知识讲解二项式定理(理)(提高)

1、.二项式定理【学习目标】1 理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法2 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题【要点梳理】要点一：二项式定理1. 定义一般地 , 对于任意正整数n , 都有：(ab) nCn0a nCn1a n 1bCnr an r brCnn bn ( nN * ) ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(ab) n 的二项展开式。式中的 Cnr an r br 做二项展开式的通项，用Tr+1 表示，即通项为展开式的第r+1 项： Tr 1Cnr an r br ，其中的系数 Cnr （ r=0， 1， 2， ， n）叫做二项式系数，

2、2二项式 (a+b)n 的展开式的特点：(1) 项数：共有 n+1 项，比二项式的次数大1；(2) 二项式系数：第 r+1 项的二项式系数为 C rn ，最大二项式系数项居中；(3) 次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n字母 a 降幂排列，次数由n 到 0；字母 b 升幂排列，次数从 0 到 n，每一项中， a， b 次数和均为n；3. 两个常用的二项展开式： (a b)nCn0 anC n1an 1b( 1)r Cnr an r br( 1)n C nnbn ( n N * ) (1 x)n1 Cn1 x Cn2 x2C nr xrxn要点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项：Tr 1

3、 Cnr an-r br （ r0,1,2, n ）公式特点：它表示二项展开式的第 r+1项，该项的二项式系数是Cnr ；字母 b 的次数和组合数的上标相同； a 与 b 的次数之和为 n。要点诠释：（ 1）二项式 (a+b)n 的二项展开式的第 r+1项 Cnr an r br和 (b+a)n 的二项展开式的第r+1 项 Cnr bn r ar 是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和 b 是不能随便交换位置的（ 2 ） 通 项 是 针 对 在 (a+b)n 这 个 标 准 形 式 下 而 言 的 ， 如 (a b)n的二项展开式的通项是Tr 1 ( 1)r Cnr an r br （只需

4、把 b 看成 b 代入二项式定理） 。要点三：二项式系数及其性质1. 杨辉三角和二项展开式的推导。在我国南宋，数学家杨辉于1261 年所著的详解九章算法如下表，可直观地看出二项式系数。'.(ab) n 展开式中的二项式系数 , 当 n 依次取1,2,3, 时 , 如下表所示 :(ab)111(ab) 2121(ab) 31331(ab) 4146 4 1(ab) 515101051(ab) 61615201561上表叫做 二项式系数的表 , 也称杨辉三角 ( 在欧洲 , 这个表叫做帕斯卡三角 ), 反映了二项式系数的性质。表中每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上的两

5、个数的和。用组合的思想方法理解(a+b)n 的展开式中anr br 的系数 Cnr的意义：为了得到 (a+b)n 展开式中anr br的系数，可以考虑在(abababrnrr的nab)() () 这 n 个括号中取 r 个 b，则这种取法种数为C，即为n系数2. (ab)n 的展开式中各项的二项式系数Cn0 、 C n1 、 Cn2 Cnn 具有如下性质：对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C nrC nn r ；增减性与最大值： 二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小， 在中间取得最大值. 其中，n当 n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数Cn

6、2最大；当 n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项n1n1式系数 Cn2， Cn2相等，且最大 .各二项式系数之和为2n ，即 Cn0Cn1Cn2Cn3Cn4Cnn2n ；二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即 Cn0Cn2Cn4Cn1Cn3Cn52n 1 。要点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第r+1 项 Cnr a n r b r 的二项式系数是组合数 C nr ，展开式的系数是单项式Cnr anr br的系数，二者不一定相等。如 (a b)n 的二项展开式的通项是Tr1(1)r Cnr anr br ，在这里对应项的二项式系数都是Cnr ，

7、但项的系数是 (1)r C nr，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念3. (a bc)n 展开式中 a p bq cr的系数求法（p, q, r 0 的整数且 pqr n ）(a b c) n( a b) c nC nr (a b) n r c rC nr C nqr a n r qb q cr如： (abc)10 展开式中含 a3 b2 c 5 的系数为 C103C 72 C5510!5!3!2!要点诠释：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。要点四：二项式定理的应用1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.2. 利用赋值法进行求有关系数和。'

8、;.二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a， b，该等式都成立。利用赋值法（即通过对a、 b 取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。设 f (x) (ax b) na0a1 xa2 x2an xn(1)令 x=0，则 a0f (0)bn(2)令 x=1，则 a0a1 a2anf (1)(ab)n(3)令 x= 1，则 a0a1a2a3( 1)n anf ( 1) ( a b)n(4)a0 a2 a4f (1)f (-1)2f (1)- f (-1)(5) a1a3a523.利用二项式定理证明整

9、除问题及余数的求法：如：求证： 32 n 28n9 能被 64 整除（ nN * ）4.证明有关的不等式问题：有些不等式， 可应用二项式定理， 结合放缩法证明， 即把二项展开式中的某些正项适当删去 (缩小 )，或把某些负项删去 ( 放大 ) ，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。(1 x)n1 nx ； (1 x)n1 nxn( n 1) x 2 ；（ x0）2如：求证： 2(11 ) nn5.进行近似计算：求数的 n 次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数当 | x | 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： (1 x) n1 nx ； (1 x) n1nx

10、n(n 1) x 2 ；2如：求 1.056 的近似值，使结果精确到0.01；【典型例题】类型一、 求二项展开式的特定项或特定项的系数53例 1.求2x的二项式的展开式22x【思路点拨】 按照二项式的展开式或按通项依次写出每一项，但要注意符号【解析】53（ 1）解法一：2x2x202C50 (2 x)53C51(2 x)43C52 (2 x)33C53 (2 x)22x22x22x245C54 (2 x)3C5532 x22x2(或减一个小数)的形式。332x2'.32 x5120x2180135405243xx48x732x1035(4 x33)5解法二：2x2x232x10110

11、C50 (4 x3 )5C51(4 x3) 4 ( 3) C52 (4 x3 )3 ( 3)2C53 (4 x3) 2 ( 3)3C54 (4 x3)( 3) 4C55 ( 3)5 32 x110 (1024x153840 x125760 x94320 x6 1620 x3243)32 x18013540524332 x5120x2xx48x710 。32x【总结升华】 记准、记熟二项式 (a+b)n 的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简捷举一反三：【变式】求2x1x6的二项式的展开式【答案】先将原式化简。再展开62x161162xxxx3

12、 (2x1)13 C60 (2 x) 6C61 (2 x)5C62 (2 x) 4C63 (2 x)3C64 (2 x)2C65 (2 x) C66 x1165240x4160x360x212 x 1)3(64 x 192xx3x例 2 试求：（ 1） (x3 2 )5 的展开式中 x5 的系数；x 2（ 2） (2x2 1 )6 的展开式中的常数项；x【思路点拨】先根据已知条件求出二项式的指数n，然后再求展开式中含x 的项因为题中条件和求解部分都涉及指定项问题，故选用通项公式【解析】（ 1） Tr 1 C 5r (x 3 ) 5r (22 ) r(2) r C5r x15 5rx依题意 15

13、 5r 5 ，解得 r 2故 (2)2C 5r 40为所求 x5 的系数（ 2） Tr 1r2 6-r1rr6 -rr 12 3r() (1)·C 6 x C6 (2x )·2x依题意 12 3r 0 ，解得 r 4故 ( 1) 4 ·22 C62 60 为所求的常数项【总结升华】'.1. 利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项, 所求的是第几项, 相应的 r 是多少；2. 注意系数与二项式系数的区别；3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。举一反三：【变式 1】求 ( x21) 9 的展开式中 x 3 的二项式系数及x3 的系数 .

14、x【答案】 126 ， 126 ；通项 Tr 1C9r ( x2 )9 r ( 1) r( 1)r C9rx18 3r ，x 18 3r3 ， r5 ，故展开式中 x3 的二项式系数为C95C94126 ，x 3 的系数为 (1)5C95126.【变式 2】求( 3 x1) 15 的展开式中的第4 项 .x5【答案】455x 2 ；T4 C153 ( 3x)153 (1)31)3C153155(x 6455x 2 。x【变式 3】（ 1）求 ( x3)9 的展开式常数项；（ 2）求 ( x3 )9 的展开式的中间两项3x3xr x9 r3 rr2r99 3 r【答案】2Tr 1C9(3) (x

15、 )C9 3x，（ 1）当 93 r0, r6时展开式是常数项，即常数项为T7C96 332268 ；2（ 2） ( x3 )9 的展开式共10 项，它的中间两项分别是第5项、第 6项，3xT5 C94 389 x942C9591512， T63109 x2378 x3x3110例 3 求二项式x2的展开式中的有理项2x【思路点拨】展开式中第r+1 项为 C10r (x2 )10 r12x正整数的项r，展开式中的有理项，就是通项中x 的指数为'.1r20 5 r1r2 10 rrx【解析】2设二项式的通项为 Tr 1 C10( x )2 xC102令 205 rZ ，即 r=0 ， 2

16、， 4， 6， 8 时， 205 rZ 。22C100 x20 10 T1x20 ，2245 x15 ，TC2x151310244T5C104x101105x10 ，286T7C106x51105 x5 ，2328T9C108x0145 。225610r，二项式 x21的展开式中的常数项是第9项： 45；有理项是第1 项：x20，第 3 项： 45 x15 ，2x2564第 5 项： 105 x10 ，第 7 项：105 x5 ，第 9 项：45 832256【总结升华】求有理项是对x 的指数是整数情况的讨论，要考虑到一些指数或组合数的序号的要求举一反三：n【变式】如果在x1的展开式中，前三项

17、的系数成等差数列，求展开式中的有理项。24 x【答案】（1）展开式中前三项的系数分别为1， n， n(n 1) ，由题意得： 2× n =1+ n( n1) 得 n =8。28281 c8r1163r设第 r+1 项为有理项， Trx4，则 r 是 4 的倍数，所以r=0 ，4， 8。2r有理项为 T1x4 , T535 x,T912。8256x类型二、二项式之积及三项式展开问题例 4求 (1x)2 (1x)5 的展开式中 x 3 的系数 .【思路点拨】将 (1x) 2 变形为 12xx2 ，要使两个因式的乘积中出现x 3 ，根据式子的结构可以分类讨论：当前一个因式为1 时，后面的应

18、该为 x 3 ；当前一个因式为x 时，后面的应该为 x 2；当前一个因'.式为 x2 时，后面的应该为x ；也可以利用通项公式Tr 1Cnr a n r b r 化简解答。【解析】解法一：(1x) 2 (1 x)5(12xx2 )(1x)5 ，(1x) 5 的通项公式 Tk1C5k(x) k( 1) k C5k x k （ k0,1,2,3,4,5），分三类讨论：（ 1）当前一个因式为1 时，后面的应该为x 3 ，即 T4(1)3 C52 x310x3 ；（ 2）当前一个因式为2x时，后面的应该为x2 ，即 T3(1)2 C52 x210 x2 ；（ 3）当前一个因式为x2 时，后面的

19、应该为x ，即 T2(1)1 C51x15x ；故展开式中 x3 的系数为1021055 。解法二：(1x) 2 的通项公式 Tr1C2rxr（ r0,1,2 ），(1x) 5 的通项公式 Tk1C5k(x) k( 1) k C5k x k , （ k0,1,2,3,4,5），令 kr 3, 则 k1 或 k2 或 k3，r2r 1r0从而 x 3 的系数为C51C21C52C535 。举一反三：【变式 1】求 (1x2 )(1x)5 的展开式中x3 的系数 .【答案】 15 ；(1 x) 5 的通项公式 Tk 1 C5k ( x) k(1) k C5k x k （ k0,1,2,3,4,5）

20、，分二类讨论：（ 1）当前一个因式为1 时，后面的应该为x 3 ，即 T4(1)3 C52 x310x3 ；（ 2）当前一个因式为x2 时，后面的应该为x ，即 T2(1)1 C51x15x ；故展开式中x3 的系数为15 。【变式 2】在 (1 x)5(1- x)4 的展开式中，x3 的系数为 _【答案】(1x) 5(1- x)4 (1 x)(1- x2)4，其中 (1- x2)4 展开的通项为C4r ·(-x2)r，故展开式中x3 的系数为C1 -44'.【思路点拨】要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，也

21、可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开【解析】解 法 一 ： (1+x+x 2 )8=1+(x+x2) 8 ， 所 以 Tr1C8r (xx2 ) r ， 则 x5的 系 数 由 (x+x 2)r 来 决 定 ，T 'k 1Crk xr k x2kCrk xrk ，令 r+k=5 ，解得r5 或 r4 或 r3 。k0k1k2含 x5 的系数为 C85C50C84C41C83C32504。解法二： (1 xx2 )8(1x)x2 8C80 (1x)8C81 (1x)7 x2C82 (1x)6 ( x2 ) 2C83 (1x)5 (x2 )3C87 (1x)( x2 )

22、7C88 ( x2 )8 ，则展开式中含 x5 的系数为 C80C85C81 C73C82C61504 。解法三： (1+x+x 2)8=(1+x+x 2)(1+x+x 2) (1+x+x2)（共 8 个），这 8个因式中乘积展开式中形成x5 的来源有三：（ 1）有 2 个括号各出1 个 x2，其余6 个括号恰有1 个括号出1 个 x，这种方式共有 C82C61 种；（ 2）有 1 个括号出 1 个 x2，其余7 个括号中恰有3 个括号各出1 个 x，共有 C81C61 种；（ 3）没有 1 个括号出 x2，恰有 5 个括号各给出1 个 x，共有 C85 种所以 x5 的系数是C82 C81C

23、81 C73C85504 【总结升华】 高考题中，常出现三项式展开或两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，或将三项式转化为二项式举一反三：13【变式 1】2的展开式中的常数项 .xx3611【答案】x2=x 所求展开式中的常数项是 - C63 20xx【变式 2】在 (1+x+px2)10 的展开式中，试求使x4 的系数为最小值时p 的值【答案】由通项 Tr1C10r( xpx2 )rC10r xr(1 px) r，又 (1+px)r 的通项为 Crm ( px)m 。 Tr 1C10r Crmpm xr m 。而 m+r=4 ，且 0 m r10。'.m0m1m2。

24、，或r，或r2r43 x4 的系数为C104C40C103C31 pC102C22 p245 p2360 p 210 45( p28 p) 210 45( p 4) 2510 。仅当 p= 4 时， x4 的系数为最小。类型三：有关二项式系数的性质及计算的问题例 6. （ 1）求 (1+2x)7 展开式中系数最大的项；（ 2）求 (12x)7 展开式中系数最大的项。【思路点拨】利用展开式的通项，得到系数的表达式，进而求出其最大值。【解析】（ 1）设第 r+1 项系数最大，则有C7r 2rC7r 1 2r 1C7r 2rC7r 1 2r 17!r7!2r121r !(7r )!2(r1)!(7r

25、r8r1)!，即7!127!r2r1r !(7r )!2(r1)!(7r7rr11)!r163 ，即41r 5 1解得， r=5。r13333系数最大的项为T6T5 1C7525 x5672x5 。（ 2）展开式共有8 项，系数最大的项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得。又因(1 2x)7括号内的两项中后项系数绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右，故只需要比较T5和 T7 两项系数大小即可，T5系数C74 ( 2)4C731，T7系数6(2)61C7C7 4所以系数最大的项是第五项，T5C74 ( 2x) 4560x4 。【总结升华】求展开式中系数最大的项，一般是解一

26、个不等式组TrTr1 。TrTr1举一反三：【变式】设 ( 1 x2 )n 展开式的第10 项系数最大，求n.55【答案】展开式的通项为r1 n r2 rr1 n r2 rn rTr 1C n ( 5 x)( 5 )Cn ( 5)( 5) xr 2r 其系数为 C n n5'.C929C828n5nn5n第 10 项系数最大，29，910210Cn5nCn5n25又 nN+解得n 14 ，2 n=13 或 n=14n【变式 2】 已知12a的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式2系数最大的项。【答案】因为 Cn4Cn62Cn5 ，所以n!4)!n!2n!。4!

27、( n6!( n6)!5!( n5)!即 n2 21n+98=0，解得 n=14 或 7。7当 n=14 时，第8 项的二项式系数最大，T8C1471(2 a) 73432 a7 。2当 n=7 时，第 4 项与第 5 项的二项式系数最大，435 a3 ， T5 C743T4 C731(2 a)31(2a)470a4 。222类型四、利用赋值法进行求有关系数和。例 7. 已知 (1 2x)7=a 0+a1x+a 2x2 + +a7x7 ，求：（ 1 ）a1+a2 + +a7；（2 ） a1+a3 +a5+a7；（ 3）a0 +a2+a4+a6；（ 4 ） |a0|+|a 1| +|a2 |+

28、+|a7|。【思路点拨】求展开式的各项系数之和常用赋值法【解析】令 x=1 ，则 a0 +a1+a2 +a3+a 4+a5+a6+a7= 1，令 x=1，则 a0 a1+a2a3+a4 a5+a 6a=37，7（ 1）因为 a0=001237a0C7 1 （或令 x=9，得 a =1），所以 a +a +a +a =2。（ 2）由（ ） ÷2得 aaaa1371094 。57132（ 3）由（ +） ÷2得 a0a2a4a61371093 。2（ 4 ）方法一：因为 (1 2x)7 展开式中， a0 ，a2 ， a4， a6 大于零，而 a1， a3， a5 ，a7 小于零

29、，所以 |a0 |+|a 1|+|a 2|+ +|a7|=(a 0 +a2+a4 +a6) (a1+a3 +a5+a 7)=1093 ( 1094)=2187。方法二： |a 0|+|a 1|+|a 2 |+|a7|，即 (1+2x) 7 展开式中各项的系数和，所以|a 0|+|a 1 |+|a7|=3 7 =2187 。【总结升华】求展开式的各项系数之和常用赋值法。“赋值法 ”是解决二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值。一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0 可得常数项，令x=1 可得所有项系数之和，令x= 1 可得偶次项系数之和与奇次数系数之和的差，而当二

30、项展开式中含负值时，令x= 1 则可得各项系数绝对值之和。举一反三：'.【变式1】已知 (12x)7a0a1 xa2 x2a7 x7，求：（ 1） a1a2a7 ；（ 2） a1 a3a5a7 ； （ 3） | a0 | | a1 | a7 | .【答案】（ 1）当 x1时， (12x)7(1 2)71，展开式右边为a0a1a2a7 a0a1a2a71，当 x0 时， a01， a1a2a71 12 ，（ 2）令 x1 ， a0a1a2a71令 x1 ， a0a1a2a3a4a5a6a737 得： 2( a1a3a5 a7 )1 37 ， a a a a1 37.13572（ 3）由展

31、开式知：a1 ,a3, a5, a7 均为负， a0 ,a2 , a4, a8均为正，由（ 2）中 +得： 2( a0a2a4a6 )137， a0a2 a4a6137，2 | a0 | | a1 | a7 | a0a1a2a3a4a5a6a7(a0a2a4a6 ) ( a1a3a5a7 ) 37举一反三：【变式 1】求值： 2nC n1 2n 13Cn2 2n 232(1)n C nn 3n .【答案】2nC n1 2n1 3C n2 2n232(1)n C nn 3n(23)n( 1)n【变式 2】设 1 x1x2131na0a1xa2 x2an xn ，xx当 a0a1a2an254时，求 n 的值【答案】令 x1 得：a0 a1a2an222232n2(2n1)254 ，21 2n 128, n 7 ，类型四、二项式定理的综合运用'.例 8. 求证： 32 n 28n9 （ n N）能被64 整除.【思路点拨】可将32n2 化成 (32 ) n 1(81) n 1再进行展开 , 化简即可