第三节__三重积分计算(2)

1、第三节第三节 三重积分的计算三重积分的计算一、三重积分的定义一、三重积分的定义二、利用直角坐标计算三重积分二、利用直角坐标计算三重积分三、利用柱面坐标计算三重积分三、利用柱面坐标计算三重积分四、利用球面坐标计算三重积分四、利用球面坐标计算三重积分设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域 上的有界上的有界函数，将闭区域函数，将闭区域 任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1V ，2V , ,nV ，其中，其中iV 表示第表示第i个小闭区域，也个小闭区域，也表示它的体积表示它的体积, ,在每个在每个iV 上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiiVf ),(，), 2 , 1

2、(ni ， 并作和， 并作和, , 如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区域在闭区域 上的上的三重积分三重积分，记为，记为 Vzyxfd),(, , 一、三重积分的定义一、三重积分的定义即即 Vzyxfd),(iiiniivf ),(lim10 . .d叫叫做做体体积积元元素素其其中中 V, 的平面来划分的平面来划分用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjizyxV 则则三三重重积积分分记记为为 zyxzyxfddd),

3、(iiiniivf ),(lim10 . .ddd积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中zyx(1) 三重积分的存在性：三重积分的存在性：当当),(zyxf在在 闭闭 区区 域域 上上 连连 续续 时时 ， 则则),(zyxf在在 上上的的三三重重积积分分一一定定存存在在. (2) 三重积分没有几何意义，但有物理意义三重积分没有几何意义，但有物理意义. 设设),(zyxf表示表示某某物体物体在在点点),(zyx处的处的体体密密度度， 是是该物体该物体所所占有占有的的空间空间区域区域， ),(zyxf在在 上连续，上连续，则则该该物体物体的质量的质量 M 为为： Vzyxf

4、Md),(性质性质 (线性性质线性性质) Vzyxgzyxfd),(),(性质性质2 (对区域具有可加性对区域具有可加性)21 设设 VzyxgVzyxfd),(d),( 21d),(d),(d),( VzyxfVzyxfVzyxf性质性质3.d1 VV性质性质4, 0),( zyxf. 0d),( Vzyxf则有则有若在若在D上有上有(3) 绝对可积性绝对可积性.d| ),(|d),( VzyxfVzyxf若在若在D上有上有),(),(zyxgzyxf .d),(d),( VzyxgVzyxf则有则有(2) (2) 单调性单调性(1) (1) 正性正性 设函数设函数),(zyxf在闭区域在闭

5、区域 上连续，上连续，V为为 的面积，则在的面积，则在 上至少存在一点上至少存在一点),( 使得使得 性质性质5（三重积分中值定理）（三重积分中值定理）VfVzyxf ),(d),( .d),(1lim,),(,),( ,),(30000000 rVzyxfrrzyxzyxzyxfrr 试求极限试求极限为半径的闭球体为半径的闭球体心以心以为中为中是以是以的一个内点的一个内点是是上连续上连续在区域在区域设设例例直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、利用直角坐标计算三重积分二、利用直角坐标计算三重积分1、坐标面投影法、坐标面投影法xyzo D1z2z2S1S),(

6、1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,xyDxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点xyDyx 穿穿出出穿穿入入，从从从从21zz),( , ),(),(| ),(21xyDyxyxzzyxzzyx 函函数数，则则的的只只看看作作看看作作定定值值，将将先先将将zzyxfyx),(, ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyxfyxF上的二重积分上的二重积分在闭区间在闭区间计算计算xyDyxF),(.dd),(d),(),(),(21 Dyxzyx

7、zDzzyxfyxF , )()(| ),(21bxaxyyxyyxD 得得 Vzyxfd),(.d),(dd)()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzzzyxfyx注意注意于于两两点点情情形形相相交交不不多多的的边边界界曲曲面面直直线线与与闭闭区区域域内内部部的的轴轴且且穿穿过过闭闭区区域域这这是是平平行行于于Sz 这种方法称为坐标面投影法这种方法称为坐标面投影法. .型型空空间间区区域域称称为为闭闭区区域域xy ),( , ),(),(| ),(21xyDyxyxzzyxzzyx 例例 1 1 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三为三次积分，其中积分区域次积分

8、，其中积分区域 为由曲面为由曲面 222yxz 及及22xz 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域 , 1:22 yxDxy.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI),( ,22| ),(222xyDyxxzyxzyx 故故 ：11,11| ),(22 xxyxyxDxy例例2 2 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三为三次积分，其中次积分，其中 积分区域积分区域 为由曲面为由曲面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所围所围成的空间闭区域成的空间闭区域. 1101222),(yxxdzzyxf

9、dydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，),( , ),(),(| ),(21yzDzyzyxxzyxzyx :,yzDyozSx平平面面得得投投影影区区域域投投影影到到把把相相交交不不多多于于两两点点的的边边界界曲曲面面与与内内部部的的直直线线轴轴且且穿穿过过闭闭区区域域若若平平行行于于 .型型空空间间区区域域称称为为闭闭区区域域yz Vzyxfd),(.dd),(),(),(21 yzDzyxzyxxzyxf ),( , ),(),(| ),(21zxDxzxzyyxzyzyx :,zxDzoxSy平平面面得得投投影影区区域域投投影影到到把把相相交交不不多多于于

10、两两点点的的边边界界曲曲面面与与内内部部的的直直线线轴轴且且穿穿过过闭闭区区域域若若平平行行于于 .型型空空间间区区域域称称为为闭闭区区域域zx Vzyxfd),(.dd),(),(),(21 zxDxzyxzyyzyxf 例例 3 3 计算三重积分计算三重积分dxdydzxy 21，其中，其中 由曲面由曲面221zxy ，122 zx，1 y所所围成围成. 先先对对y积积分分， 再再求求zxD上上二二重重积积分分, 解解如图如图, 11222ddd1zxDyyzxxzx原原式式dzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxx

11、x.4528 2、坐标轴投影法、坐标轴投影法(截面法截面法) , ,qpz 轴轴作作投投影影得得投投影影区区间间向向将将空空间间区区域域 ,), 0 , 0(,所所得得的的平平面面区区域域面面的的平平面面截截于于且且平平行行表表示示过过点点用用时时当当 xoyzDqzpz :可表示为可表示为若若 ,),( | ),(qzpDyxzyxz .型型空空间间区区域域称称为为则则闭闭区区域域z .,型区域型区域型区域与型区域与可定义可定义类似地类似地yx(1) 把把积积分分区区域域 向向某某轴轴（例例如如 z轴轴）投投影影，得得投投影影区区间间 ,qp； (3) 计计算算二二重重积积分分 zDyxzy

12、xfdd),( 其其结结果果为为 z的的函函数数)(zF； (2) 对对,qpz 用用过过z轴轴且且平平行行xoy平平面面的的平平面面去去截截 ，得得截截面面zD; (4) 最最后后计计算算单单积积分分 qpzzFd)(即即得得三三重重积积分分值值. 坐标轴投影法坐标轴投影法(截面法截面法)的一般步骤的一般步骤: zpq例例 4 4 计计算算三三重重积积分分 zyxzddd，其其中中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域. 解解（一一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)

13、1(21dzzz241 .xozy111解解（二二）xozy111 zdxdydz,10 zDdxdyzdz zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .例例 5 5 计计算算三三重重积积分分dxdydzz 2，其其中中 是是由由椭椭球球面面1222222 czbyax所所成成的的空空间间闭闭区区域域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),

14、(yxDz 1222222czbyax 原式原式法：法：下列情形可考虑用截面下列情形可考虑用截面;,)1型型的的恰恰是是型型的的不不是是积积分分区区域域zxy .dd),(,)2易易于于计计算算时时或或的的函函数数时时表表达达为为的的面面积积容容易易且且无无关关被被积积函函数数与与 zDzyxzyxfzDxy例例 6 计计算算 dxdydzyxI)(22， 其其中中 是是曲曲线线 zy22 ，0 x 绕绕oz轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的曲曲面面与与平平面面8 z所所围围的的立立体体. 解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴轴旋旋转转得得， 旋旋转转抛抛物物面面方方程程为为 ,222zyx

15、.,2,22故故可可用用截截面面法法计计算算圆圆域域截截面面为为轴轴的的平平面面去去截截它它用用垂垂直直于于zyxz 80222dd )(d22yxyxzIzyx80,),( | ),( zDyxzyxz 2| ),(22zyxyxDz 其其中中 zz2028020ddd 802d4412zz 3823 .31024 3、利用对称性化简三重积分计算、利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性的奇偶性则则上的连续函数上的连续函数为

16、为面对称的有界闭区域面对称的有界闭区域中关于中关于为为若若,),(,3 zyxfxoyR.1面上方的部分面上方的部分在在为为其中其中xoy ;0d),(,),(Vzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当z 1d),(d),(,),( VzyxfVzyxfzyxf为为偶偶函函数数时时关关于于当当z2例例 6 利用对称性简化计算利用对称性简化计算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222 其中积分区域其中积分区域1| ),(222 zyxzyx. 解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z. 01)1ln(222222

17、dxdydzzyxzyxz例例7 7. 1:d222 zyxVez ，计计算算 解解法法，故故采采用用先先二二后后一一为为圆圆域域的的函函数数，截截面面被被积积函函数数仅仅为为2221)(zyxzDz 上上 VeVezzd2d 10)(ddd2zeyxzzD 102d)1(2zezz .2 ,0 ,20 . z三、利用柱面坐标计算三重积分三、利用柱面坐标计算三重积分的的柱柱面面坐坐标标就就叫叫点点个个数数则则这这样样的的三三的的极极坐坐标标为为面面上上的的投投影影在在为为空空间间内内一一点点，并并设设点点设设MzPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),( P .,si

18、n,coszzyx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数 为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),( P zxyzo zyxzyxfddd),(.ddd),sin,cos( zzf d xyzozd d d如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,ddddzV 坐坐标标：下下列列情情形形可可考考虑虑用用柱柱面面;)1是是圆圆域域或或圆圆域域的的一一部部分分的的投投影影区区域域D ;)3旋旋转转抛抛物物面面的的边边界界曲曲面面为为圆圆柱柱面面或或 .)(,)(,

19、)(,)()22222等等被被积积函函数数为为xyfxyfyxfyxf 的的次次序序进进行行积积分分一一般般按按 , z例例 1 计算计算 zyxyxIddd22，其中，其中 由由 22yxz 与与1 z 所围的立体所围的立体. 例例 2 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体. 解解由由 .,sin,coszzyx zz34222 , 3, 1 z知交线为知交线为 23242030ddd zzI.413 面面上上，如如图图，投投影影到到把把闭闭区区域域xoy .20, 3043:22 ，z例例3.d),(dd0

20、02202坐坐标标系系下下的的三三次次积积分分化化为为柱柱面面将将 xxxzzyxfyx例例 4 计算计算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是曲线是曲线 zy22 ，0 x 绕绕oz轴旋转一周而成轴旋转一周而成的曲面与两平面的曲面与两平面, 2 z8 z所围的立体所围的立体. 解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， :2D, 422 yx.222020:22 z :1D,1622 yx,824020:21 z 所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2D1D,)()(212222

21、21 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821dddDzfI ,345 22222dddDzfI ,625 原式原式 I 345 625 336. 82402022 dzdd 22202022ddd z解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 5 5 计计算算 dxdydzzyx2)(其其中中 是是由由抛抛物物面面 22yxz 和和球球面面2222 zyx所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域. 其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, 0d)(Vyzxy, 同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数, 且且 关于关于yoz

22、面对称面对称, 0d Vxz由由对对称称性性知知 VyVxdd22, 则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在在柱柱面面坐坐标标下下：,20 , 10 ,222 z, 122 yx投影区域投影区域 xyD： 2222222010d)cos2(dd zzI).89290(60 注：注：.此题不宜采用球面坐标此题不宜采用球面坐标四、利用球面坐标计算三重积分四、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为

23、从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(SrM yz x0r =常数常数: =常数常数:球面球面S动点动点M(r, , )球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面 r =常数常数: =常数常数:球面球面S半平面半平面P动点动点M(r, , )M yz x0 =常数常数:锥面锥面C.,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为为常常数数 为常数为常数 如图，三坐标面分别

24、为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxM r zyxA，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则 r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面 +d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d

25、球面坐标下的体积元素r drd xz y0 d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素.半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2sin drd d dVdV = .dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf zyxzyxfddd),( .dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,dddsind2 rrV drxyzodr dsinr r

26、d d d sinr如图，如图，坐标：坐标：下列情形可考虑用球面下列情形可考虑用球面的立体；的立体；由球面，圆锥面所围成由球面，圆锥面所围成积分区域积分区域 )1.,的的次次序序进进行行积积分分一一般般按按 r).()2222zyxf 被被积积函函数数为为例例 1 1 计计算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是锥锥面面222zyx ， 与与平平面面az )0( a所所围围的的立立体体. 解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar 222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar zyxyxIddd)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51si

27、n255403 .105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐标标 ,:222ayxD zyxyxIddd)(22 arazddd2020 aa03d)(2 54254aaa .105a 222zyx , z,20,0,: aaz例例 2 2 求曲面求曲面22222azyx 与与22yxz 所围所围 成的立体体积成的立体体积. 解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采用球面坐标，采用球面坐标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV, a202020drsinrddV4 403d3)a2(sin2.)12(

28、343a 另另解解：采采用用柱柱面面坐坐标标例例3.d),(dd2222222222222次积分次积分化为球面坐标系下的三化为球面坐标系下的三将将 yxayxxaxaaazzyxfyx.)(lim,d)()(,)(302222222ttFtzyxVzyxftFuft 求求：其其中中连连续续设设 例例4例例5. )(,d)()(,)(2222222tFtzyxVzyxftFuf 求求：其其中中连连续续设设 rR 对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点.z ,y,xRzyx:所所围围成成的的区区域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 例例zy

29、xzyxfIddd ),( 求求0 xz y0 xz yMr R对对 : 从从0 积分，积分，.例例zyxzyxfIddd ),( 求求2.z ,y,xRzyx:所所围围成成的的区区域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点 R对对 : 从从0 积分，扫遍球体积分，扫遍球体 .例例zyxzyxfIddd ),( 求求2得锥面得锥面.z ,y,xRzyx:所所围围成成的的区区域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 0 xz y对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点

30、任取球体内一点对对 : 从从0 积分，积分，20 xz yR . 0I=V当当 f =1,.例例zyxzyxfIddd ),( 求求rrrrrfIRdsin)cos,sinsin,cossin(dd022020 .z ,y,xRzyx:所所围围成成的的区区域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点得锥面得锥面对对 : 从从0 积分，积分，2对对 : 从从0 积分，扫遍球体积分，扫遍球体2.ddd ),(的的三三次次积积分分化化为为球球面面坐坐标标系系下下例例、将将zyxzyxfI 1. 为全球体为全球体

31、2222Rzyx rrrFIRdsin),(dd02 02 0 2. 为上半球体为上半球体.0,2222 zRzyxrrrFIRdsin),(dd022 02 0 3. 为下半球体为下半球体.0,2222 zRzyxrrrFIRdsin),(dd02 22 0 5. 为球体的第一、二卦限部分为球体的第一、二卦限部分rrrFIRdsin),(dd022 0 0 6. 为空心球体为空心球体.22222Rzyxa rrrFIRadsin),(dd2 02 0 4. 为右半球体为右半球体rrrFIRdsin),(dd02 0 0 三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐

32、标系下的体积元素zyxVdddd （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）五、小结（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzzyx ddddd （2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素（3） 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标 dddsinddd2rrzyx 思考题思考题 为为六六个个平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围围成成的的区区域域，),(zyxf在在 上上连连续续，则则累累次次积积分分_ dvzyxf),(.选择题选择题:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD一一、 填填空空题题: :1 1、 若若 由由曲曲面面22yxz 及及平平面面1 z所所围围成成, , 则则三三重重积积分分 dxdydzzyxf),(化化为为三三次次积积分分是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 若若 是