信号与线性系统分析 课件(第四版)吴大正第二章_连续系统的时

1、第二章 连续系统的时域分析 时域分析方法：时域分析方法：即对于给定的激励，由系统的数学模型（微分方程）求得其响应的方法。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。 LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。本章主要内容本章主要内容 2.1 LTI连续系统的响应 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 2.3 卷积积分 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 二、关于二、关于0-和和0+值值 三、零输入响应三、零输入响应 四、

2、零状态响应四、零状态响应 五、全响应五、全响应 其经典解：其经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） 齐次解是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。 齐次解yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 表表21 不同特征根所对应的齐次解不同特征根所对应的齐次解特征根齐

3、次解yh(t)单实根et ？ r重实根 (Cr-1 tr-1+ Cr-2 tr-2+ C1 t1+C0) et一对共轭复根1,2=je tCcos(t)+Dsin(t)或Acos(t-)其中A e j =C+jDr重共轭复根Ar-1tr-1 cos(t+r-1)+ Ar-2tr-2 cos(t+r-2)+ A0 cos(t+0) e t齐次解的函数形式仅与系统本身的特性系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。问：若问：若f(t)=c（常数），特解形式？（常数），特解形式？ 解: (1) 特征方程为2 + 5+

4、6 = 0 其特征根1= 2， 2= 3。齐次解为 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t ？ 因为因为f(t) = 2e t，故其特解可设为 yp(t) = Pe t 将其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得P=1 于是特解为yp(t) = e t例描述某系统的微分方程为y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（1）当f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1时的全解；（2）当f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。 其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1

5、+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0全解为：全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t 注意：注意：自由响应的系数C Cj j由系统的初始状态和激由系统的初始状态和激励信号共同来确定励信号共同来确定 自由响应强迫响应 解：齐次解同上。解：齐次解同上。由于f(t)=e2t，其指数与特征根之一相重。故其特解可设为yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得P1e-2t = e2t 所以P1= 1 但P

6、0不能求得。全解为全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t= (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0 解得C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0 注：注：上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。（2）当f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。二、关于二、关于0-和和0+值值 在t=0-时

7、，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。 为求解微分方程，就需要从已知的初始状态初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定确定待定系数Ci时用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。 解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1） 由于上式对于所有t都都成立，等号两端(t)项的系数应相等。 由于

8、等号右端为由于等号右端为2(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从 而y(t)在t= 0处将发生跃变，即y(0+)y(0-)。 但y(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有(t)项。由 于于y(t)中不含中不含(t)，故，故y(t)在在t=0处是连续的。处是连续的。 故y(0+) = y(0-) = 2例：例：描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。 由于积分在无穷小区间0-，0+进行的，且y(t)在t=0连续，故对式对式(1)两端积分有两端积分有于是由上式得

9、于是由上式得y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2因为y(0+) = y(0-)=2 ，所以y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =2由上可见，由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。三、零输入响应 y(t) = yzs(t) + yzi(t) 。 零输入响应，零输入响应，对应的输入为零，所以方程为 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)0 若其特征根都为单根，则零输入响应为：若

10、其特征根都为单根，则零输入响应为：njtzijzijeCty1)(由于激励为零，故有由于激励为零，故有yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-), (j=0,1,n-1)四、零状态响应 方程仍为方程仍为 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t) 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有yzs(j)(0-)=0； 若微分方程的特征根均为单根，则其零状态若微分方程的特征根均为单根，则其零状态响应为响应为

11、)()(1tyeCtyptnjzsjzsCzsj 为待定系数，为待定系数，yp(t)为方程的特解为方程的特解 解：（1）零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故yzi(t)满足yzi”(t) + 3yzi(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=0 该齐次方程的特征根为1， 2，故 yzi(t) = Czi1e t + Czi2e 2t 代入初始值并解得系数为Czi1=4 ,Czi2= 2 ，代入得 yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0例：描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y(t) +

12、 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。注意此时系数注意此时系数C的求法！的求法！ yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 由于上式等号右端含有(t)，故yzs”(t)含有(t)，从而yzs(t)跃变，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)在t = 0连续，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，积分得（2）零状态响应yzs(t) 满足因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2对t0时，有有y

13、zs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解为常数3，于是有yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3代入初始值求得yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0五、全响应五、全响应 如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下，LTI系统的响应称为全响应称为全响应，它是零输入响应与零状态响应之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t) 零状态响应零输入响应强迫响应自由响应)()()(111tyecectyectypnjtzsjnjtzijpnjtjjjj 虽然自由响应和零输入响应都是齐

14、次方程的解，虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，但两者的系数各不相同，但两者的系数各不相同，c czijzij仅由系统的初始仅由系统的初始状态所决定，而状态所决定，而c cj j由系统的初始状态和激励信由系统的初始状态和激励信号共同来确定。号共同来确定。 也就是说，也就是说，自由响应包含零输入响应的全部和自由响应包含零输入响应的全部和零状态响应的一部分。零状态响应的一部分。讨论讨论2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应一、冲激响应 由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t) 例1 描述某系统的微分方程

15、为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t),求其冲激响应h(t)。 解：根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。 h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系数平衡法。，故利用系数平衡法。h”(t)中含(t)，h(t)含(t)，h(0+)h(0-)，考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1对对t0时，时，有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响

16、应为一齐次解。故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 解根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。 由方程可知， h(t) 中含(t) 故令h(t) = a(t) + p1(t) p1(t) 为不含(t) 的某函数 h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”

17、(t) + b(t) + c(t)+ p3(t) 代入式(1)，有例2 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其冲激响应h(t)。 整理得整理得 a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)= ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用(t) 系数匹配，得a =1 ，b = - 3，c = 12 所以h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3

18、(t) （4） 对式(3)从0-到0+积分得h(0+) h(0-) = 3 对式(4)从0-到0+积分得h(0+) h(0-) =12a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) 微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0 代入初始条件h(0+) = 3， h(0+) =12 求得C1=3，C2= 6, 所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0 结合式(2)得 h(t)=(t) + (3e2t 6e3t)(t)

19、对对t0时，有时，有h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0故h(0+) = 3， h(0+) =12冲激响应示意图冲激响应示意图 x(0)=0二、阶跃响应阶跃响应示意图阶跃响应示意图* *阶跃响应是激励为单位阶跃函数阶跃响应是激励为单位阶跃函数 (t)(t)时，系统的零时，系统的零状态响应，如下图所示。状态响应，如下图所示。线性非时变系统g(t)x(0)001t(t)g(t)0t(t)(,0)(tTtgdef用用g(t)表示阶跃响应表示阶跃响应 如果描述系统的微分方程是式如果描述系统的微分方程是式 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=

20、f(t) ， 当当f(t)=f(t)= (t)(t)时，有时，有01)(atgp式（式（1 1）的）的特解为特解为) 1 ()()()()()(01)1(1)(ttgatgatgatgnnn其初始值为其初始值为:0)0()0( )0()0()2()1(ggggnn注：注：除g(n)(t)外？y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)若微分方程的特征根若微分方程的特征根i i(i=1(i=1，2 2，n)n)均为单均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式根，则系统的阶跃响应的一

21、般形式(nm)(nm)为为 )()1()(01taectgnitii若描述系统的微分方程是式描述系统的微分方程是式可根据可根据LTI系统的线性性质和系统的线性性质和微积分微积分特性求出阶跃响应：特性求出阶跃响应：dttdt)()(tdxxt)()(dttdgth)()(tdxxhtg)()( 解：系统的微分方程解：系统的微分方程 设图中右端积分器的输出为x(t)，则其输入为x(t)，左端积分器的输入为x(t)。左端加法器的输出为 x(t)-3 x(t)-2 x(t)+f(t) 即 x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t)例例2.2-3 如图如图2.2-3 所示的所示的LTI系统，求其阶

22、跃响应系统，求其阶跃响应 y(t)+ f(t)- 2 3 1 2 x(t) x(t) x(t)右端加法器的输出为 y(t)=- x(t)+2 x(t)x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t); （1）y(t)=- x(t)+2 x(t) （2）阶跃响应若设（1）式所述系统的阶跃响应为gx(t),则有 g(t)=- gx(t)+2 gx(t) gx(t)满足方程 gx(t) +3 gx(t)+2 gx(t) (t) gx(0_) = gx(0_) =0 其特征根11； 22，其特解为0.5，于是得 gx(t)(C1e-t+C2e-2t+0.5) (t) 初始值为gx(0) = gx(0)

23、 =0，代入上式得 gx(0)=C1+C2+0.5=0; gx(0) =- C1-2C2=0解得解得 C1-1；C20.5 所以， gx(t)(-e-t+0.5e-2t+0.5) (t) 求出 gx(t)，代入g(t)=- gx(t)+2 gx(t)得 g(t)=- gx(t)+2 gx(t)(-3e-t+2e-2t+1) (t) 解法二：由（解法二：由（1）、（）、（2）式求得）式求得系统的微分方程为： y(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t)当f(t)=(t)时，有)3()(2)( )(2)( 3)( ttththth0)0()0( hh先求h(0+)和h(0+) 令：)6

24、()()()5()()()( )4()()()( )( 210trthtrtathtrtbtath由（由（4）式从）式从0-到到0+积分得积分得5)0( )0( hh将上三式代入（将上三式代入（3）式得）式得)(2)( )(2)(3)(3)()()( 210tttrtrtatrtbta23 ; 1baa5; 1ba5)0( h由（由（5）式从）式从0-到到0+积分得积分得1)0(h可以求得系统的冲激响应为可以求得系统的冲激响应为 h(t)=(3e-t-4e-2t) (t) 0)(2)( 3)( ththth当当t0,有有所以所以ttececth221)(5)0( h1)0(h由由)()123()