数学 学年论文 毕业论文 数项级数敛散性判别法归纳总结与解题

1、数项级数敛散性判别方法归纳总结与解题思路分析摘要：文章对数项级数敛散性的判别方法进行了归纳总结，得到一般的解题思路.关键词：数项级数 敛散性 判别方法 归纳总结 解题思路引言： 在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时， 学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性 ，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别

2、方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱 .所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下.教材中常数项级数敛散性判别方法有以下多种特殊项级数（一）等比级数（几何级数）判别法：arn-1(a0)n=1（1） 当r<1时，级数收敛； （2）当r1时，级数发散（二）p-级数判别法：1(p>0) pn=1n(1)当0<p1时，级数发散(2)当p>1时，级数收敛正项级数（三）比较原则：设un与vn是两个正项级数，若（2） 当0<1<+时，两级数同时收敛或同时发散；（3） 当l=0且级数vn收敛时，级数un也收敛；（4） 当l=+且级数vn发散时

3、，级数un也发散；（四）比式判别法（极限形式）若un为正项级数，且lim(1)当q<1时，级数un也收敛；(2)当q>1时，或q=+时，级数un发散； un+1=q则 un注：当q=1时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数11与，它们的比式极限都是2nnlimun+111=1 但2是收敛的，而是发散的. nunnnn（五）根式判别法（极限形式）若un为正项级数，且limun=1则(1)当l<1时，级数收敛(2)当l>1时，级数发散注：当l=1时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数二者都有limn=1，但n11与n

4、，n2111是收敛的，而是发散的.但是收敛的，nn2n21而是发散的. n（六）积分判别法：设f是1,+)上非负递减函数那么正项级数f(n)与非正常积分+1f(x)dx同时收敛或同时发散；un+1)=r un（七）拉贝判别法（极限形式）若un为正项级数，且limn(1-n存在，则(1)当r>1时，级数un收敛；(2)当r<1时，级数un发散；(3)当r=1时拉贝判别法无法判断.一般项级数（八）级数un若limun0，则n=1n.（九）柯西收敛准则级数un收敛的充要条件：>0,nN,当m>n(mN)n=1时，pN有：um+1+um+2+up+m<（十）绝对收敛定义法

5、：若级数un各项绝对值所组成的级数un收敛，则原级数un收敛；（十一）莱布尼兹判别法：若交错级数(-1)un(un>0,n=1,2,)满足下述两n+1个条件：(1)数列un单调递减；(2)limun=0 n则级数(-1)un(un>0,n=1,2,)收敛. n+1（十二）阿贝耳判别法：设级数anbn若an为单调有界数列，且级数bn收敛，则级数anbn收敛.（十三）狄利克雷判别法：设级数anbn若an单调递减，且liman=0又级数n的部分和数列有界，则级数anbn收敛.每个级数收敛的判别方法往往不是唯一的，按什么步骤判别其敛散性才能较快地得出结论呢？(1)等比级数和p-级数的敛散性

6、判别比较简单，由级数的形式就可直接看出；由limun0，即可判断，级数un发散；比式判别法和根式判别法只要算n出limun+1和limun的值即可。前者比后者更常用，但后者较之前者更有效（见nnun例1），以上这些方法都比较简单，应优先考虑：比较原则需要找一个已知其敛散性的级数作比较（见例2）：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以非正常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性的方法（见例3）：比式判别法和根式判别法是基于把要判断的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的，也就是说，只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一几何级数的通项收敛 3速度快的级数，这两种方法才能鉴定出它的收敛性.如

7、果级数的通项收敛于零的速度较慢，就必须寻找级数的通项收敛于零的速度较慢的级数作为比较标准，那么以P-级数为比较标准，得到拉贝判别法（见例4）.对于一般项级数应先判别un=1n的敛散性，可按正项级数的敛散性判别方法判定，若un收敛，则unn=1n=1绝对收敛（见例5），若un发散：再看是否满足交错级数的收敛条件，若满足n=1则为条件收敛（见例6）.对于行如anbn的级数可用阿贝尔判别法（见例7）n=1或狄利克雷判别法（见例8）判别其收敛性，这两种方法难度都比较大，应适当选取an和bn,最后对于任意的级数都可以用柯西收敛准则进行判断其敛散性，但繁琐，难度大，在可以使用以上方法判断时，应尽量避免使用

8、柯西收敛准则（见例9）2+(-1)例1：判别级数的敛散性 n2n解：首先它不是等比级数，也不是p-级数，由于u2mmu2m-1lim312m2m+1u2m+131=lim= li=li= mmum13262m22m-122m故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别法来考察这个22级数，由于 lim2m=limmm31112mu2m =lim=lim=2m+12m2m+1mm2222所以limn=n1 由根式判别法知原级数收敛. 2注：能由比式判别法判定敛散性的级数，也能用根式判别法来判断，反之不成立.例2 判别级数sin1的敛散性 n解：它不是等比级数也不是p-级数，也无法用比式判

9、别法和根式判别法来 41si1解题。由于 lin=1，根据比较原则，及调和级数发散，所以n1nn1级数sin也发散. n例3 讨论级数1的敛散性 pn=2n(lnn)+ 解：研究非正常积分2dx，由于 x(lnx)p+2+d(lnx)+dudx =ppp2ln2x(lnx)(lnx)u当p>1时收敛p1 时发散，由积分判别法级数p1 时发散 1p>1时收敛在pn=2n(lnn)13(2n-1)例4 讨论级数 24(2n),当s=1,2,3时的敛散性 13(2n-1)解：无论s=1,2,3哪一个值，级数 24(2n),的比式极限都有 sslimun+1现在应用拉贝=1所以用比式判别法

10、都无法判别此级数的敛散性，nun判别法来讨论，当s=1时，由于n(1-un+12n+1n1)=n(1-)=(n)所以级数是发散的. un2n+22n+22当s=2时，由于n(1-un+12n+12n(4n+3)=n1-()=1(n) un2n+2(2n+2)2这时，拉贝判别法也无法对此级数作出判断， 当s=3时，由于un+12n+13n(12n2+18n+7)3n(1-)=n1-()=(n) 3un2n+22(2n+2)所以级数收敛.例5nn!=+22!+nn!+的各项绝对值所组成的级数是|n|2|nn!=|+2!+n!+应用比式判别法，对于任意实数都有lim|un+1|=0 =limn|u|

11、nn+1n因此，所考察的级数对任何实数都绝对收敛. 例6 考察级数(-1)n+1n=11 的敛散性. n解：因为|(-1)n+1n=111|=发散，不满足绝对收敛定义，而此级数满足莱布nn尼茨条件，故收敛.(-1)nxn例7 讨论级数 (x>0)的敛散性. n1+xnxnxnxn解：对于数列 来说，当x>0时，0<<n=1 nn1+x1+xx又xn+11+xn+1n1+xnx(1+x)=n+11+xn1xnn+1x+1+11,>1,0<x1x>1xn(-1)n即数列 是单调有界的，又 收敛， nn1+x由阿贝尔判别法知道愿级数收敛.例8 证明：若数列a

12、n 具有性质：a1a2an ,linan=0 n 6则级数ancosnx 对任何x(0,2)都收敛. x1n证明：因为2sin(+coskx) 22k=1x3xx11+(sin-sin)+sin(n+)x-sin(n-)x 222221=sin(n+)x 2=sin当x(0,2)时,sinx0故有： 21sin(n+)1n +coskx=x2k=12sin2所以级数cosnx 的部分和数列当x(0,2)时有界，由狄利克雷判别法得级数ancosnx收敛.例9 证明级数证明：1的收敛性 2n1为p-级数，p=2>1，显然此级数是收敛的. 2n（下面用柯西收敛准则证明）由于|um+1+um+2

13、+um+p| =111 +222(m+1)(m+2)(m+p)111+ m(m+1)(m+1)(m+2)(m+p-1)(m+p)111111-）+（-）+（-） mm+1m+1m+2m+p-1m+p<（=111-< mm+pm1因此，对任给正数 ，取N=，使得当m>N 及任意自然数p，由上式就有|um+1+um+2+um+p|<由柯西收敛准则推得级数1是收敛的. n21< m总结了数项级数敛散性的判别法和解题思路后，我们就能更好地掌握如何先则数项级数敛散性的判别法，做到避繁就简，思路清晰，起到事半功倍的效果.参考文献：1华东师范大学数学系编数学分析（第三版）北京大学高等教育出版社，19912数学分析习题解析下册，陕西师范大学出版社，1993The Induction about Convergence Criterions of Constant Term Series andthe Analysis of Thinks of