华中科技大学线性代数 第五节初等变换与初等矩阵

1、引例引例 求解线性方程组求解线性方程组123412341234123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx 解解 2 123422xxxx123424xxxx1234232xxxx123436979xxxx B B 1B 123424xxxx 2B2 3 2342220 xxx 2345536xxx 2343343xxx 123424xxxx 3B5 3 2340 xxx426x 43x 2 123424xxxx 3B2340 xxx43x 00 2 1323334433xxxxxxx 1234xxxxx 即即14131003c 其中为任意常数其中为任意常数. .总结总

2、结1 1、上述解方程组的方法称为、上述解方程组的方法称为高斯消元法高斯消元法2 2、始终把方程组看作一个整体变形，用三种变换、始终把方程组看作一个整体变形，用三种变换（1 1）交换方程次序；）交换方程次序；（2 2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3 3）一个方程的）一个方程的k倍加到另一个方程倍加到另一个方程3 3、这三种变换均可逆、这三种变换均可逆. .4 4、方程组的变换可以看成矩阵的变换、方程组的变换可以看成矩阵的变换. .下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的行初等变换行初等变换. .jirr （1 1）互换两行：）互换两行：（2 2）数乘某行：）数乘某行：

3、kri （3 3）倍加某行：）倍加某行：jikrr 定义定义 矩阵的列初等变换与行初等变换统称为矩阵矩阵的列初等变换与行初等变换统称为矩阵的的初等变换初等变换同理，把同理，把 换成换成 可定义矩阵的可定义矩阵的列初等变换列初等变换. .rcjirr kri ;jirr 1( );irk jikrr .ijrkr 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, , 且变换类型相同且变换类型相同逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：1 1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；）若有零行（元素全为零的行），位于

4、底部；2 2、行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵2 2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右. . 4000031000232001001012310014000200000121000500002121011100120005如如000010000000000 a注：注：每行的首每行的首个非零元素的个非零元素的 下方全为下方全为0称满足下列三个条件的矩阵为称满足下列三个条件的矩阵为行标准形矩阵行标准形矩阵：1 1）行阶梯形矩阵）行阶梯形矩阵3 3、行标准形矩阵行标准形矩阵2 2）各非零行的首非零元均为）各非零行的首非零元均为1.1.3 3）首非零元所在列其

5、它元素均为）首非零元所在列其它元素均为. .0120000100001000010000100001如如000010000000000称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为标准形标准形：1 1）左上角为单位阵；）左上角为单位阵；4 4、标准形标准形）其它元素均为）其它元素均为. .1000010000001000010000100001如如100000100000100100010001000100000000000EOOO利用利用行初等变换可把矩阵行初等变换可把矩阵 化为化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵. .A利用利用行初等变换，也可把矩阵化为行初等变换，也可把矩阵化为行标准形矩阵

6、行标准形矩阵. .定理定理利用行初等变换，再利用列初等变换最后可把矩利用行初等变换，再利用列初等变换最后可把矩阵化为阵化为标准形矩阵标准形矩阵.例例4 4 将下列矩阵利用行初等变换化为行阶梯形将下列矩阵利用行初等变换化为行阶梯形, ,再再化为行标准形化为行标准形, ,最后化为标准形最后化为标准形. . 97963422644121121112A注意：注意：化矩阵为行阶梯化矩阵为行阶梯形或行标准形时仅能用形或行标准形时仅能用行初等变换行初等变换. . 化矩阵为标准形时，行化矩阵为标准形时，行初等变换和列初等变换初等变换和列初等变换均可以使用均可以使用. .21rr 23 r21112112144

7、622436979A 11214211122311236979 13322rrrr 143rr 11214022200553603343 23225rrr 243rr 3100062000011104121143rr 342rr 100000310000111041211B 200000310003011040101B 21rr 32rr 000003100001110412111B214ccc 3215334cccc 43 cc 300000001000001000001B 依次为行阶梯形和行标准矩阵。依次为行阶梯形和行标准矩阵。2B最后得到的矩阵最后得到的矩阵 是是 的标准形，的标准形，3

8、BA,1B2B依次为依次为等价：等价：若矩阵若矩阵A经过行（列）初等变换可化为经过行（列）初等变换可化为B，则，则A与与B行（列）等价；若行（列）等价；若A经初等变换化为经初等变换化为B，则，则A与与B等等价（价（）,ETEP一一次次相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵. .定义定义110011就称为就称为初等矩阵初等矩阵. .PijR0110( )ir( )jr()jc( )ic记作记作ijC( )ir( )jrijR A 11121121212njjjniiinmmmnaaaaaaaaaaaa11111212221jinjinmmjmimnaaaaa

9、aaaaaaa()jc( )icijAC 1111111111niinmmnaakakaaa( )ir( )ic( )ir( )i kRA 11111inmmimnakaaakaa( )i kAC ( )ici kR( ）( ）记作记作ki kC( ）( ）11111111111ijinmmimjmimnaaakaaaaakaa ( )ij kR 11k( )ir( )jr( )ic()jc记作记作( )j i kAC ( )ic()jc( )j i kC 1111111nijinjnjjnmmnaaakaaaaaaa 相当于相当于ijR A,ijrrijAC相当于相当于,ijcc( )i k

10、RA相当于相当于,irk ( )i kAC相当于相当于,ick ( )ij kRA 相当于相当于,ijrkr ( )j i kAC 相当于相当于,jickc ( )ij kRA ()ir()jr、初等矩阵均可逆、初等矩阵均可逆1ijR 1( )i kR 1( )ij kR ;ijR 1();ikR ().ijkR RETThABPAB一一次次CETThABAQB一一次次、为初等矩阵、为初等矩阵,P Q、ETETThif ABBA 、1Thif A 12,sppp12sAp pp有限个初等矩阵有限个初等矩阵ThABPAQBrEOTh PAQOO ,P Q、为可逆阵、为可逆阵1A | 0A12sAp pp111121sAppp又又 1AAE 11A AA E 1EA 11121spppAE 1EA 因此因此 AERET 1EA 类似的类似的1AAE 111211sAEpppEA AE1EA 因此因此CET11AAEA 1EA AXB 1XA B 又又 1AAB 1EA B 因此因此 ABRET EX1AAB ABEX因此因此CETX