对实数基本定理的认识

1、对实数基本定理的认识 数学与应用数学 白海蛟最初,在引入实数时,传统的方法一个是戴德金（Dedekind）用分划定义实数,另一个是康托（Cantor）用有理数的基本序列之等价类来定义.分划 定义:若把一个有序的数系S分成A,B两类,满足.A,B均非空;.S中的任意数或在A中,或在B中;.A中任一数均小于B中任一数;则A,B为数系S的一个分划,记为AB. 戴德金实数连续性定理 实数系R按戴氏连续性准则是连续的,即对R的任一分划AB,都存在唯一实数r,它大于或等于下类A的每一个实数,小于或等于上类B的每一个实数.基本序列 定义 数系S中,如果有数列满足下列性质:,使得只要,有,则称为S的基本序列,

2、或柯西列.在数系S中,两个基本序列是等价的,如果,将相互等价的基本序列作为一类,称为等价类.显然,每一个有理数,对应了一个等价类,可以说这个等价类唯一的刻画了这一有理数.类似地,可以认为每一个有理数的基本序列的等价类对应了一个实数. 当对应的不再是有理数时,它就对应了一个新数,即为无理数.实质就是让每一个有理数的基本序列有极限,当极限值不为有理数,就定义了一个无理数.显然,戴德金分划法较之康托的方法,更为直观.关于实数系R,我们得到了7 个等价命题: 戴德金实数连续性定理; （确性定理）非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界; （单调收敛定理）任何单调有界的数集必有极限; （区间套定理）设是

3、一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得包含r在所有的区间里,即; （有限覆盖定理）实数闭区间a,b的任一个覆盖E,必存在有限的子覆盖; （紧致性定理）有界数列必有收敛子数列; （柯西收敛原理）实数系R中,数列有极限存在的充分必要条件是:,当时,有.其中,刻画了实数系的连续性,刻画了实数闭区间的紧性,刻画了实数系的完备性.以上七个命题在实数系R是等价的.需要说明的是,实数系R的得到,是以有理数系Q为材料,构造出的一个新数的有序域.它满足阿基米德性,同时使确性定理成立,并以有理数系作为其一个子集,实数系R仍构成阿基米德有序域.但上述7个命题,在复数域C,有理数域Q 并不是全部成立的.以下证明7个命

4、题的等价性.:设为一递增且有上界M的数列.用反证法.借助柯西收敛原理,可以证明:若无极限,则可以找到一个子列以为其广义极限,从而与有上界相矛盾.现构造这样的.首先,对单调数列而言,柯西条件可改述为:“”因为它同时保证了对一切,恒有.由于假定不收敛,故有上述柯西条件的否定陈述,必存在某个,对,使得.依次取 使; 使; 使;把这k个不等式相加,得到.由此易知,当时,可使,矛盾.故单调有界数列必有极限.引理 任意一个数列必存在单调子数列.现证 若不存在递增子序列,则必存在严格递减子序列.若中存在（不一定严格）递增子序列,则问题已明.若中无递增子序列,那么,使得,恒有.同样在中也无递增子序列.于是又,

5、使得,恒有.如此无限进行下去,便可得到一严格递减的子序列.证毕.:由引理知,有界数列必有有界单调子序列.又由单调收敛原理可知,该有界单调子数列必有极限,即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子数列.:用反证法.假设某一闭区间a,b的某个开覆盖E无有限子覆盖.将a,b二等分,则至少有一个子区间,不能用E的有限子集覆盖,将此半区间记为.然后将再二等分.重复上述步骤,依次进行下去,便得到一区间套:,(当).每一个皆不能用E的有限子集覆盖.取数列,显然.用紧致性定理，可知收敛.不妨,则.,使.当n取足够大时,则可覆盖,与区间套的构造相矛盾.故闭区间a,b的开覆盖必有有限子覆盖.: 用反证法.如若不然,

6、设存在区间套,有,记开区间,即.此时E= 构成了的一个覆盖.由有限覆盖定理,存在N,使得.故 当n>N时, 是空集,这是不可能的,矛盾.故有,即存在r,使得r的唯一性证明由区间套定理性质本身可推得.若存在 ,.由,则时,有.故区间套定理得证.:设M为实数域上数集E的上界,即,有.来证.任取一,将二等分.若右半区间含有E中的点,则记右半区间为,否则就记左半区间为.然后将再次二等分.用上述选记.如此进行下去,我们便得到一个区间套, (当).由区间套定理,可知唯一公共点 （n=1,2,3,）可以证明就是E的上确界.由区间套的构造可知,有时,故就是E的上确界,故非空有上界的数集必有上确界.非空有

7、下界数集必有下确界的情况可类似证明.:设给定R的一个分划AB,由于B中每个数都是A的上界,由确界定理,A有上确界r.显然,而,由于b是A的上界,r是上确界.故arb.实数基本定理证完.:设X是有上界的非空实数集.记B为X的全体上界组成的集合.A=RB.则AB构成R的一个分划.事实上,不空,不漏显然.只需证明“不乱”. ,由a不是X的上界,知有使,而故a<b .由实数基本定理,分划AB确定唯一实数r,使,有,需证r=supX.先证r是X的上界.反证.若不然,则有使,此时且a>r.这是不可能的.故r是X的上界,而由任意表明了r是X的最小上界.下确界情况可类似证明.确界定理证完.:设是单调上升有上界的是数列.由确界定理知r=sup存在,且有,且,且 因此当n>N时,即,这就证明了.故单调有界有极限.:柯西收敛原理的必要性 已知收敛,即使只要n>N,有故只要n>N,m>N,有必要性得证.现证充分性:先证有界性.对,当n>N,m>N,有取定,只要n>N,有从而令M=max则下证有极限存在,由有界知,（紧致性定理推得）因此,使当k>K时,有另,当时,.取,则只要n>N,取,则.从而 ,充分性得证.从而柯西收敛定理得证.为此,7个命题的等