信号系统分析

1、1第2章 连续时间系统的时域分析2 时域分析方法特点时域分析方法特点: :不涉及任何变换，直接不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。的基础。 元一阶微分方程元一阶微分方程状态变量描述状态变量描述阶微分方程阶微分方程一元一元输入输出描述输入输出描述 : :NN本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。系统数学模型的时域表示：系统数学模型的时域表示：3系统分析过程 变换域法变换域法利用卷积积分法求解利用卷积积

2、分法求解零状态零状态可利用经典法求可利用经典法求零输入零输入双零法双零法经典法经典法解方程解方程网络拓扑约束网络拓扑约束根据元件约束根据元件约束列写方程列写方程:,:经典法经典法: :前面电路分析课里已经讨论过，但与前面电路分析课里已经讨论过，但与 (t)有关的问题有待进一步解决有关的问题有待进一步解决 h(t)；卷积积分法卷积积分法: : 任意激励下的零状态响应可通过任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。冲激响应来求。( (新方法新方法) )4本章主要内容线性系统完全响应的求解；线性系统完全响应的求解；冲激响应冲激响应h(t)的求解；的求解；卷积的图解说明；卷积的图解说明；卷积的性质；卷

3、积的性质；零状态响应零状态响应： 。 thtfty zs56主要内容物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法7一物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。线性常系数微分方程来描述。8二微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。

4、对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。9三n 阶线性时不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信

5、号 与响应信号与响应信号 之间之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述)(te)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为均为常数，此方程为常系数的常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。10四求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：列写方程，求解方程。分析系统的方法：列写

6、方程，求解方程。 变换域法变换域法利用卷积积分法求解利用卷积积分法求解零状态零状态可利用经典法求解可利用经典法求解零输入零输入应应零输入响应和零状态响零输入响应和零状态响经典法经典法解方程解方程网络拓扑约束网络拓扑约束根据元件约束根据元件约束列写方程列写方程: ,:求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：齐次解就是：齐次解+特解。特解。 11齐次解：由微分方程齐次解：由微分方程齐次方程齐次方程特征方程特征方程求出特征求出特征根根写出齐次解形式写出齐次解形式nktkhkAtr1e)(经典法)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteE

7、trCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 0)(d)(dd)(dd)(d11110trCttrCttrCttrCnnnnnn微分方程：微分方程：齐次方程：齐次方程：10110nnnnC aC aCaC特征方程：特征方程：特征根：特征根：12,na aa齐次解：齐次解：12特特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。注意重根情况处理方法。若注意重根情况处理方法。若 是是k 重根，和它有关重根，和它有关的为的为k 项项1a11121211()()k

8、a ta tkkk ikiiAtA tAt eAte13几种典型激励函数相应的特解激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解)(常常数数E)(常常数数Bpt1121 ppppBtBtBtBt etB e t cos t sin tBtB sincos21 tttp sine tttp cose tDtDtDtDtBtBtBtBtpppptpppp sinecose11211121 14kA全全 解：齐次解解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解特解，由初始条件定出齐次解 。 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t = 0 ，响应，响应为为 时的方

9、程的解，初始条件时的方程的解，初始条件 0t1122d)0(d,d)0(d,d)0(d, )0(nntrtrtrr 初始条件的确定是此课程要解决的问题。初始条件的确定是此课程要解决的问题。1( )( )ina tipir tAer t15例2-2-1电感电感电阻电阻 tvRtiR1 d1 tLvLti电容电容 ttvCtiCdd 根据根据KCL titititiCLRS 代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。 求并联电路的端电压求并联

10、电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。 tv tisa tisRRiLLiCcib (t)v16这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。可以用高阶微分方程表示。 例2-2-2机械位移系统，质量为机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧的刚体一端由弹簧 tv牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面

11、间的摩擦力为擦力为 ，外加牵引力为，外加牵引力为 ，其外加牵引力，其外加牵引力 与与刚体运动速度刚体运动速度 间的关系可以推导出为间的关系可以推导出为 tFSf tFS ttFtkvttvfttvmddddddS22 msFfk17例2-2-3 nktkhkAtr1e)( 的齐次解。的齐次解。求微分方程求微分方程tetrtrttrttrt 12dd16dd7dd2233系统的特征方程为系统的特征方程为 01216723 0322 3 , 221 重重根根 tthAAtAtr33221ee 特征根特征根因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为11121211()()ka ta tkkk ikiiAt

12、A tAt eAte18例2-2-4 如果已知：如果已知： 分别求两种情况下此分别求两种情况下此方程的特解。方程的特解。 tettetrttrttr dd3dd2dd22 ,e 2 ; 12ttette 给定微分方程式给定微分方程式 3221pBtBtBtr 为使等式两端为使等式两端 ,2 , 122tttte 得到得到代入方程右端代入方程右端将将平衡，试选特解函数式平衡，试选特解函数式 将此式将此式代入方程代入方程得到得到 为待定系数。为待定系数。这里这里321, , BBB ttBBBtBBtB2322 34323212121 19等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的

13、系数应相等，于是有 032223413321211BBBBBB联解得到联解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以，特解为所以，特解为 271092312p tttr20 这里，这里，B是待定系数。是待定系数。 代入方程后有：代入方程后有： 。可选可选很明显很明显时时当当ttBtrtee , ,e tttttBBBeee3e2e 31 B。于是，特解为于是，特解为te31 相相加加即即得得方方程程的的完完全全解解和和特特解解上上面面求求出出的的齐齐次次解解trtrph trAtrnitip1ie (2)21例2-2-5 时的变化。时的变化。在在方程并求解方程并求解的微分的微分。建立电流。

14、建立电流转向转向由由时时达到稳态。当达到稳态。当的位置而且已经的位置而且已经处于处于开关开关给定如图所示电路，给定如图所示电路，0)()(21S01S0 ttititt21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R22根据电路形式，列回路方程根据电路形式，列回路方程 tetvtiRC 1 2ddRtititLtvLLC 列结点电压方程列结点电压方程 titvtCtiLC dd , tvC先消去变量先消去变量 , 把电路参数代入整理得把电路参数代入整理得再消去变量再消去变量tiL tetettettitittit4dd6dd10dd7dd2222 (1)

15、（1）列写电路的微分方程23(2)求系统的完全响应系统的特征方程系统的特征方程01072 052 即即特征根特征根5 , 221 齐次解齐次解 0 ee5221tAAtitth V4 0 tet时时由由于于 , , 44pBti 因因此此令令特特解解4410 B581016 B方程右端自由项为方程右端自由项为代入式代入式(1)(1)要求系统的完全响应为要求系统的完全响应为 0 58ee5221tAAtitt特解特解24(3) 0dd0iti和和确定换路后的确定换路后的 A5420021 RRiiL 00dd it V56V23540 Cv换路前换路前21S ti V4 te V2 teF1 C

16、 11R tiC tiLH41 L 232R25 A514A5641100101 CveRi s/A20dd0dd10dd1 CvtetRit因而有因而有 :0dd0 iti和和换路后的换路后的由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, ,21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232R电压变化 ？26(4) 时时的的完完全全响响应应在在求求 0tti 的表示式的表示式由由 ti 2520dd5145802121AAitAAi求得求得要求的完全响应为要求的完全响应为 1523421AA 0 581523452t

17、Aeetitt注意此时时间？2728)0()0()0()0( LLCCiivv我们来进一步讨论我们来进一步讨论 的条件。的条件。 一起始点的跳变 0t 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr状状态态、起起始始状状态态 0O 0 0t导出的起始状态导出的起始状态状态、初始条件、状态、初始条件、 0 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr29当系统用微分方程表示时，系统从当系统用微分方程表示时，系统从 到到 状态有状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及及其各阶导数项。其各阶导数项。 0 0 t 说明一般情况

18、下一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则： .00 ,00 LLCCiivv 0对于一个具体的电网络，系统的对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中状态就是系统中储能元件的储能情况储能元件的储能情况; ; 00 到到但是当有但是当有冲激电流强迫作用于电容冲激电流强迫作用于电容或有或有冲激电压强迫冲激电压强迫作用于电感作用于电感， 状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。 301电容电压的突变由伏安关系由伏安关系 tCCiCtv d)(1)( tCCCiCiC

19、iC0000d)(1d)(1d)(1 0d)(1)0()0(,000 CCCiCvvt令令为为有有限限值值如如果果)(tic, 0d)(00 Ci ttic 为为如果如果)(，CiCC1d)(100 )0()0( CCvv此时此时CvvCC1)0()0( 此时此时当有冲激电流当有冲激电流或阶跃电压作或阶跃电压作用于电容时：用于电容时：)0()0( CCvvC)(tvC)(tiC tCCCiCiCv000d)(1d)(1)0( 31例2-3-1EvC )0(0)0( Cv)(d)(d)(tCEttvCtiCC 电流为冲激信号。电流为冲激信号。C)(tvC)(tiC)(tEu电路中有电容元件时或者

20、电路表现为容性负载时，加电时会有冲击电流出现322电感电流的突变 tLLvLti d)(1)(0d)(1)0()0(00LLLvLii)(tiL)(tvLL)0()0( LLii此此时时 0d)(00， Lv如果为有限值，如果为有限值，)(tvL，为为如如果果 )()(ttvL 00 , 1d)(100LLLiiLvL此时此时 冲激电压或阶冲激电压或阶跃电流作用于跃电流作用于电感时：电感时：)0()0( LLii0000d)(1d)(1d)(1d)(1)(LLLtLLvLvLvLvLti,0t令33例2-3-2)(tiL)(tvLL)(stuIttiLtvLLd)(d)( ttLILiiLLd

21、)(1)0()0(00s s)0(IiL ssd( ) ( )dI u tLLItt34配平的原理：配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的时刻微分方程左右两端的(t)及各阶及各阶导数应该平衡导数应该平衡( (其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）可以不管其他项） ttrtrt 33dd 0,0rr求求已已知知例例： 三冲激函数匹配法确定初始条件该过程可借助该过程可借助数学描述数学描述 tt 33 t 9 t 9 tu 93 积分积分35在在 中中 时刻有时刻有 tr0 t tu 9分析 t 3方方程程右右端端含含 tttr 3dd中中必必

22、含含 ttr 3中中包包含含 t 方方程程右右端端不不含含 ttrtttr 939dd中的中的以平衡以平衡必含必含 900 rr 900 rr即即中的中的 trtdd t 9 表示表示 到到 的相对跳变函数，所以，的相对跳变函数，所以， tu 0 036 可知可知由方程由方程ttrtrt 33dd 项项，方方程程右右端端含含t trtdd它一定属于它一定属于数学描述 tubtatr ttubtatuctbta 333 900 brr tuctbtatrt dd设设则则代入方程代入方程得出得出所以得所以得 900 rr即即 03033bcaba3927abc 即即37例2-3-3 。和和用冲激函

23、数匹配法求用冲激函数匹配法求和和如图，已知如图，已知输入输入的微分方程为的微分方程为描述描述 0dd0, 00dd540 )(4dd6dd10dd7dd LTIS2222rtrrtrtetetettettrtrttrt（1）将）将e(t)代入微分方程，代入微分方程，t0得得 trtrttrt10dd7dd22 tutt 8122 te24Ot38(2)方程右端的冲激函数项最高阶次是方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而有，因而有 t tuatrtubtatrttuctbtatrt dddd22)00( t trtrttrt10dd7dd22 tutt 8122 代入微分方程代入微分方程 tua

24、tubtatuctbta 107 tutt 8122 39 81071272abcaba求得求得 20dd0dd20dd0dd2002222crtrtbrtrtarr状状态态为为要要求求的的 0因而有因而有 20dd20dd514542020rtrtrr40起始状态与激励源的等效转换起始状态与激励源的等效转换系统响应划分系统响应划分对系统线性的进一步认识对系统线性的进一步认识41一起始状态与激励源的等效转换在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。即可以将原始储能看作是激励源。电容的等效电路电容的等效电路电感的

25、等效电路电感的等效电路外加激励源外加激励源系统的完全响应系统的完全响应共同作用的结果共同作用的结果可以看作可以看作起始状态等效激励源起始状态等效激励源系统的完全响应系统的完全响应 = =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应( (线性系统具有叠加性线性系统具有叠加性) )42电容器的等效电路 tCCiCtv d)(1)( tCCiCiC00d)(1d)(1 tCCtiCv00d)(1)0( C)(tvC)(tiC0, 0)0( tvC电路等效为起始状态为零的电容与电压源电路等效为起始状态为零的电容与电压源 的的串联串联 tuvC)0( 等效电路中的等效电路中的电容器的起始电容器的起始状

26、态为零状态为零C)(tvC)(tiC)0(Cv43 tLLvLti d)(1)( tLLvLvL00d)(1d)(1 )0( d)(1)0(0 tvLitLL 故电路等效为起始状态为零的电感故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源和电流源的并联。的并联。)()0(tuiL 电感的等效电路0 0)0( tiL，)(tiL)(tvLL)0( Li)(tiL )(tvLL44二系统响应划分自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应(Transient+Stea

27、dy-state)45 也称固有响应，由系统本身特性决定，与也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。外加激励形式无关。对应于齐次解。 形式取决于外加激励。对应于特解。形式取决于外加激励。对应于特解。 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。增加，它将消失。 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。响应分量。 没有外加激励信号的作用，只由起始状没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。态（

28、起始时刻系统储能）所产生的响应。 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。 (1)(1)自由响应：自由响应：(2)(2)暂态响应：暂态响应：稳态响应：稳态响应：强迫响应：强迫响应：(3)(3)零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：各种系统响应定义46求解10111d( )d( )d ( )( )0dddnnnnnnr tr tr tCCCC r tttt实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值态值 决定的初始值求出待定

29、系数。决定的初始值求出待定系数。 系统零输入响应：系统零输入响应：满足：和：( )(0 )(0,1,2,1)krkn1( )kna tzizikkr tA e解的形式：47 系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值次解，由状态值 为零决定的初始值求出待定系为零决定的初始值求出待定系数。数。 0kr=0)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 满足微分方程：满足微分方程：解的形式：解的形式：1( )( )kna

30、tzszskkrtA eB t481( )( )kna tkkr tA eB tzizs11( )( )kknna ta tkkkkr tA eA eB t系统响应：系统响应：自由响应自由响应强迫响应强迫响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应49 求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。积积分法。 t 线线性性时时不不变变系系统统 th te th tr系统的零状态响应系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即激励与系统冲激响应的卷积，即 thtetr 50三对系统线性的进一步认识由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线

31、性的。由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。(1)(1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。响应可分解为：零输入响应零状态响应。(2)(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。应对于各激励信号呈线性。(3)(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。于各起始状态呈线性。 51(1)(1) 设设零零输输入入响响应应为为)(zitr，零零状状态态响响应应为为)(zstr，则则有有 例2-4-1已已知知一一线线性性时时不不变变系系统统，在在相相同

32、同初初始始条条件件下下，当当激激励励为为)(te时时，其其全全响响应应为为 tuttrt 2sine2)(31 ；当当激激励励为为)(2te时时，其其全全响响应应为为 )( 2sin2e)(32tuttrt 。求求： (1)(1)初初始始条条件件不不变变， 当当激激励励为为 )(0tte 时时的的全全响响应应)(3tr，0t为为大大于于零零的的实实常常数数。 (2)(2)初初始始条条件件增增大大 1 1 倍倍，当当激激励励为为)(5 . 0te时时的的全全响响应应)(4tr。 )()2sin(e2)()()(3zszi1tuttrtrtrt )()2sin(2e )(2)()(3zszi2tu

33、ttrtrtrt 52解（续）)()()(0zszi3ttrtrtr )()22sin(e)(e300)(330ttutttuttt )(5 . 0)(2)(zszi4trtrtr tuttutt2sine5 . 0e3233 解得解得)(e3)(3zitutrt )()2sin(e)(3zstuttrt tutt2sin5 . 0e5 . 53 53冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应54系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的作用下产生的零状态响应零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。表示。 一冲激响应1定义 2一阶系统

34、的冲激响应)(t 3n阶系统的冲激响应H t th55响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)3n阶系统的冲激响应(1)冲激响应的数学模型)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 对于线性时不变系统对于线性时不变系统, ,可以用一可以用一高阶微分方程高阶微分方程表示表示 )()()()()()()()(1111011110tEtEtEtEthCthCthCthCmmmmnnnn 激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为m次次)令令 e(t)= (t

35、) 则则 r(t)=h(t)56(2)h(t)解答的形式设特征根为简单根（无重根的单根）设特征根为简单根（无重根的单根）)(e)(1tuAthnitii 由于由于 及其导数在及其导数在 时都为零，因而方程式右时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。解的形式相同。 t 0t 及其各阶导数。及其各阶导数。应包含应包含时，时，当当；中应包含中应包含时，时，当当及其各阶导数；及其各阶导数；不含不含时，时，当当tthmntthmntthmn 与与n, m相对大小有关相对大小有关 与特征根有关与特征根有关57二

36、阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的系统在单位阶跃信号作用下的零状态零状态响应，称为单响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。位阶跃响应，简称阶跃响应。1定义 H te trH tu tgg(t)01tu(t)g(t)0tu(t)58系统的输入系统的输入 ，其响应为，其响应为( )( )e tu t( )( )r tg t1011110111d( )d( )d ( )( )dddd( )d( )d ( )( )dddnnnnnnmmmmmmg tg tg tCCCC g ttttu tu tu tEEEE u tttt59起始状态起始状态( )(0 )0,(0,1,2,.,1)kgkn系统方程的右

37、端将包含阶跃函数系统方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐，所以除了齐次解外，还有特解项。次解外，还有特解项。( )u t60我们也可以根据线性时不变系统特性，利用我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与冲激响应与阶跃响应关系阶跃响应关系求阶跃响应。求阶跃响应。 61例2-5-1 一阶系统的冲激响应)()(d)(dttvttvRCCC 列系统微分方程：列系统微分方程：)(t C )(tvC)(tiCR求下图求下图RC电路的冲激响应。电路的冲激响应。 （条件：（条件： ） 00 Cv0)(d)(d tvttvRCCC冲激冲激 在在 时转为系统的储能（由时转为系统的储能（由 体现），体现）

38、，t 0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响应。的冲激响应。 t 0 t)0( Cv 0, 0 tt 齐次方程齐次方程62特征方程特征方程01 RC特征根特征根RC1 时的解时的解 0 )(e)( ttuAtvRCtC求解下面的问题是确定系数下面的问题是确定系数A, ,求求A有两种方法：有两种方法：方法方法2 2：奇异函数项相平衡法，定系数奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法方法1 1：冲激函数匹配法求出冲激函数匹配法求出 ，定系数，定系数A。)0( Cv)(e1)(1tuRCtvtRCC )(e1)(1tuRCthtRC 即即:波形

39、波形RCA1 63波形 )(e1)(1tuRCtvthtRCC )(1)(e1d)(d)(12tRtuCRttvCtitRCCC )()(thtvC tRC1Ot R1CR21 )(tiCO电容器的电流在电容器的电流在 t =0时有一冲激，时有一冲激，这就是电容电压突这就是电容电压突变的原因变的原因 。注意！注意！64方法1：求据据方程方程可设可设代入方程得代入方程得 ttuatuRCbtRCa 得出得出RCaRCa1 1 即即所以所以 RCAAttRCCC1e01 得得代入代入把把 tuRCttRCC1e1 tuattubtattCC dd 0Cv RCRCCC1100 65方法2：奇异函数

40、项相平衡原理)(e)(d)(d1tuRCAtAttvtRCC 代入原方程代入原方程)()(e)()(e1ttuAtRCAtuARCRCRCtRCt )()(ttRCA 整理，方程左右奇异函数项系数相平衡整理，方程左右奇异函数项系数相平衡 已知方程已知方程冲激响应冲激响应求导求导注意注意！RCARCA1 1 )(e)(tuAtvRCtC )()(d)(dttvttvRCCC 662阶跃响应与冲激响应的关系 tt0,对因果系统：对因果系统：积分，注意积分限：积分，注意积分限：阶跃响应是冲激响应的阶跃响应是冲激响应的线性时不变系统满足线性时不变系统满足微、积分微、积分特性特性 ttttud)()(

41、ttthtgd)()(67三齐次解法求冲激响应（补充）左端最高阶微分中含有左端最高阶微分中含有 (t)项项(n-1)阶微分中含有阶微分中含有u(t)项。项。可以由此可以由此定初始条件定初始条件 )()(d)(dd)(d0111tthatthatthnnnnn 0)0()0()0()0(, 1)0()2()1( nnhhhhh令方程左端系数为令方程左端系数为1，右端右端只有一项只有一项 (t)时，冲激响应为时，冲激响应为 th此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。有优越性。68求冲激响应的几种方法方法方法1：冲激函数匹配法求出：冲激

42、函数匹配法求出 跃变值，定系数跃变值，定系数A。方法方法2：奇异函数项相平衡法，定系数：奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法方法3: 齐次解法求冲激响应。齐次解法求冲激响应。 0069总结冲激响应的求解至关重要。冲激响应的求解至关重要。冲激响应的定义冲激响应的定义零状态；零状态；单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励下加同样的激励 ，看响应，看响应 ， 不同，说明其不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。系统特性不同，冲激响应可以

43、衡量系统的特性。 t)(th)(th用变换域用变换域( (拉氏变换拉氏变换) )方法求方法求冲激响应和阶跃响应简冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。70卷积卷积利用卷积积分求系统的零状态响应利用卷积积分求系统的零状态响应卷积图解说明卷积图解说明卷积积分的卷积积分的几点认识几点认识71一卷积（Convolution）积分积分和和设有两个函数设有两个函数),()(21tftf d21 tfftf tftftftftftf2121)( 或或，记记为为的的卷卷积积积积分分，简简称称卷卷积积和和称称为为)()(21tftf利用卷积可以求

44、解系统的零状态响应。利用卷积可以求解系统的零状态响应。72二利用卷积求系统的零状态响应 d tete则则响响应应为为的的为为若若把把它它作作用用于于冲冲激激响响应应LTIS,)(th teHtr )(任意信号任意信号e(t)可表示为冲激序列之和可表示为冲激序列之和 dteH dtHe d the这就是系统的零状态响应。这就是系统的零状态响应。 thtethtetr zs冲激响应冲激响应( )h t e t r t73线性时不变（LTI)系统分析方法 基本思路：基本思路：已知一些基本信号，将任意一个信号e(t)（或者我们需要研究的信号）用一个基本信号的线性组合来表示（信号分解），如果已知基本信号

45、通过LTI系统的响应r(t)，那么任意信号通过系统的响应就可以用r(t)的线性组合来表示。 这些基本信号应该具备下列性质：1、由这类基本信号能构成相当广泛的一类信号2、LTI系统对每一个基本信号的响应，在结构上因该十分简单，以便使系统对任意输入的响应有一个方便的表达式。(t)，冲激响应，卷积，冲激响应，卷积74三卷积的计算由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定是积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。非常关键的。借助于阶跃函数借助于阶跃函数u(t)确定积分限确定积分限利用图解说明

46、确定积分限利用图解说明确定积分限75卷积的图解说明 用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。两种方法结合起来。 d21 tfftf ),()(. 111积积分分变变量量改改为为ftf)()()()(. 22222 tffftf时时延延倒倒置置)()(. 321 tff相相乘乘： d)(. )(. 421 tff乘积的积分：乘积的积分： tt)(t时时延延对对 的函数的函数积分结果为积分结果为t 再再移移动动倒倒置置为为的的图图

47、形形不不动动， 2221, ffff76例2-6-2)30(2)(1011)(21 tttftttfOt tf1111 Ot tf2323O 2f3 23O tf223O 1f111 3 tt t ttX77浮动坐标O 231 1浮动坐标：浮动坐标：下限下限 上限上限t- -3t- -0 1f tf2t ：移动的距离：移动的距离t =0 f2(t- ) 未移动未移动t 0 f2(t- ) 右移右移t 0 f2(t- ) 左左移移 从从左左向向右右移移动动对对应应到到从从 tft2, 1f-113 t tf278O 1f111 t -13 tttf2两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，

48、二者乘积为0 0，即积分为，即积分为0 0 021 tff 021 tftftg1 t79-1 t 1O 1f111 3 tt tf2 向向右右移移 tf2 时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限积分下限- -1，上限，上限t ，t 为移动时间为移动时间;1 t d)()()(211 tfftgt d211 tt1422 t 41242 tt801 t 2O 1f111 3 tt tf2 113tt即即1 t 2 tttg d21)(11812 t 4O 1f111 3 tt tf2即即2 t 4 1313tt224d)(21)(213 ttttgt 82

49、O 1f111 t 43 tt tf2即即t 4t- -3 1 0 tg83卷积结果 ttttttttttg其他其他04222421114124)(22Ot tf1111 Ot tf2323)(tgtO2421 184积分上下限和卷积结果区间的确定 tf1 tf2A,BA,BC,DC,DA+C,B+DA+C,B+D tg一般规律：一般规律：上限上限下限下限 021的的范范围围（区区间间）确确定定。由由 tff上限取小，下限取大上限取小，下限取大(1)(1)积分上下限积分上下限(2)(2)卷积结果区间卷积结果区间- -1 tf2 tg1 tf1034+1当当 或或 为非连续函数时，卷积需分段，积

50、分限分为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。段定。 tf2 tf185 ttAC desine0202000)cossin(ee ttACtttA)(thO A)( thO t desind)()()()(0tACthetr ttAC )sin(0202 0 202 )( eOX ttCtetuAtht0sin)()(e)( 861列写列写KVL方程方程 tetRittiL dd2 2冲激响应为冲激响应为)(e)(tutht d)(e)2()(e)(21tuuut d)()2(ed)()(ee22 tuuetuutt d)()()( . 3theti 的零状态响应。的零状态响应。，求，求已

51、知已知)( )2()(e)(2titututet )(tiH1 L 1R 874.4.定积分限（关键）定积分限（关键） 10: 时存在，时存在，宗量宗量特点特点u 22002ttt )2(deedee)(2202 tututitttt )2(ee2)(ee2)1(22 tututttt 00 t)()( tuu d)()2(eed)()(ee22 tuutuutitt)()2( tuu 00tt 88波形 2 ,ee220 , )ee (2)()1(2tttitttt分段表示：分段表示：Ot th1Ot ti2Ot te12 )2()(e2 tutut)(etut 89四对卷积积分的几点认识(

52、1：观察响应的时刻，是积分的参变量；：观察响应的时刻，是积分的参变量； )t : 信号作用的时刻，积分变量信号作用的时刻，积分变量 从因果关系看，必定有从因果关系看，必定有 t(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；即即d f( ) 是是h(t- )的加权，积分的加权，积分 f( ) 是是h(t- )的加权，求和的加权，求和 (t- )的响应的响应 d thetr90(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建建立了响应立了响应r(t)与激励与激励e(t)之间的关系。之间的关系。

53、(4)卷积是数学方法，也可运用于其他学科卷积是数学方法，也可运用于其他学科 。信号无起因时：信号无起因时： d)()()(thftg一般数学表示：一般数学表示： d)()()(21tfftg(5)积分限由积分限由 存在的区间决定，即由存在的区间决定，即由 的范围决定。的范围决定。 )(),(21tftf0)()(21 tff91总结求解响应的方法：求解响应的方法：时域经典法：时域经典法：双零法：双零法： thte 零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：完全解完全解=齐次解齐次解 + 特解特解解齐次方程，用初（起）始条件求系数；解齐次方程，用初（起）始条件求系数； 92例2-4已知线性

54、时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，求该系统对激励求该系统对激励的零状态响应。的零状态响应。 1sin tututte O12t teO12t tr113对激励和响应分别微分一次，得对激励和响应分别微分一次，得 2 ttte 32 1 tututututrO 12t te O12t tr 113 11 93 时时，当当激激励励为为tte 1 tututr响响应应为为 时时，于于是是，当当激激励励为为tte 1 tututr响响应应为为)1()()( tututh即即 时时的的零零状状态态响响应应为为当当激激励励为为1sin tututte

55、 2cos122dsin2dsin21sin110tututtututututututututthtetrtt94此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，则将得出此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，则将得出错误的结果。错误的结果。例2-5ottf1121ottf21111tuet 时不等于零；时不等于零；在在其原因在于其原因在于 ttf1 111 tttf 点有一个冲激信号点有一个冲激信号只在只在从图形上看，从图形上看， ，即，即分并不能恢复原信号分并不能恢复原信号然而，对此微分信号积然而，对此微分信号积tf1 tftuftt111d1ddd ，并画出波形。，并画出波形。计算卷积计算卷积)

56、()( 21tftf 95显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。从原理上看，如果从原理上看，如果 tdfttftftfdddd1121则应有则应有 tftfddd11很容易证明，上式成立的充要条件是很容易证明，上式成立的充要条件是 0lim1 tft 1e 11121 tutftutft此题若将此题若将f1(t)看成两个信号的叠加，则也可以利用该性看成两个信号的叠加，则也可以利用该性质计算：质计算：96 tututtuututututututft

57、ftsttttttt e11de1de1ded1ed1dd1e1e11e11e1111111111111121 1e1e1 11 tututt注意：注意： Xo12t)()(21tftf 97代数性质代数性质微分积分性质微分积分性质与冲激函数或阶跃函数的卷积与冲激函数或阶跃函数的卷积98一代数性质1交换律2分配律3结合律)()()()(1221tftftftf )()()()()()()(3121321tftftftftftftf )()()()()()(2121tftftftftftf 系统并联运算系统并联运算系统级联运算系统级联运算99系统并联 ththth21 )()()()()()()

58、(3121321tftftftftftftf 系统并联，框图表示：系统并联，框图表示： )(tg)(tf)(th)(tg)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th)()(1thtf )()(2thtf )()()()()()(21thtfthtfthtf 结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各各子系统冲激响应之和。子系统冲激响应之和。100系统级联)()()()()()(2121ththtfththtf )()(thtf )()(21ththth 系统级联，框图表示：系统级联，框图表示： )(tf)(1th)(2th)(tg)()(1tht

59、f )()()(21ththtf )(tg)(tf)(th结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。于子系统冲激响应的卷积。 101二微分积分性质)()()()()(thtfthtftg )()()()()()()()()()(thtfthtftgnmmnmn )()()()()(thtftgnn )()()()()()()()(thtfthtftgnnn 推广：推广：微分性质积分性质联合实用微分性质积分性质联合实用)()()()()()1()1()1(thtfthtftg 对于卷积很方便。对于卷积很方便。g(t)的积分的积分微分微分n次，次，积分积分m次次m=n, 微分次数微分次数积分次数积分次数 102微积分性质的证明 d)(d)(ddd)(d)(d)(dhttftthfttg d)()()(thftg两端对两端对t 求导求导 即即)()()()()(thtfthtftg 已知已知交换律交换律103证明交换律 tftf21 d)()(21 tff d)()(12 tff，令令 t dd: ，则则卷积结果与交换两函数的次序无关。因为倒