东南大学信号与系统课件第四章

1、第四章 系统的频域分析法4-1 概述 系统的频域分析法，是将通过傅利叶变换，将信号分解成多个正弦函数的和（或积分），得到信号的频谱；然后求系统对各个正弦分量的响应，得到响应的频谱；最后通过傅利叶反变换，求得响应。 频域分析法避开了微分方程的求解和卷积积分的计算，容易求得系统的响应。但是它必须经过两次变换计算，计算量比较大。 在很多情况下，直接给定激励信号的频谱，且只需要得到响应信号的频谱，这时就可以不用或少用变换。频域分析法只能求解系统的稳态响应或零状态响应。4-2 信号通过系统的频域分析方法一、系统对周期性信号的稳态响应1、 基本思路：周期性信号可以表示（分解）成若干个（复）正弦函数之和。只

2、要分别求出了系统对各个（复）正弦函数的响应（这一点已经在电路分析课程中做了充分讨论），就可以得到全响应。n 稳态响应：周期信号是一个无始无终的信号，可以认为在很远的过去就已经加到系统上，系统的响应已经进入了一个稳定的状态响应中只存在稳态响应。2、 电系统对周期信号的响应：1） 将周期信号分解为傅利叶级数；2） 求电路系统对各个频率信号的作用的一般表达式网络函数求解方法：利用电路分析中的稳态响应3） 求系统对各个频率点上的信号的响应；4） 将响应叠加，得到全响应。注意：这里的叠加是时间函数的叠加，不是电路分析中的矢量叠加。例：P167， 例题4-1n 某些由周期性信号组成的非周期信号（或概周期信

3、号）也可以用这种分析方法。例如信号：虽然不是周期信号，但是也可以分解成为周期信号的和，从而也可以用这种方法求解。3、 通过微分方程求系统对周期信号的响应：在很多场合，已经给出了系统的微分方程，如何求解系统对周期信号的响应？（1） 对于用微分方程描述的一般系统，有： 我们可以先假设系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号（这个假设是否成立？有待验证！）设：激励信号是复正弦信号，其响应也是同样频率的复正弦信号。其中、分别为频率为的复正弦激励和响应信号的复振幅。将其带入微分方程，可以得到：或：所以， 可见，“系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号”这样的假设完全成立，可以找到满足系统对

4、的响应。 如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证明只有可能是系统对信号的响应。令系统的传输函数为：它实际上可以将时域中的转移算子中的算子p用替代后得到。这里的H完全是一个代数表达式，可以应用所有的代数运算法则。这时候，激励和响应的复振幅之间的关系可以表示为为：反映了复正弦激励下激励信号的复振幅与响应信号复振幅之间的关系：响应信号复振幅等于激励信号的复振幅与系统传输函数的乘积，它的幅度等于和幅度的积，相位和两者相位的和。由此可以得到根据微分方程求解系统对周期信号响应的方法：1） 将周期信号分解为复数傅利叶级数的和；2） 求出系统转移算子，将其中的算子p用替代后得到。3） 求系统对各个复频率点

5、上的信号的响应：4） 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应。n 这里的结论和方法与电路稳态分析中的结论相似，只不过在正弦稳态分析中讨论的是信号对于实正弦信号的响应，而这里讨论的是对复正弦信号的响应。n 实数正弦信号可以表示为两个幅正弦信号的和：。系统对这两个基本点复正弦信号的传输函数分别为和。如果微分方程中的系数都是实数，则可以得到。假设：则系统对正弦信号的响应为： 所以，同时也反映了系统对频率为的实正弦信号的幅度和相位的影响。这就是电路正弦稳态分析中的结论。所以，这里的第二步也可以改为：1） 将周期信号分解为实数傅利叶级数的和；2） 求出系统转移算子，将其中的算子p用替代后得到。3） 求系统

6、对各个频率点上的信号的响应：4） 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应。求系统对各个频率点上的信号的响应：4、 系统的频率特性在特定点上的取值实际上表示了系统对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由可以引出系统的频域特性：1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信号幅度和相位的影响。2）频率特性曲线系统的传输特性也可以用图形的方法表示。系统的传输特性曲线同样可以分为幅频特性和相频特性。其中：l 幅频特性曲线作出了与频率之间的关系，描述了系统对各个频率的（复）正弦信号的幅度的影响，l 相频特性曲线作出了与频率之间的关系，描绘了系统对各个频率的（复）正弦

7、信号的相位的影响。系统输出信号的频谱可以通过将信号的频谱与系统的频域特性曲线两者合成分析出：（1） 将激励信号的幅频特性曲线与系统的幅频特性曲线对应频率点上的幅度相乘，可以得到响应信号的幅频特性曲线；（2） 将激励信号的相频特性曲线与系统的相频特性曲线对应频率点上的幅度相加，可以得到响应信号的相频特性曲线。由输出信号的频谱不难求得输出信号。n 系统的相频特性有两种定义方法。第一种是直接定义为的相角，即令；第二种是定义为的相角的负数，即令。在这两种定义下的相位特性的符号相反。两种定义中，第一种定义数学上比较直接；第二种定义在画相频特性曲线时比较方便：因为实际系统的相位在时一定是负数它只可能将信号

8、延时，而不会将信号提前。二、系统对非周期信号的零状态响应 非周期信号通过线性系统的的求解方法的基本思想与周期信号相似，都是将信号分解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，最后求和（积分）。在某频率点，实际（复）振幅是一个无穷小量：所以其响应为：将各个子信号的响应相叠加，求和（积分）：或：由此可以得到求解系统对非周期信号的步骤：1） 通过F.T.，求激励信号的频谱: 2） 通过电路稳态分析或者系统的转移算子，求出系统对各个频率点上信号的影响频域特性（又称频域传输函数）3） 求出系统响应的频谱特性: 4） 通过I.F.T，求： 周期性信号与非周期信号分析方法比较：相同： 通过变换，将以时间为自变量

9、的信号，变为以频率为变量的函数。避免求解微分方程，但是增加了F.T. 和I.F.T. 计算。差异：IFTFT非周期信号各分量相加稳态分析线性系统周期性信号FS周期性信号1） 一个使用FS，将信号分解为许多个有限振幅的正弦信号之和；另一个用FT，将信号分解为许多个具有无穷小振幅的正弦信号之和；2） 在叠加时，一个用叠加，一个用积分（I.F.T.）n 非周期信号的分析方法，也可以从数学的角度，通过对微分方程两边同时求取傅利叶变换而得到。对于用微分方程描述的一般系统，有： 假设激励信号e(t)的傅利叶变换为，响应信号r(t)的傅利叶变换为。对上式等式两边同时求傅利叶变换，利用傅利叶变换的性质，可以得

10、到：所以，n 非周期信号通过线性系统的求解公式还有第三种推导方法：根据卷积积分公式，有：注意：这里的为：它定义为系统冲激响应的F.T. 。对照前后公式，可以得到：系统的频域传输函数就是系统冲激响应的F.T.。频域法和时域法各有利弊。频域法中避免了求系统的冲激响应和卷积计算，可以通过系统微分方程求得，在实际应用中也可以通过实验的方法求得。但是增加了F.T. 和I.F.T. 计算。系统的频域特性是实际工程应用中描述系统特性的最常用方法，其应用的广泛性程度远远超过了微分方程描述形式。它可以给出系统很多特性。 如第三章中所述，周期信号（例如周期性方波、正弦波等）也存在傅里叶变换，所以这里所说的“非周期

11、信号的作用下的零状态响应”求解方法实际上也适合于求解系统对周期性信号的稳态响应。相关推导可以自己完成。4-3 理想低通滤波器的冲激响应和阶跃响应一、 滤波器的概念在实际应用中，系统特性经常被描述成“允许某些信号分量通过、同时阻止其它分量信号通过”，或者是“滤除一些无用的信号分量”的形式。这样的系统被称为滤波器。如果这个系统是模拟系统，则相应的系统被称为模拟滤波器；如果这个系统是离散系统（绝大多数情况下用数字系统实现），则相应的系统能够被称为数字滤波器。在滤波器中，“有用”和“无用”信号之间常常通过频率范围划分： 如果某系统被设计为让低于某特定频率（该频率被称为截止频率）的信号分量通过而不让高于

12、此频率的信号分量通过，则该系统被称为低通滤波器（LPF）。 如果某系统被设计为让高于某特定频率的信号分量通过而不让低于此频率的信号分量通过，则该系统被称为高通滤波器（HPF） 如果某系统被设计为让某两个特定频率之间的信号分量通过而不让其它频率的信号分量通过，则该系统被称为带通滤波器（BPF） 如果某系统被设计为不让某两个特定频率之间的信号分量通过而让其它频率的信号分量通过，则该系统被称为带阻滤波器一、 理想低通滤波器（ILPF） 其它几种理想滤波器：高通滤波器 带通滤波器带阻滤波器二、 ILPF的冲激响应：响应信号的波形:三、 ILPF的阶跃响应：激励信号的频谱：则响应信号的频谱：响应信号：其

13、中：激励和响应信号的波形如下：关于ILPF的阶跃响应的几点讨论：阶跃信号通过ILPF以后：1） 信号边沿变缓高频分量有损失。系统截止频率越高，边沿变化越陡峭。2） 信号波形发生了失真因为信号的有些分量没有通过。什么样的系统才可以不失真地传输信号？4.8节中将讨论这个问题。3） 信号有延时系统相频特性的影响。4） 系统响应超前于激励物理不可实现。什么样的系统物理可实现？下一节中将讨论这个问题。4-4 Paley-Wiener准则一、 因果系统或物理可实现系统1、 定义：在任何情况下都满足因果关系（响应不超前于激励）的系统。2、 系统满足因果性的充分必要条件为：当时等于零，或表示为：如何判断系统是

14、否物理可实现？l 可以从系统的冲激响应得出。但是系统的冲激响应往往难于得到。l 在实际应用中，系统特性更多地是使用频域特性进行描述。此时，如何根据频域特性判定系统是否物理可实现？二、从系统频率响应函数判断系统因果性Paley-Wiener准则：在（存在且有限）的前提下，系统物理可实现的充分必要条件是l 根据这个定理，系统的幅频特性可以在某些的频率点上等于零，但是不可以在一段频率区间上都等于零。n 这就是理想低通滤波器物理不可实现的原因。三、物理可实现的LPF低通滤波器是实际工程应用中最常用的滤波器。既然理想的LPF不能够实现，那什么样的LPF才可以实现呢？带通形滤波器设计的几个常见名词：通带：

15、允许通过的信号频率范围；止带：不允许通过的信号频率范围； 根据Paley-Wiener准则以及实际系统条件的限制，为了能够得到物理可实现的滤波器，必须对滤波器的设计要求有所放松： 允许在通带和止带之间有缓冲；过渡带：通带和止带之间的允许缓冲部分； 允许在止带内幅频特性不等于零，只要幅频足够小，就可以系统认为达到了阻止相应信号通过的目的。止带衰减：止带中各个频率分量上频率特性允许出现的最大的幅度。 通带内的各个频率上的增益允许有一定的差异。通带内起伏：通带内各个频率点上的频率特性允许的误差最大值；以下是几种常见的滤波器：1、 最大平坦LPF（Butterworth LPF）其中：被称为归一化频率

16、值；称为3dB截止频率，或简称截止频率。其幅频特性如下图：l 这里只给出了系统的幅频特性。满足这个特性的系统的频率特性或者系统的微分方程应该是怎样的？在拉普拉斯变换一章中将给出详细的解释。2、 通带起伏型LPF（Chebyshev LPF, Cauer LPF）通带起伏形LPF允许在通带内的幅频特性有一定的起伏，其幅频特性如下图： 以低通滤波器为基础,通过一定的转化,可以设计出高通、带通、带阻等其它滤波器。 滤波器设计问题属于系统综合问题，不属于本课程的研究范畴。这里只是略作介绍。4-8 （1） 线性系统不失真条件 不失真是信息传输的基本要求。所以对于信号不失真条件的讨论对于系统分析至关重要。

17、失真：信号通过系统以后，在波形的形状上发生了变化。1、 失真产生的原因：1、 系统对各个子信号幅度放大或衰减的程度不一样，造成幅度失真（见distortion.m）2、 系统对各个子信号延时不一样，使子信号之间相互关系发生变化，造成相位失真（见distortion.m）2、 线性系统不失真条件1、 不产生幅度失真对各个子信号分量幅度影响一致幅频特性曲线为一条水平直线。2、 不产生相位失真对各个子信号时间平移一致幅频特性曲线，为过原点的直线。 满足以上两个条件的系统称为非色散系统。系统不失真条件的另外一种推导方法：不失真的系统必然满足：严格满足不失真条件的系统很少（如纯电阻网络、平行传输线等），

18、一般只要求在特定的频率范围中满足（或近似满足）这个条件。4-5 调制与解调一、 调制与解调1、调制必要性1）便于发射2）利于传输3）可以充分利用资源2、调制的定义用待传输的信号（调制信号），控制另外便于传输的信号（载波）的某一个参数的变化，以便达到传输信号的目的。3、 调制种类：常用的调制方法：1） 基于（高频）正弦波的调制，相应的调制方法有：（1） 幅度调制（AM，调幅波）：用调制信号控制载波的幅度，调制后的波称为调幅波。（2） 频率调制（FM，调频）：用调制信号控制载波载波的频率；调制后的波称为调频波（3） 相位调制（PM，调相）：用调制信号控制载波载波的相位；调制后的波称为调相波此外还有

19、其它一些二次调制方法，这里不一一介绍。2） 基于脉冲波的调制： 原始信号是一系列的周期性的脉冲序列，用调制信号控制脉冲的幅度（脉冲幅度调制）、宽度（脉冲宽度调制）或间隔（脉冲间隔调制）等。4、 解调：从调制信号中恢复出原始的信号的过程。解调是调制的逆过程。随各种调制方法的不同，解调的方法也不同。二、 调幅波的调制与解调3、 调制：1）定义：将调制信号加在载波信号的幅度上：其中e(t)是含有信息的调制信号，它的变化速度一般远远低于载波变化速度。调制信号的存在导致载波信号的大小随时间变化。幅度调制属于线性调制，它满足齐次性和叠加性。而FM和PM调制都属于非线性调制。2) 调幅波的频谱：调制信号及其

20、频谱相应的AM波及其频谱:其中,加上直流分量的作用是使得调制后的波形的包络保持原来调制信号的形状,以利于解调。(见Am.m) 从频谱图中可以看出：幅度调制以后,所占用的频带的宽度等于信号最高频率分量的两倍. 频谱中的上边带,下边带与载波分量。3) 调制系数 调幅波幅度变化的最大值与载波调制前的幅度的比值称为调制系数：定义上调制系数，上调制系数，下调制系数。一般。如果，则称为对称调制。如果，则称为过调制。一般调制都默认为对称调制。如果调制信号是一个周期性函数，可以表示成为傅利叶级数的和:假设其中每一个分量单独进行调制时的调制系数称为部分调制系数：（n=1,2,）此时的AM信号为：(见Am.m)4

21、) 调制系统框图5) AM波的功率(1) 载波功率：(2) 瞬时功率：（在一个载波周期内的平均功率）(3) 最大功率：如果是对称调制，则。(4) 平均功率：（在一个调制波周期内的平均功率） 以单正弦波调制为例，在m=1时，。4、 调幅信号的解调1） AM波解调方法：（1） 包络解调法用电路提取出AM波的包络。优点：电路简单，容易实现。缺点：输出信号中含有一定的干扰。（2） 同步解调原来调制信号与频谱:调幅信号的频谱乘以后的频谱：如果经过一个低通滤波器后，可以得到与原来调制信号一样的频谱。其中只有直流分量与原信号不同，但是考虑到原来的调制信号中一般不含有直流分量，所以这里的差异可以不考虑。例：单

22、正弦或周期性信号调制AM波频谱。 如果原来在调制时就没有加直流分量，则这里就完全是调制信号了。这样的调制叫做抑制载波幅度调制（AMSC）。这种调制方式对于发射机的功率利用率比一般的AM波高。抑制载波幅度调制信号:原来的信号及其频谱: 调制后的信号及其频谱：可见，没有直流分量以后，难于从调制过的信号的包络上看出调制信号。这样的信号显然无法用包络解调的方法进行解调。但是还是可以用同步解调的方法进行解调。这样,经过低通滤波器以后,可以恢复出原来的信号。同步解调的优点：不仅能够解调AM波，还可以解调出没有载波的AMSC波以及后面的其它改进的幅度调制波。问题：(1)电路复杂;(2)解调端产生的参考载波的

23、频率必须与调制端完全一致，否则就无法恢复出原来的信号。 如何让调制和解调端产生的载波完全一致？一般在信号中适当地保留一些载频信号，接收端可以利用其中的信息通过锁相环电路恢复出与调制端完全相同频率的载波信号。5、 AM波的改进：除了上面的AM-SC以外，还有一些改进的幅度调制方法。例如：AM波中的上下边带含有相同的结构，可以去处一个，节省频带，由此引出几种改进的调制方式：单边带（SSB）调制，残留边带调制。后者更容易实现，如TV系统。这种调制方法在占用的频带、发射机功率等方面比AMSC方法更加优越，但是系统也更加复杂。这种系统的解调只能用同步解调。例：上边带（USB）调制：原来AMSC波频谱：将

24、其通过一个截止频率为的高通滤波器，就可以得到上边带（USB）调制信号，其频谱图为：采用同步解调后，信号的频谱为：可见，通过低通滤波器，可以还原出原始调制信号的频谱，从而可以在时域还原出原始调制信号。 通过上面这个例子，可以看出频域分析法的好处：虽然在这里难于得到调制后的信号的时域表达式，但是通过频谱分析可以很容易的推导出同步解调的原理。n 通过调制，可以达到在一个媒介中同时传输多路信号的目的频分复用（FDM）。下节将详细讨论。6、 AM波通过系统不产生失真的条件如果待传输的信号是AM波，则我们所关心的是它含有信息（调制信号或AM波的包络）是否发生了失真。这时，系统不产生失真（或严格地说，不使A

25、M波携带的信息产生失真）的第二个条件可以放宽为“相频特性为任意一条直线”。这里以周期性信号调制AM波为例证明：调制信号为:假设某系统的幅频特性等于1，相频特性为：则：则AM信号通过该系统后的响应为：可见：对于调制信号而言，各个调制信号分量产生的延时都是k，相互的相位和幅度关系都没有变化。所以，即使这个直线没有过原点导致AM波信号本身产生了失真，但是其含有信息的部分包络却不会产生失真。这就证明对于调幅波而言，相位不失真只是要求相频特性是一条直线（不一定要过原点）。 这也是信号必须经过调制再传输的原因之一。信号被调制后只“要求信道的相频特性是一条直线”就可以进行不失真传输，这比“要求信道的相频特性

26、不仅是直线而且要过原点”显然要简单得多。这个条件在实际应用中也容易得到满足。 对于很多信道而言，在高频段容易找到相频特性为线性（或者近似为线性）的适合于传输信号的频段。一般文献中的“非色散信道”常指这种信道。 系统的时延：系统对激励信号（或者其各个信号分量）产生的时间上的延时；如果系统的相频特性为，则系统对频率点的分量产生的时延为。 “群时延”“相时延”系统对AM波调制信号（或者AM波的包络）产生的延时(对于因果系统而言, )称为“群时延”。系统相频特性的直线的斜率k决定了群时延整个信号的相移对信号产生的时延被称为系统的相时延。 显然，如果系统的相频特性曲线过原点，则系统的相时延与群时延相等。三、 脉冲幅度调制 基于一系列脉冲的调制方法中，只有脉冲幅度调制的方法是线性调制，其它的（脉冲宽度调制和脉冲间隔调制）都属于非线性调制。1、 调制原理：用一个周期性脉冲信号乘以调制信号，得到的就是脉冲幅度调制信号。调制信号与周期脉冲信号的波形: 调制后的信号与频谱:l 如果脉冲序列的重复角频率大于信号的最高频率