一元二次方程求根公式史略

1、数系发展的见证 一元二次方程求根公式 人们从古埃及的数学纸草书和古巴比伦的数学泥版书上了解到，大约在距今三千七八百年以前，人类就会解一元一次方程。不过由于当时没有发明符号代数，在这些资料上，说清楚一个题目之后，就用四则运算把它计算出来，今天的人们很难严格地划分这样的计算是在解一元一次方程还是在做算术题。对于受过九年制义务教育的人来说，一元二次方程是非常熟悉的内容。我们能解任何一个一元二次方程（包括判定一个一元二次方程没有实数根），原因是我们掌握了一元二次方程的求根公式。我们现在所学的一元二次方程求根公式，在一千多年漫长的历史中，曾经随着数的范围的扩大、概念的建立和严密而不断地演变和完善。一元二

2、次方程的出现，有很久的历史。最早的记录是在公元前两千年左右的巴比伦泥版书中，其中有相当于解二次方程x2-5x+6=0的问题，并指出方程的两个根都是正整数。这大概是世界上最古老的完全二次方程的实例之一。据数学史记载，巴比伦人会求出方程x2+px=q（p、q为正数）的根为x=。在希腊的著作中也能见到有关二次方程解的记录。二世纪的著名几何学家海伦已了解了数值处理的方法，海伦还用近似法求解方程。由于古希腊人不承认负数，那时也没有发现复数，于是海伦所用过的是错误公式 x=。我国古代数学家在一元二次方程和二次方程的解的方面有着突出的成果，作出过不朽的贡献。公元三世纪数学家赵君卿注周髀算经时，不仅提出二次方

3、程，而且在有关二次方程的解中，我们发现有求根公式的雏形。赵君卿在周髀算经的注文中有一篇有名的论文“勾股圆方图注”，论文的内容主要是用几何方法证明勾股定理，但其中有一段是关于二次方程解法的论述：“其倍弦(2c1)为广袤合(x1+x2)，而令勾股见者自乘(x1x2=a12或x1x2=b2)为实，四实以减之(2c1)2-4a12开其余，所得为差=x2-x1，以差减合，半其余为广”，最后得公式x=，这是二次方程x2-2c1x+a12=0的一个根。若将方程改为x2-bx+c=0的形式，这上面的公式就变为x=的样子了。这正是首项系数为1，一次项系数为负的二次方程x2-bx+c=0的一个根的表达式。特别要指

4、出的是，上文中“其倍弦为广袤合，而令勾股见者自乘为实”，这两句话论述的就是根与系数的关系，相当于“韦达定理”。而韦达是十六世纪法国的数学家，他的结果大约比赵君卿晚一千三百年左右。我国南北朝时成书的张丘建算经中有二次方程问题二则，由于书的残缺和叙述的简略，无法知道其解法。公元八世纪我国著名的天文学家僧一行(683年723年)由于研究历法，而得到二次方程x2+bx+c=0(b>0，c>0)，他用公式x=来求一个根。宋代刘益著益古根源，对二次方程求解做了进一步的工作，可解二次项系数是正数或负数的二次方程。到了秦九韶著数书九章时，我国数学家已掌握了形如 x2±px±q=

5、0(p>0，q>0)的二次方程的解法。公元十三世纪杨辉所作的“田亩比类乘除捷法”一书中，详载多种解二次方程的方法，他发展了赵爽的方法，提出解二次方程的“四圆积步”法。元代朱世杰在他的“算学启蒙”中也用过求根公式。在长期的研究中，人们逐步认识到：1。二次方程有两个根；2。可把两个根用方程的系数的运算公式表示出来。公元九世纪，完全二次方程的标准求根公式（即现在所用的形式）第一次在乌兹别克著名数学家穆罕默德·本·牟彻·花拉子模的代数学中出现，代数学里系统地讨论了6种类型的一次或二次方程的解法，并讲了配平方法，同时指出，通过“复原”与“对消”两种变换，所有其它

6、形式的一次、二次方程都能化成这6种类型的方程。他提出的“复原”与“对消”即今天的移项与合并同类项。但是对于求根公式的运用有所限制。因为，虽然他知道二次方程有两个根，但是他只取正根，放弃负根和零。另外，这个公式出现以后的几个世纪内，人们还没有认识虚数，所以凡遇到b2-4ac<0时，就认为问题不可能有解。花拉子模本人也无例外地具有这种看法。十三世纪后，二次方程发展的重心又转向了欧洲，较早的是意大利学者斐波那契。1202年，他在介绍东方的二次方程理论时引入了二次方程可以有无理数根的思想。实际上，虚数也是在二次方程求解研究中产生的，可见，二次方程求根问题的研究对数的扩张有重要的促进作用。十六世纪

7、50年代，法国数学家韦达提出了二次方程的根与系数的关系，即韦达定理。1707年，英国著名科学家牛顿建立了关于二次方程的一系列知识，给出了二次方程的根与判别式的关系。1768年，瑞士数学家欧拉出版的代数学入门一书给出了现在我们中学课本中列出的一般二次方程的求根公式。【附录】一、【张邱建算经简介】算经十书之一。为五世纪的作品，作者张邱建生平不详。全书共3卷，所列问题大部分是联系实际的应用题。在最大公约数与最小公倍数、等差数列与不定方程等方面超过了九章算术的水平。该书卷下最后一题（第38题）是最著名的“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五；鸡母一值钱三；鸡雏三值钱一。凡百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”

8、书中不仅给出了三组答案：（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）而且给出了通解表达式。术文说：“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”二、【花拉子模简介】穆罕默德·本·牟彻·花拉子模出生在今天的乌兹别克靠近土库曼的地方，确切的生卒年代已不可考，估计生活在公元780年到808年之间，所以一般认为他是九世纪人。据考证，花拉子模在他的一本重要著作代数学里，首先使用了Algebra（代数）这个词（意思是“移项和消去的科学”）。此书主要讨论了一元二次方程的解法，这些解法是用一个一个解方程的例子来阐述的。由于当时还没有代数符号，书中的方程及其解法都是以口述的形式表达的。解法继承了古巴比伦数学与希腊数学家丢番图的方法，用配方的方法求解，同时用长方形或正方形的面积与边长等几何意义来加以解释，以证明解法和答案的正确性