大数定律及中心极限定理

1、第四章 大数定律及中心极限定理教学内容：依概率收敛、几个重要的大数定律、中心极限定理教学目的：了解依概率收敛、大数定律的含义；掌握几个重要的大数定律及中心极限定理，定律和定理的条件和结论要牢记清楚；并且会判断随机变量序列是否满足大数定律、在解决实际应用题中的近似计算问题时，会用相关定理近似计算有关事件的概率。教学重点：中心极限定理及其应用教学难点：证明随机变量序列服从大数定律教学方法：启发式教学手段：多媒体结合板书教学时间：4学时教学内容：1 大数定律在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背

2、景。下面首先来介绍一下依概率收敛的概念，然后再介绍四个大数定律。定义 1 设是一个随机变量序列，若存在随机变量，使对任意，恒有则称随机序列依概率收敛于，记为 或 .“”可理解为“当充分大时，的分布近似于的分布”。定义 2 设是一个随机变量序列，若存在数列，使对任意，恒有则称随机序列依概率收敛于，记为 或 特别地，当时，称随机序列依概率收敛于，记为 或 “”可理解为“当充分大时，随机点几乎就落在点附近”。依概率收敛的序列具有以下性质：设又设函数在点连续，则 （证明略）定义 3 设是一个随机变量序列，数学期望（）存在，令，若，则称随机变量序列服从大数定律，或说成对随机序列大数法则成立。定理1（切比

3、雪夫大数定律） 设是由两两不相关的随机变量所构成的序列，每一随机变量都有有限的方差，并且方差有公共上界(为有限常数),，存在，则对于任意的，皆有证 因为两两不相关，故再由切比雪夫不等式得所以令即得定理成立。推论1（独立情形）设随机变量相互独立，且，则有其中，证 有相同的期望与方差，故它满足切比雪夫大数定理的条件，又则由切比雪夫大数定律知结论成立。如果将看成第次测量值，显然独立同分布，表示 次测量值的算术平均值，由推论1可知，大量测量值的算术平均值具有稳定性。推论 2（伯努利大数定律）设是重伯努利试验中事件A发生的次数，是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数，有证 令则，且相互独立，都服

4、从参数为的分布，因而，由推论1可知即伯努利大数定律表明事件A发生的频率依概率收敛于，这个定律说明了频率的稳定性。当很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这正是概率的统计定义的理论依据。定理 2 （辛钦大数定律）设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望，则对于任意正数，有比较本定理与推论1，发现在推论1中如果有相同分布，则不必有限。定理 3 （马尔柯夫大数定律）设是一个随机变量序列，方差、期望存在若，则对于任意的，有切比雪夫大数定律是马尔柯夫大数定律的特殊情形。例1在次独立试验中，事件A在第次试验中发生的概率为，试证明A发生的频率稳定于概率的平均值。证 设表示次试验中A发生

5、次数，令则分布。，又由于,则由切比雪夫大数定理知,即可见，当充分大时,A发生的频率稳定于它的概率的平均值。例 2 设有相互独立随机变量序列,的分布律为问是否服从大数定律？解 因故,故由马尔柯夫大数定律知，服从大数定律。2 中心极限定理自从高斯指出测量误差服从正态分布后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见。例如炮弹的弹落点，人的身高、体重等，都服从正态分布。观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而其中每一个因素在总的影响中所起作用都是微小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。本节介绍中心极限定理。定理 （独立同分布的中心极限定理） 设

6、随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差,则随机变量之和的标准化随机变量的分布函数对于任意满足证 略。从第二章最后一节可知,的分布函数一般很难求，由本定理可知，无论的分布是什么，只要满足定理条件，当充分大，都可以利用正态分布对作理论分析或实际计算，即使是离散的，也可以利用正态分布来处理。又由正态分布的性质，当充分大时，这是独立同分布中心极限定理的另一形式，这一结果在数理统计中所谓大样本统计推断中有广泛的应用。独立同分布的中心极限定理又称为列维-林德伯格中心极限定理。为方便应用，将此定理改写为如下形式：设随机变量序列独立同分布，且具有数学和方差, ,则当充分大时，有（1） （2）（3

7、） （4）推论（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理） 设随机变量 服从参数为的二项分布，则对于任意，有证 与第一节证明类似地可将分解为个相互独立，服从同一分布的随机变量之和，即有，其中的分布律为， 由于，,由独立同分布中心极限定理得为方便应用，可将此定理改写为如下形式:设随机变量，则当充分大时，有(1) (2)下面讨论中心极限定理的运用。例1 计算机在进行加法计算时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整数误差是相互独立的，且它们都在(-0.5,0.5)上服从均匀分布。（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2） 多少个数加在一起使得误差总和绝对值小于1

8、0的概率为0.90.解 由题设条件，设每个加数取整误差为，则在(-0.5,0.5)上为均匀分布，其分布密度为且是独立同分布的随机变量序列。又于是由独立同布中心极限定理得(1) (2)即查标准正态分布表得即故取，这表明大约444个整数相加可以90%的概率保证取整误差总和的绝对值小于10.例 2 甲乙两个戏院在竞争1000名观众，假设每个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间选择戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院应该设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%。解 假设甲戏院需设个座位，由对称性，乙戏院也要有个座位，定义随机变量如下其中依题意有由此可得是独立同分布的随机变量,依题意有又,由独立同分布中心极限定理有查标准正态分布表得即例3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15，若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布，求：（1） 参加会议的家长人数X超过450的概率；（2） 有1名家长来参加会议的学生数Y不多于340的概率。解（1）以记第个学生来参加会议的家长数，则的分布律为0120.050.80.15易知 而，由独立同分布