哈尔滨师范大学Word版

1、哈尔滨师范大学学 年 论 文 题 目 泰勒公式及其在解题中的应用学 生 郭永晶指导教师 孙玉莉年 级 2008级5班专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 文理学院 哈尔滨师范大学 2011年4月1 / 14 论 问 题 要 本文较为详细介绍了泰勒公式这部分内容所涉及的基本概念.除介绍基本概念外,还有相关定理及余项表达式.在此基础上,对泰勒公式在证明不等式和等式求极限,极值和在近似计算中的应用进行了全面的总结.同时配备了相应的例题解答和文字说明.使读者更好的更深刻的理解泰勒公式的应用. 泰勒公式及其在解题中的应用郭永晶摘 要：本文介绍了泰勒公式及其几个常见函数展开式.并主要介绍了求极限,证

2、明不等式,判断级数敛散性,进行近似计算,求函数的幂级展开式,求行列式的值,证明根的唯一存在性,判断函数的极值.关键字：泰勒公式 极值 极限一 引言 泰勒公式在数学分析中是非常重要的内容，可以说它是把复杂问题简单化的一把利剑，泰勒公式在分析和研究一些数学问题上有广泛的应用.二 与泰勒公式有关的几种不同形式 定义一：对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数.由这些导数构造一个此多项式： + + + + 称为函数在点处的泰勒多项式.定理一：若函数在点存在直至阶导数，则有 +,即 +(x0)+ + + o(xx0)n) 定义二：泰勒公式在的特殊形式：+ (0) + + + + .它也称为（带有佩亚诺余项

3、的）麦克劳林公式定理二：（泰勒定理） 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的,至少存在一点 ,使得 + (x0) + + + . （1） 定义三：上式也称泰勒公式，它的余项为 =, + (),称为拉格朗日余项，所以（1）式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.定义四：当时，得到泰勒公式 + (0) + + + +（0<<1）.称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林公式.三 泰勒公式在解题中的应用1 求极限例1 .分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式. 解： 由,得,于是.2 证明不等式例2 当时,证明.证

4、明： 取,则带入泰勒公式,其中=3,得，其中.故当时,.3 证明根的唯一存在性 例3 设在上二阶可导,且,对, 证明：在内存在唯一实根.分析：这里是抽象函数,直接讨论的根有困难,由题设f(x)在上二阶可导且,可考虑将在点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.证明： 因为,所以单调减少,又,因此x>a时,故在上严格单调减少.在点展开一阶泰勒公式有由题设,于是有,从而必存在,使得,又因为,在上应用连续函数的介值定理,存在,使,由的严格单调性知唯一,因此方程在内存在唯一实根.4 判断极值例4 (极值的第二充分条件)设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,.(i)若,则在取得极大值.(i

5、i) 若,则在取得极小值.证明： 由条件，可得f在处的二阶泰勒公式.由于,因此.(*)又因,故存在正数,当时,与同号.所以,当时,(*)式取负值,从而对任意有,即在取得极大值.同样对,可得在取得极小值.5 基本初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例5 求的幂级数展开式.解： 利用泰勒公式6 近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为,其误差是余项. 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001 先写出带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：,其中（在0与x之

6、间）.令,要使则取即可.因此当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.例6 求的近似值,精确到. 因为中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求的近似值.解： 在的展开式中以代替 得逐项积分,得上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项的估计式知7 求高阶导数数值如果泰勒公式已知,其通项中的加项的系数正是,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导. 例7 求函数在x=1处的高阶导数. 解： 设x=u+1,则,在u=0的泰勒公式为,从而,而g(u)中的泰勒展开式中含的项应为,从g(u)的展开式知的项为,因此,.8 求行列

7、式的值若一个行列式可看做的函数（一般是的次多项式）,记作,按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例8 求阶行列式 D= （1） 记,按泰勒公式在z处展开：解： , （2）易知 （3）由（3）得,.根据行列式求导的规则,有于是在处的各阶导数为, 把以上各导数代入（2）式中,有若,有,若,有.9 判断级数敛散性 例9 讨论级数的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛容易进行.解： 因为,所以,所以故该级数是正向级数.又因为,所以.因为收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛四 总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献：（1） 陈传章 金福林数学分析（下）（2） 张自兰 崔福萌高等数学证题方法（3） 王向东 数学分析的