数学预备知识

1、1、矢量与标量2、矢量的表示3、矢量的运算(1)(1)矢量的加法 (2) 矢量的减法 (3) 矢量的乘法标积矢积矢量的简介矢量既有大小又有方向，如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电场强度等。1、物理量可分为标量和矢量两种如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。标量只有大小，2、矢量的表示 几何表示：有方向的线段123 (,)AA A A AA用或表 示 解析表示 书写：字母上方用箭头符号标记, , ,F r v a 123AAiA jA k或印刷：用黑体字表示矢量，F F，r r，v v，a a 矢量的大小：线段的长度或 的模，A232221|AAAAA 单位矢量：长度为一个单位的矢量A

2、AA 矢量相等： 大小相同，方向相同 平行移动不会改变一个矢量ABCABCAAA或或 对一般矢量，其单位矢量可用字母上方的尖符表示，如如沿x, y, z 轴正方向的单位矢量可表示为：kji,3 3、矢量的运算(1) (1) 矢量的加法 平行四边形法则三角形法则CABB的尾端接到A的箭头顶端，两个矢量的和矢量为A的尾端指向B的顶端的矢量ABCABC222cosCABAB多个矢量的合成：RABCDDCBAR合成矢量的解析表示：jAiAAyxxxxBACyyyBACjBiBByxjCiCCyxMgT1T1力的合成AyABCAxBxByXy(2) (2) 矢量的减法 ()CABAB 矢量A-B等于从B

3、的顶端指向A的顶端-BBACBCA2 22 cosAB CAB 交换律ABBA()()ABCABC 结合律(3) 矢量的乘法 0 0 CACACACA大大小小平平行行于于方方向向平平行行于于 与标量相乘 与矢量相乘 标积(点积)矢积(叉积)BABA- 结果为标量- 结果为矢量 矢量的标积（点积）cos ( )A BABA B 为为 与与 的的夹夹角角AB两矢量点积得标量 上式含意？ 矢量的标积（点积） cosA BAB ( )AB 为为 与与的的夹夹角角AB)(BcosAB)(AcosBcosABAAcosBBA矢量的点乘表示一个矢量的模乘上另一个矢量在这一矢量上的分量（投影）。这一分量（投影

4、）可正可负。 若0A B 可能00ABAB2A AA 矢量的标积（点积）cos ( )A BABA B 为为 与与 的的夹夹角角ABxxyyzzA BA BA BA B kAjAiAAzyXkBjBiBBzyx交换律：A B B A 标积计算：()AA B CA BC 分配律：若一个物体在力F作用下移动位移rFr则力F所作的功：cosWFr记为标积形式，则为：WF r标积的应用: : 矢量的矢积（叉积）是一个矢量大小：平行四边形面积 sin(0 )CABABCA BABC方向：右手螺旋法则，要求四指绕过的角度小于 kBABAjBABAiBABABAxyyxzxxzyzzy)()()(*矢积的性

5、质： 0 () ()( )( )A BBAA AABCA BA CAB CB A CC A B 特殊情况：* 若 ，则 最大BABA* * 若 ，则BA/0BA 矢积的应用：洛仑兹力：sinFqvBFqvB求（1） （2）,32,43kibjia例1 已知baba ;解（1）6300)4()2(3bakji)2()4(0333)2(03)4(kji8912（2）ba作 业（9月12日） 1 . 矢量a的大小为，方向正东，矢量b的大小为，方向北偏西35度。求 a + b 及 a b 的大小及方向。4444xx3 .cosa b=a b,a=3i+3j+3k b=2i+1j+3kyyzza bab

6、a ba b用标积定义 与 求两矢量 与的夹角。一、函数的极限二、函数的导数三、函数的微分四、积分导数与微分运算一、函数的极限 对任意函数f (x)，当自变量x无限趋于某一数值x0 0（记作x x0 ）时，函数值无限趋于某一确定的数值a，则a称为x x0时函数f(x)的极限值，记作：axfxx)(lim02arctanlimxx例：2arctanlimxxlimsin0 xoxlimcos1xox注意即使 (x) 在 x0 0 点没有定义，或 ，上面关于极限的陈述仍可以是对的。axf)(011)(2xxxf例：2| 1)(lim11xxxxf二、函数的导数1、问题的提出2、导数的定义3、导数的

7、意义4、导数的求解5、导数的运算规则加减积商复合函数求导矢量求导运动时间 ,tt自由落体运动的瞬时速度问题t 1、问题的提出2)(lim)() (lim)(ttgtttststvtttt瞬时速度如何由s s( (t t),),求v( (t t)?)?)(2)() (ttgtttststsv平均速度取极限当 时tt t 取一邻近t t 的时刻t t, ,如图，gt221)(gttstsvtvtt00limlim)(ttsttst)()(lim0 当以上极限存在时，则此极限称为函数f(x)在点x0处的导数。(显然，这是一个特殊的极限)( )yf x函数导数又可记为：2、导数的定义ttsttstvt

8、)()(lim)(0自由落体问题中: :dtdsxxx00)()(00 xxfxfxy0limxdxdyxxfxxfx)()(lim000yyxf, ),( 一、 矢量 回顾123AAiA jA kA = AA或 （1 1）点积： xxyyzzA BA BA BA B cosABBA （2 2）叉积： ABC(0 ) sinABCAB 二、导数的定义( )yf xxy0limxdxdyxxfxxfx)()(lim000yyxf)( 导数是一个特殊的极限！关于导数的说明：dxdy （导数）则是当区间间隔 x 0 时的f(x)在x0处的变化率。 是 在以某 和 为端点的区间上的平均变化率。xy0

9、xxx0y 在许多物理问题中，需要研究变量的瞬时变化率，如物体的运动速度、加速度、电流强度等。在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。xy y x0 f( x)x0y0y1x13、导数的意义 函数在某一点的导数值，表示函数曲线上该点的切线斜率。几何意义：割线斜率xy切线t1t3t2x1x3x2 t越小，平均速率越接近瞬时速度。dtdxttxttxtxtvtt)()(limlim)(00121221)()()(tttxtxttvtxv平均速度：瞬时速度X对t的导数。导数物理意义： 非均匀变化量在某点的变化率。步骤: :()( )(2);yf xxf xxx求求比比值值0(3)lim.xyyx

10、求求极极限限4、导数的求解： 由定义求导数（三步法） );()(xfxxfy(1)(1)求函数增量例1( )()f xC C求求函函数数为为常常数数 的的导导数数解0()( )( )limxf xxf xfxx 0limxCCx 00( )C 即即例2220()limxxxxyx202limxxxxx0lim (2)2xxxx22()xx即即的导数求2xy 解例3( )sin ,(sin ) .f xxx 设设函函数数求求解0sin()sin( )limxxxxfxx 02sincos()22limxxxxx 0lim cos()cos2xxxx (sin )cosxx即即匀加速直线运动202

11、1)(attvtx20202021 21)(21)(tatattvattvttattvxtxtvt0lim)()21(lim00taatvtatv 0解：求瞬时速度例4常见函数的求导公式：0C(1)(2)1)(nnnxx(4)cos)(sin(5)sin)(cos(3)xxee )(6)x1)lnx(导数的运算法则：12( ),( )yf xyg x()fgfg()fgf gfg2()ff gfggg加减积商5、导数的常用公式及运算规则( sin )yxx例5：求 y = x sinx 的导数。解：sincosxxx( )sin(sin )xxxx例6： ， 求 导数。解：4132112223

12、()()xxx 23123yxxx23123() () () ( )yxxx4132123xxx复合函数求导：二阶导数：22( )()( )( )df xdd f xdxfxydxdx N 阶导数：( ), ( )yf uux设设 dxdududydxdyd f ( )nxndxy f (x)nn例72sin, .设设求求yxy解：2sin ,yu ux令令dydy duydxdu dx2cos()ux2cos2xx22 cosxx(sin )du dududx 矢量的导数：xyzAA iA jA kyxzdAdAdAdAijkdtdtdtdt几点推论：dtBddtAddtBAd)(dtAdC

13、dtACd)(dtBdABdtAddtBAd)(dAdAd AAAdtdtdtAAA 注意：对矢量的求导有两项：一是大小的变化产生的，二是方向的变化产生的。dtBdABdtAddtBAd)(三、函数的微分在实际应用中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。这一函数的增量称为微分。实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量. .00,xxx设设边边长长由由 变变到到0 x0 xx x 20,Ax正正方方形形面面积积20 xA 2200()Axxx202()xxx(1)xx 0 xx 0:)1(,;xA的的线线性性函函数数 且且为为的的主主

14、要要部部分分)2(2()x 问题的提出:)2(的二阶项，可以忽略。x( 相对 x0 很小)。x既简化了计算又有很好的近似值xxA02若函数 f (x) 在 x 处有导数 f (x), 则 微分的定义：dy 称为函数f (x) 在点 x 处的微分。dxxfdy)( dx 称为自变量的微分。( )dyfxdx dxxfdy)( 即导数等于函数的微分与自变量的微分之商所以导数又称微商计算函数的导数, , 乘以自变量的微分. . 微分的求法：基本初等函数的微分公式1( )0()d Cd xxdx 1()(ln )xxd ee dxdxdxx (sin )cos(cos )sindxxdxdxxdx 函

15、数的微分法则（与导数的相同）()()d u vdu dvd CuCdu 2()( )uvduudvd uvvduudvdvv 例22ln(),.xyxedy设设求求解dydy dudxdu dx2212xxxedydxxe2,lnxuxeyu令令2211 2()xxxexe21()xxeu例121sin(),.yxdy设设求求解21sin ,yu ux令令cosdyudu cos(21) (21)xdx cos(21) 2xdx 221cos()xdx 函数的变化率问题导数函数的增量问题微分 求导数与微分的方法, ,叫做微分法。 微分在近似计算中的应用dxxfdy)( xxfy)( 这里 不是

16、严格意义的无穷小，但仍然较小。x)()(0 xfxfy)( )()(000 xxxfxfxf)( 00 xxxf这个式子可方便地计算一个函数在某点x0 附近的近似值。很小时0 xx 例3：为使摆长为20cm的单摆振动周期增大，则摆长应增加多少？（g=981cm/s2）glT2解;224gTl dTgTdl22dTgl)(23. 2cm即，摆长应调整为22.23 cm 例4 一个半径为1厘米的球，为了提高表面的光洁度，需要镀上一层铜，铜层厚度为厘米，估计每只球需要用铜多少克（铜的密度为3）解：33)(34rrrVrrrV 243)(13. 0cm每只球需用铜约)(16. 19 . 813. 0g

17、 以下是常用的近似公式（| |x|很小时) ) : :xx )sin(NxxN1)1 (xx2111xx )1ln(xex1xx )tan(.(x为弧度)(x为弧度)四、积分 问题的提出 定积分、不定积分的定义 定积分的几何意义 定积分的计算 不定积分的计算如何求图形中的面积？数方格。x0yxy=f(x)面积？如何求x0,x区间内曲线下的面积？ 问题的提出用矩形面积近似取代曲边梯形面积。 求曲边梯形的面积abxyo（四个小矩形）axyo)(xfy ? Ababxyo（九个小矩形）显然, 小矩形越多, 小矩形上边界带来的近似越小，得到的总面积越接近曲边梯形的精确面积.曲边梯形总面积的近似值为：上

18、面方法的一般化：将区间a,b分 n 等份，每一个小区间宽度为xxxfAii)(区间 xi , xi+1 对应的小矩形高取为)(ixf012()( )()()nxxxxAfxfxfxfx 1xix 1ixabxyo)(ixf，其面积为：niiniixxfA11)(所得到的矩形求和面积即为曲边梯形的精确面积： 当分割无限加细，即小区间的宽度 时，0 x)(nniininxinxxxfAA1100)(limlimabxyo 1xix 1ix（1）分割 变速直线运动中由速度求路程tvt00ti上述思路完全适用变速直线运动中由速度求路程问题 （2）求和niiniittvss11)(路程的精确值（3）取极

19、限0t)(nniintniintttvss1010)(limlim问题：共性：它们求的都是在某个区间上的总量（总面积或总路程）。解决方法：通过无限分割的方法，把总量归结为求一种特定和式的极限。以上两个例子，一个是几何问题，求的是曲边梯形的面积；一个是物理问题，求的是变速直线运动的物体在一定时间内所走过的路程。00lim( )( )xniinixf xxf x dx被积函数被积表达式积分变量 积分下限 积分的定义这种给出积分上、下限的积分称为定积分；不给出积分上、下限的积分称为不定积分。积分上线f(x)对x的积分( )0,f x ( )baf x dxA 曲边梯形的面积( )0,f x ( )b

20、af x dxA 曲边梯形的面积的负值1234( )baf x dxAAAA 1A2A3A4A 定积分的几何意义 定积分的计算如果函数 f(x) 在 a, b区间是连续的，且如果在 a, b区间内 ，则 称为 的原函数。)()( xfx )(x)(xf 即，求一个函数的定积分关键是要找出其原函数，原函数在积分区间的增量即为其定积分值。牛顿-莱布尼兹公式 )()()(abdxfbax有如：)(tvS SSSdtvabbat)()()(所以，积分是微分的无限求和，它是微分的逆运算。)()()(abxdbabababadxdxxddxxdxxf)()( )(2、积分的性质( )( )( )( )bb

21、bxxxxaaafgdxfdxgdx( )( )( )bcbxxxaacfdxfdxfdxdxfdxfabxbax)()(20(2cossin1)xxdx 解原函数式 202sincosxxx 32 例1 求 解 面积0sinAxdx 202cos x 2 xyo 例2 计算曲线 在 上与x轴所围成的平面图形的面积。 sinyx 0, 0 xA Bdx例3 棒AB长6厘米，与棒A端相距x处的分布密度为2( )236,xxxg cm求棒总质量。解：dxdM620(236)MdMxxdx234 ( )g例4 弹簧从原有长度被拉长a，求拉力做功。解：aakxdxdxFW002022121kaxkaX

22、F0 ax第二次作业（9月14日）4xy0limxdxdy 回顾一、导数常用公式 解析：当区间间隔 x 0 时的f(x)在x0处的变化率。 物理:非均匀变化量在某点的变化率。 几何:函数在某一点的导数值，表示函数曲线上该点的切线斜率。运算法则复合函数求导 N 阶导数 矢量的导数：微分公式1( )0()d Cd xxdx 1()(ln )xxd ee dxdxdxx (sin )cos(cos )sindxxdxdxxdx 微分法则()()d u vdu dvd CuCdu 2()( )uvduudvd uvvduudvdvv dxxfdy)( 二、微分：xxfy)( 解决函数的增量问题 微分在近似计算中的应用 微分公式及微分法则与求导相似例22ln(),.xyxedy设设求求解dydy dudxdu dx2212xxxedydxxe2,lnxuxeyu令令2211 2()xxxexe21()xxeu例121sin(),.yxdy设设求求解21sin ,yu ux令令cosdyudu cos(21) (21)xdx cos(21) 2xdx 221cos()xdx三、积分 通过无限分割的方法，把总量归结为求一种 特定和式的极限 几何意义：