2019年高考数学文一轮复习精品资料专题41直线平面垂直的判定及其性质教学案原卷版

1、1考情解读,1.以立体几何的相关定义、公理和定理为出发点，理解和理解空间中线面垂直、面面垂直 的相关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能使用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1 .直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面a内的任意直线都垂直，就说直线l与平面a互相垂直.(2)判定定理与性质定理文子语百图形语百符号语后判Tffl 7E7E 理如果一条直线与一个平面内 的两条相交直线都垂直，则该直 线与此平囿垂直l _L a r? l± al? 3 J性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行£二

2、a _L ai? a / b b _L a _2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文子语百图形语1符号语后判定定理如果一个平面经过另一个 平囿的一条垂线，则这两个平囿 互相垂直/£l _L a"a _L 3l? 3 J性质定理如果两个平向互相垂直， 则在一个平囿内垂直于它们交线的直线垂直于另,个平囿4a _L 3'、a n 3 = a ? U a“all? 3J3.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所 成

3、的角.，八一入，一E一兀(2)线面角。的范围：0, 4.二面角的相关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两 射线所成的角叫做二面角的平面角.高频考点突破高频考点一直线与平面垂直的判定与性质例1、(1)如图， ABC和 BCD所在平面互相垂直，且 AB= BC= BD= 2, / ABC= / DBCAD的中点.= 120°, E, F, G 分别为 AC, DC,4求证：EFL平面BCG;求三棱锥 DBCG的体积. ,1附：锥体的体积公式 V= 7Sh,3其中S为底面面积，h

4、为高.(2)如图所示，已知 AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=：DB,点C为圆O3上一点，且 BC 3AC, PD，平面 ABC, PD= DB.求证：PAL CD.【感悟提升】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(a/ b, a1 a?b± “)；面面平行的性质 (a1 & all ? a±肌 面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.所以，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.【变式探究】 如图所示，在四锥P- A

5、BCD中，PA1底面ABCD, ABXAD, AC CD, / ABC = 60°, PA= AB= BC, E 是 PC 的中点.P高频考点二平面与平面垂直的判定与性质例2、(1)(2019山东)如图，三棱台DEFAB计，AB= 2DE, G, H分别为AC, BC的中点.求证：BD/平面FGH;若 CF± BC, AB± BC,求证：平面 BCD,平面 EGH(2)如图所示，四边形 ABCD中，AD/ BC, AD= AB, Z BCD= 45°, / BAD= 90 .将 ABD沿对角线BD折起，记折起后 A的位置为点P,且使平面PBDL平面BCD

6、.fi5)P求证：CD，平面PBD.平面 PBCL平面 PDC【感悟提升】面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直 转化为线面垂直的依据，使用时要注意平面内的直线(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质 在不是很复杂的题目中，要对此实行证明.【变式探究】(2019重庆)如图，三棱锥 PABC中，平面 PACL平面 ABC, / ABC=；，点D, E在线段 AC上，且 AD= DE=EC=2, PD=PC=4,点 F在线段 AB 上，且 EF/ BC(1)证明：ABL平面PFE(2)若四棱锥P

7、DFBC的体积为7,求线段BC的长.高频考点三 线面角、二面角的求法例 3、如图，在四棱锥 PABCD 中，PAL底面 ABCD ABXAD, AC± CD, Z ABC= 60°, PA = AB=BC, E是PC的中点.B求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)证明：AEL平面PCD(3)求二面角A-PD-C的正弦值.【感悟提升】求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化 到一个三角形中求解.(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有定 义法；垂面法.注意利用等腰、等边三

8、角形的性质.【变式探究】(2019山东)如图，在三棱台 DEFABC中，AB= 2DE, G, H分别为 AC, BC的中点.(1)求证：BD/平面FGH;(2)若CF1平面 ABC, ABXBC, CF= DE, Z BAC= 45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.1.12019高考北京文数】(本小题14分)如图，在四棱锥 PABCD 中，PC_L 平面 ABCD, AB / DC ,DC _L AC(I)求证：DC _L平面PAC;(II)求证： 平面PAB _L平面PAC .(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存有点F,使得PA平面CEF?说明理由2

9、.12019高考山东文数】(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF/ DB.(I)已知 AB=BC, AE=EC求证：AC± FB;(II)已知 G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH/平面 ABC3.12019高考天津文数】(本小题满分13分)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AEDL平面ABCD,EF|AB ,AB=2,BC=EF=1 AE=J6 , DE=3, / BAD=60o, G 为 BC 的中点.(I)求证：平面BED;(n)求证：平面 BED,平面 AED;(出)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.4.12019高考浙江文数】(本题满分1

10、5分)如图，在三棱台 ABC-DEF中，平面BCFEL平面 ABC, /ACB=90°, BE=EF=FC1, BC=2, AC=3.(I)求证：BF,平面ACFD(II)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值(第18题图)1.12019高考广东，文18(本小题满分14分)如图3,三角形PDC所在的平面与长方形AB CD所在的平面垂直， PD = PC=4 ,AB =6, BC =3.(1)证明：BC平面PDA；(2)证明：BC _L PD ；2.12019高考湖北，文20】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖月需

11、.在如图所示的阳马P -ABCD中，侧棱PD_L底面ABCD ,且PD =CD，点E是PC的中点，连接 DE, BD, BE .(I )证明：DE _L平面PBC .试判断四面体 EBCD是否为鳖月需，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(II)记阳马P -ABCD的体积为M,四面体EBCD的体积为V2 ,求V1的值.3.【2019高考湖南，文18】(本小题满分12分)如图4,直三棱柱ABC-ABG的底面是边长为2的正三角形，E, F分别是BC,CC1的中点。(I)证明：平面 AEF _L平面B1BCC1;(II)若直线 AC与平面AABB所成的角为45 ,求三棱锥F

12、 - AEC的体积。4.12019高考山东，文18 如图，三棱台 DEF ABC中，AB = 2DE, G, H分别 为AC, BC的中点.(I)求证：BD/平面FGH ；(II)若 CF _L BC, AB _L BC,求证：平面 BCD _L 平面 EGH .5.12019高考陕西，文18如图1,在直角梯形 ABCD中，1 一 , ,、，AD/BC,/BAD , AB =BC = AD =a , E 是 AD 的中点，O是 OC 与 BE 的交点, 22将 MBE沿BE折起到图2中AABE的位置，得到四棱锥 A, BCDE .(I)证明：CD _L平面AOC；(II)当平面ABE _L平面

13、BCDE时，四棱锥 A - BCDE的体积为36反，求a的值.所示.(I)请按字母F, G, H标记在正方体相应地顶点处 (不需要说明理由)(n)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.(出)证明：直线DF，平面BEG7.12019高考新课标1,文18(本小题满分12分)如图四边形 ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE _L平面ABCD ,E(I)证明：平面 AEC _L平面BED ;(II)若NABC =120°, AE .L EC,三棱锥E -ACD的体积为,求该三棱锥的侧 3面积.8.12019高考浙江，文 18(本题满分 15分)如图，在三棱锥 ABC- A

14、B1C1中,/ABC =90, AB =AC =2,AA 1 =4,A1 在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1cl的中点.(1)证明：AD_L平面A1BC；(2)求直线AiB和平面BBiCCi所成的角的正弦值DAi3T9.12019高考重庆，文20如题(20)图，三棱锥 P-ABC中，平面PAC.平面ABC, / ABC=,2点D、E在线段 AC上，且 AD=DE=EC=2 PD=PC=4点F在线段 AB上，且 EF/BC.(I )证明：AB_L平面PFE.(n)若四棱锥P-DFBC勺体积为7,求线段BC的长.1. （2019 福建卷）在平面四边形 ABCD中，AB=BD= CD= 1,

15、ABXBD, CD± BD.将AABD沿BD折起，使得平面 ABD，平面BCD,如图1-5所示.求证：AB± CD;(2)若M为AD中点，求直线 AD与平面MBC所成角的正弦值.M&图1-52. (2019湖南卷)如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，ACABD=O,A1CinB1D1 = On四边形ACCA1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：OiO,底面ABCQ(2)若/ CBA= 60° ,求二面角Ci- OBi- D的余弦值.a曲B图1-6(1)求证：AB± PD.(2)求二面角E-BF-C的正弦值.1-

16、5四棱锥P -ABCD中，ABCD为矩形，平面 PAD，平面ABCD(2)若/ BPC= 90° , PB= 72, PC= 2,问AB为何值时，四棱锥 P -ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.5. (2019辽宁卷)如图1-5所示，那BC和BCD所在平面互相垂直， 且AB= BC= BD= 2, /ABC= Z DBC= 120° , E, F分别为 AC, DC的中点.求证：EFl BC;6.(2019新课标全国卷I )如图 1-5,三棱柱 ABC-A1B1G中，侧面BBCC为菱形，ABXBC图1-5(1)证明：AC= ABi；(2)若 A

17、C，ABi, /CBB|=60° , AB= BC,求二面角 A -AiBi -Ci 的余弦值.7. (2019四川卷)三棱锥 A -BCD及其侧视图、俯视图如图 i-4所示.设M, N分别为线 段AD, AB的中点，P为线段 BC上的点，且 MNLNP.(i)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角 A -NP -M的余弦值.图i-48. (20i9天津卷)如图i-4所示，在四棱锥P -ABCD中，PA1底面 ABCD, AD± AB, AB/DC, AD=DC= AP=2, AB= i,点 E 为棱 PC 的中点.(i)证明：BEX DC;(2)求直线BE与平面PBD所

18、成角的正弦值;图i-4BF,AC,求二面角 F -AB -P的余弦值.9. (20i9浙江卷)如图i-5,在四棱锥 A -BCDE中，平面 ABC 平面 BCDE / CDE= /BED = 90° , AB= CD= 2, DE= BE= i, AC=蛆.(i)证明：DEL平面ACD;(2)求二面角 B -AD -E的大小.A图1-510. （2019重庆卷如图1-3所示，四棱锥 P-ABCD中，底面是以 O为中心的菱形，POX.兀 、.， 一1底面 ABCD, AB= 2, / BAD=M 为 BC上一点，且 BM=-, MPXAP.求PO的长；（2）求二面角 A-PM-C的正弦

19、值.图1-3押题专练1 .已知平面 n平面 3, an 3= l ,点AC % AD/e l,直线AB / l,直线AC±l ,直线 m/ a,m/ 3,则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A. AB/ mB. AC± mC. AB/ 3D. AC± 32.设m、n是两条不同的直线，a、3是两个不同的平面，则（）A.若 m± n, n II a,贝U m ± aB.若 m " & 3, a,贝m± aC.若 m, 3, n± 3, n, a,贝U m, aD.若 m,n, n, & a,贝U m± a3.如图，以等腰直角三角形 ABC的斜边BC