号盒， 3号球只能装入 4号或 5号盒，有两种装法；当 3号球装 4号盒时， 则 4 ，5号球，只有1种装法；同理 3号球装 5号盒时， 4 ，5号球有也只有 1种装法。由分步计数原理有 2C52 种。变式 14、同一寝室 4 人，每人写一张贺年卡集中起

27、来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡 不同的分配方式有多少种？分析：设甲、乙、丙、丁 4 人，甲可拿乙、丙、丁的贺年卡。分三类。第一类：甲拿乙的，则乙可拿 甲、丙、丁的，无论乙拿甲（或丙或丁）的，丙、丁的拿法都唯一，有3 种。第二类：甲拿丙的，则乙只能拿甲、丁的。若乙拿甲的，丙、丁的拿法唯一，有1种；若乙拿丁的，则丙拿甲丁拿乙或丙拿乙丁拿甲，有 2种。小计有 3种。第三类：与第二类同理，有 3 种。由分类计数原理知，共有 3 3 3 9种。 十五、数字排序问题查字典法 例15、由 0，1， 2，3， 4 ， 5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？解排列组合问题常用方

28、法（共 8 页）分析：数字排序问题可用查字典法。从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原 54 理求出其总数。首位（十万位）为 5或 4，各有 A55个；首位为 3，万位为 5或 4，各有 A44 个；首 位为 3，万位为 2，千位为 5，有 A33个；首位为 3，万位为 2，千位为 4，百位为 5，有 A22 个；首位 1 5 4321为 3，万位为 2，千位为4 ，百位为5，十位为1，有A11个。共有2A552A44A33A22A11297 个。变式15、用0 ，1，2，3，4， 5这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来， 第 71 个数是 。分析：千

29、位为 1，个位为 0 ，有 A42 12个；千位为 1，个位为 2 ，有 A42 12个；千位为 1，个 位为 4，有 A42 12个；千位为 2，个位为 0，有 A42 12个；千位为 2，个位为 4，有 A42 12个； 千位为 3，十位为 0，个位为 2（或 4），各有 3个。共 66个。接下来有 3102， 3104 ， 3120， 3124， 3140， L ，第 71个数是 3140。十六、复杂问题分解与合成法 分解与合成法是解排列组合问题的一种最基本的解题方法。把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解 决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成。从而得到问题

30、的答案。每 个比较复杂的问题，都要用到这种解题方法。例 16、 30030能被多少个不同的偶数整除？分析：先把 30030分解成质因数的乘积形式 30030 2 3 5 7 11 13 。依题意可知：偶因数必先 取 2 ，再从其余 5个因数中任取若干个组成乘积。所有的偶因数为：C51 C52 C53 C54 C55 。变式16 、正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线？分析：从 8个顶点中任取 4个顶点构成四面体共有 C84 12 58 个，每个四面体有 3对异面直线，正 方体的 8 个顶点可连成 3 58 174对异面直线。十七、复杂问题转化归结法（化归法）例17 、25 人排成 5 5

31、方阵，现从中选 3人，要求 3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？ 分析：将问题退化成 9人排成 3 3 方阵，现从中选 3 人，要求 3 人不在同一行也不在同一列，有多少种 不同的选法？这样每行（列）有且只有 1人，从其中的 一行中选取 1人后，把这人所在的行列都划掉，如此继 续下去，从 3 3 方队中选 3人的方法有 C31C21C11 种。再 从 5 5方阵选出 3 3 方阵便可解决问题。从 5 5 方队3 3 3 3 1 1 1 中选取 3行3列，有 C5C5选法。所以从 5 5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有 C5C5C3C2C1选法。D 、 E 五个字母，现从中取 5

32、 只，要求各字变式17 、某城市的街区由 12个全等的矩形区域组成， 其中实线表示马路，从 A走到 B 的最短路径有多少种？ 分析：将问题退化成从 A走到 B 的最短路径需要 七步，四步向右三步向上，共有 C73 （或 C74 ） 35 种。 十八、复杂分类问题表格法 例18、有红、黄、兰色的球各 5只，分别标有 A、 B、C、母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法？分析：一些复杂的分类选取题，要满足的条件比较多，无从入手，经常出现重复遗漏的情况，用表格 法，则分类明确，能保证题中须满足的条件，达到好的效果。红111223黄123121321211取法C51C14C51C42C51C43C52C31C52C32C53C12解排列组合问题常用方法（共 8 页）十九、运算困难问题树图法例19 、 3人相互传球，由