数值分析第二章复习与思考题

1、第二章复习与思考题1什么是拉格朗日插值基函数它们是如何构造的有何重要性质答：若"次多项式/;（x）（y =0,1,-,«）在n + 1个节点儿<< - <xn上满足条件爪）毗:"则称这H + 1个“次多项式/（）（兀）,/|（兀）,/“（x）为节点心為,，兀上的"次拉格朗日插值 基函数.以厶（0为例，由/女所满足的条件以及厶为”次多项式，可设L（X）= A（x - 无）（X -和 X% -无+J （X - X”），其中A为常数，利用厶（无）=1得1 = A（无-兀）&-无/无G）（无-lk（ I）=（X _ 勺）（X _ G X

2、x _ 无+J （x _ 兀 J = pr'（忑-儿）仇-忑tX忑-血+J仇-忑）jxk -勺对于/,（'）（/=0,1, -,/0 ,有 fx；h（x） = + k = 0丄，”，特别当&=0时，有 J-0丸=1.2什么是牛顿基函数它与单项式基1,1有何不同答：称l,x_Xo，（x_XoXx_X,（x_Xo）（x_x“-J为节点，兀上的牛顿 基函数，利用牛顿基函数，节点儿,“,，斗上的次牛顿插值多项式代（X）可以表示为 %）=兔+ 4 （x _仏）+ a,t（x _儿）心_ G）其中绞=/“,兀,，兀Jk = 0丄山与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时

3、可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如A+I(X)= A(X)+ 绞+1(X - 忑)(X - XJ 其中昭是节点勺，召，和上的k + 1阶差商，这一点要比使用单项式基l,u"方便 得多.3.什么是函数的”阶均差它有何重要性质答：称为函数/(v)关于点兀,兀的一阶均差，川0,詁=血业血峭为/(X)的二阶均差.一般地，称无一斗/ko,州，X” = /一 / 心，、为 /的阶均差.£ _ G均差具有如下基本性质：/()(1) 阶均差可以表示为函数值/(%),/(£> J(心)的线性组合,即/ x(”X，儿J =工 JV1V7 冋Xj _勺丿也_勺t人勺_勺+

4、|丿g _ Xj该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性.(2) /%暫卜小宀也卜/比心宀1 _ X。(3) 若于(x)在a,b上存在川阶导数,且节点心州,心w a,b,则n阶均差与zt阶 导数的关系为n4写出n + 个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同答:给定区间°上上n + 1个点a<xQ<xx<-<xn<b上的函数值比=/(xj(r = o,i,“)，则这“+1个节点上的拉格朗日插值多项式为 ")=£儿川)" X X其中厶=，斤=0,丿.I Xk 一 5 丿这“+1个节点上的牛顿插值多

5、项式为化（力=4）+0心_无）+ £（x_x°）（x_兀_J其中绞=/不）,山,=0,1,"为/（x）在点X（）,X,，无上的k阶均差.由插值多项式的唯一性，厶6）与化6）是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同， 牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而牛顿 插值比较方便，而拉格朗日插值没有这个优点.5.插值多项式的确定相当于求解线性方程组Ar=y,其中系数矩阵A与使用的基函数 有关 y包含的是要满足的函数值（儿，兀，儿）用下列基底作多项式插值时，试描述矩 阵A中非篆元素的分布.（1）单项式基底；（2）拉格朗日基底；（3）牛顿

6、基底.答：（1）若使用单项式基底，则设P （x） = a） + - - + anxn ,其中a0,a,-,an为待定系数，利用插值条件，有佈+糾勺+eX = y°细+。内+4用=刀< ,+%”+曲=儿因此，求解的系数矩阵A为1兀0城心1 斗 . _ 1 XnXn _为范徳蒙德矩阵. 若使用拉格朗日基底，则设厶心）=如。+切（0+ 4乙，其中L（x）为 拉格朗日插值基函数，利用插值条件，有如o (勺)+U (“)+ anln (x0)= y0 如0 (x J + U (x J + + U Ui) = >1«（）（£ ）+砧+ an M= yn由拉格朗日插

7、值基函数性质,求解Ax=y的系数矩阵A为1 000 10 A = . . . . a0 0 1为单位矩阵.（3）若使用牛顿基底,则设代(x) = q+q(x7o)+ (%-兀)由插值条件，有5+®Go 一勺）+色（氐一勺）（不）一兀lJ=北他 + ® （州一尤0）+ + an（x -Ki 一7= X00 +（益一勺）+ an（£ - X。）仇-=儿% = >0aQ+al(xl-x0)=ylHo + 4 （耳一心）+ 5 （兀一勺）U, 一 %】）=儿故求解Ax=y的系数矩阵A为-11(x2-x0Xx2-x,)兀2_兀0A= 1£ _勺（心XoX&#

8、169; -刃）亿一x（）X® -州）（“ 一舛1为下三角矩阵.6用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作屋由低 到高给出排序.答：若用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数，则工作量由低到高分别为拉 格朗日基底，牛顿基底，单项式基底7.给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差答：设/叫Q在b上连续，严叫x）在（a,b）内存在，节点a < x() <<<© <b9厶(x)是满足条件Ln(xj)=yr丿=0丄屮的插值多项式，则对任何xeci.b9插值余项心(x)=/(x)-厶(x) =这里 gw(a,b)且

9、与 x 有关，,+1 (-Y)= (x - x0 x - x, ) (x - x). 若有max|/0，+,)(A-)| = M,® ,则厶(x)逼近/(x)的截断误差8 埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么什么是泰勒多项式它是什么条件下的插值 多项式答：一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等，而埃尔米特插 值除此之外还要求在节点上的一阶导数值甚至高阶导数值也相等.称为/(X)在点人)的泰勒插值多项式，泰勒插值是一个埃尔米特插值，插值条件为巴"匕0)= /U，(xo)» k = 0,1,，"泰勒插值实际上是牛顿插值的极限形式，是只在一

10、点心处给出幵+ 1个插值条件得到的次 埃尔米待插值多项式.9. 为什么高次多项式插值不能令人满意分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何 优点答：对于任意的插值结点，当"Toe时，厶(X)不一定收敛于/(X),如对龙格函数做 高次插值时就会出现振荡现象，因而插值多项式的次数升高后，插值效果并不一定能令人满 意.分段低次插值是将插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上进行低次插值，这样在 整个插值区间，插值多项式为分段低次多项式，可以避免单个高次插值的振荡现象.10. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别哪一个更优越请说明理由.答：三次样条插值要求插值函数S(x)eC2«

11、;,/?,且在每个小区间x八勺+J上是三次多 项式，插值条件为S（xJ=）» J =三次分段埃尔米特插值多项式厶(x)是插值区间k，切上的分段三次多项式，且满足人&)eC*,b,插值条件为JhGJ=/U), rh (xj=/'(xJ,伙=o,i,八).分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点 处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的三次样条函数只需给出节点处的 函数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样 条插值更优越一些.H.确定”+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数为确定这些参

12、数，需加上什么 条件答：由于三次样条函数s(Q在每个小区间上是三次多项式，所以在每个小区间上要确定4个待定参数，幵+ 1个节点共有”个小区间，故应确定4川个参数，而根据插值条 件，只有4/?-2个条件，因此还需要加上2个条件，通常可在区间卜,叶的端点a = x(),b = xn 上各加一个边界条件，常用的边界条件有3种：(1) 已知两端的一阶导数值，即Sg)M，Sx)=f；.(2) 已知两端的二阶导数值，即s°)=zr，sxn)=f；,特殊情况为自然边界条件S"(x<) = 0, S"(xJ = 0.(3) 当/(x)是以£一兀为周期的周期函数时，

13、要求S(x)也是周期函数，这时边界条 件就满足S(x + 0)= 5(x-0), S©°+O)=SS-0),S”(q+0)=S”(£-0)这时S(x)称为周期样条函数.12.判断下列命题是否正确(1) 对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多.(2) 如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的.(3) /心阳=0丄小)是关于节点兀(心0,1,/)的拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于"的多项式P(x)都有£厶(x)Ph) = P(x) fU)(4) 当/(x)为连续函数，节点兀(=0丄/)为等距节点，构造拉格朗日插值多项式厶，则"越大Ln (x)越接近/(x).(5) 同上题，若构造三次样条插值函数S”(x),则“越大得到的三次样条函数S”(x)越 接近/(Q.(6) 高次拉格朗日插值