2020年江苏镇江高考数学一模试卷答案解析

1、2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，共70分）1,已知集合 A=x|x2- 2x< 0, B = -1, 1, 2,则 AA B= 1 , 2.【解答】 解：. A=x|0WxW 2, B= -1, 1, 2,.AA B= 1 , 2.故答案为：1, 2.2 .设复数 kl十,（其中i为虚数单位），则|z|=_7S_.【解答】解：七=1+2=1-2i,i|z|=J2/2 =故答案为：后3 .如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是25 .i! Inwn Io 9）；S 仁 S+tFnd hrPrml 月【解答】解：模拟执行伪代码，可得：S=0+1+3+5+7

2、+9 =25.故答案为：25.224.顶点在原点且以双曲线 一工一二1的右焦点为焦点的抛物线方程是y2= 16x12 422【解答】解：双曲线9r-J=1的右焦点为（4, 0）,12 4 ,抛物线的方程设为 y2=mx, m>0,由题意可得-=4,即m=16,可得抛物线方程为 y2=16x.故答案为：y2=16x.5 .已知在平面直角坐标系 xOy中，直线l1： x- my+m -2=0, l2： mx+ （m-2） y- 1 = 0, 若直线11 / l2,则m= - 2 .【解答】 解：根据题意，直线 l1： x- my+m - 2=0, l2： mx+ （m-2） y- 1 = 0

3、,若直线 11/12,必有(m-2) +m2= 0,解可得：m= 1或-2,当m=1时，直线1i： x- y-1 = 0, 12： x-y - 1= 0,两直线重合，不符合题意；当m=- 2时，直线11： x+2y- 4=0, 12: - 2x-4y-1 = 0,两直线平行，符合题意;故 m= - 2;故答案为：-26 .从“1, 2, 3, 4, 5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列 的概率是 二 .【解答】解：从“ 1, 2, 3, 4, 5”这组数据中随机去掉两个不同的数，基本事件总数n =10,剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：(1, 2, 3), (

4、1, 3, 5), (2, 3, 4), (3, 4, 5),共 4 个，.剩余三个数能构成等差数列的概率是p=-L=2.10 5故答案为：1_,7 .若实数x, y满足条件(,则z=3x+2y的最大值为13 .b+ 3)口(甚4yT)。x-y-l<0 ,对应的可行域如下图所示：x-3y+30由1,解得x=3, y=2时，目标函数经过 A (3, 2)时，目标函数取得最大值:I K-3y+3=0z= 3x+2y=13,故z= 3x+2y的最大值为：13;故答案为：13.元?个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y=g (x)的图象，则 吕(尚-)=_二C【解答】解：

5、将函数f(x) =cos2x的图象向左平移，个单位长度后，可得6y= cos (2x+二)的图象，再将图象上各点的纵坐标变为原来的贝 )=,2倍，得到函数y = g (x) =2cos()的图象,故答案为：-色.9.已知正方体 ABCD - A1B1C1D1棱长为1,点E是棱AD上的任意一点，点 F是棱B1C1上的任意一点，则三棱锥 B- ECF的体积为 工 .一6一【解答】解：如图,正方体ABCD - A1B1C1D1棱长为1,点E是棱AD上的任意一点，点F是棱B1C1上的任意一点，K-ecf=we 4x-|®cxabxbib4x1xixixi4故答案为：一610 .等比数列an的

6、前三项和S3=42,若ai,a2+3,a3成等差数列，则公比q= _2_gj-.【解答】解：等比数列an的前三项和S3= 42,若ai, a2+3 , a3成等差数列，22可得 ai+a2+a3= ai+aiq+aiq =42, a+a3=2 (a2+3)即 2 (aiq+3) = ai+aiq ,解得q= 2或工，2故答案为：2或二.211 .记集合 A=a, b,当 0 f-时，函数 f (m=2/ssincos 日 +2cos2 0 的值域为B,若“ xCA”是“xCB”的必要条件，则 b-a的最小值是3 .【解答】解：函数 f( 0) = 2. e CJS 6 +2CO s 2 0=向

7、sin2 9+cos2 什i =2sin(2 北二)+i .当 F，三时，(2 卅二)q亭,. sin (2 0+2L) q-1, i, 4663622sin (2 卅匹)+i q0, 3=B,若“x6”是“xCB”的必要条件，则 B?A.b a的最小值是30 = 3.故答案为：3.J,i2.已知函数,若对任意的x m, m+i,不等式f (i-x) <f (x+m)恒成立，则实数 m的取值范围是【解答】解：函数f (r)=-(y)K+x35 x<0-2k当 x< 0 时，-x>0, f( - x) = - 2 x+x3= f (x),同样 x>0,可得 f (-

8、 x) = f (x),且 f (0) = - i,则f (x)为偶函数，且f (x)在x>0上为减函数，对任意的xm, m+i,不等式f (i - x) w f (x+m)恒成立,可得 f (|i - x|) < f (|x+m|),即为 |x - 1| > |x+m|,即有(2xT + m) (m+1) < 0,由一次函数的单调性，可得：(2m 1 + m) ( m+1) w 0,且(2m+2 1 + m) ( m+1) < 0,即为1 < mW _L且1 < mW 工即有1 < mw 1,I则m的范围是-1,一-,3故答案为：T, -i-.

9、13 .过直线l: y= x-2上任意一点P作圆C: x2+y2=1的一条切线，切点为 A,若存在定点B (xd, yo),使得 PA=PB 恒成立，则 xo-yo= 2士近一【解答】解：设P (a, a-2),由题意知B必在以P为圆心，PA为半径的圆上，B (xo, yo)为这些圆的公共点, 因为 pb2= FA2,所以(xoa) 2+yo- (a2) 2=a2+ (a 2) 2- 1即(xo2+yo2+4yo+1) 2a (xo+yo) =0,因为任意 aCR, (xo2+yo2+4yo+1) - 2a (xo+yo) = 0恒成立,所以 xo - yo= 2± V2, 故答案为

10、：2 士也.14 .在平面直角坐标系 xOy中，已知三个点 A (2, 1), B (1,-2),C (3, - 1),点P (x,y)满足(0P?0A) x( OP?OB)= - 1,则里"的最大值为一一秒|0P|2上【解答】解：依题意，由(OP?OA) X (而?55) =- 1 得，(2x+y) (x-2y) =- 1,_2m+nmn= 1,令产4y F解得4:，且mtnf 2222&m +4mnn m -4rnn+4n-25+ 2Tx-2y=n .毛工opu =|OP |2x2+y25(m*i)= 5 G也)= 5 Cmf). m2 +n2 (m+n ) S-2iht

11、l (mtn)2 +2需要求出 吧°?的最大值,不妨设 m+n>0, I OP I2.解答题(共6小题，共90分)15 .在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD是平行四边形，E是AP的中点，ABXBD, PBXPD,平面 PBDL底面 ABCD.(1)求证：PC/平面BDE;(2)求证：PDL平面PAB.【解答】证明：(1)连结AC,交BD于点O,连结EO,四边形ABCD是平行四边形，且 AC交BD于点O,点O为AC中点，在APAC中，二.点E为AP的中点，EO / PC,. EO?平面 BDE, PC?平面 BDE,.PC/平面 BDE .(2)二.平面 PBDL平面 A

12、BCD,平面 PBDA 平面 ABCD = BD ,PBXBD, PB?平面 ABCD, .PB,平面 ABCD,. AB?平面 ABCD ,PB± AB, ABXBD,BDAPB=B,AB,平面PBD, PD?平面PBD, ABXPD,PD± PB,PBA AB=B,PD,平面PAB.16.如图，在 ABC中，点D是边BC上一点,i a .AB=14, BD = 6, BA*ED = 66.(1)若 C>B,且 cos (C - B)=,求角14C；(2)若 ACD的面积为S,且求AC的长度.【解答】解：(1) . AB=14, BD=6,正丽= 66,BA?BD=

13、 AB?BD?cosB= 14X 6X cosB=66,，解得 cosB =-14. ABC 中，C>B,且 B+C+/ABC=兀,TT B- ., sinB = Vl-co s2B=j5一 _ _112 . C - B (0,兀),cos (CB)=14cosC= cos(C B) +B = cos(C B) cosB sin (C B) sinB =在 ABC中，由正弦定理可得2AC,解得 AC=5/R.1417.在平面直角坐标系 xOy中，椭圆E:=1 (a>b>0)的长轴长为 4,左准线l在 ABC 中， CC (0,兀)，(2) , ACD的面积石.五,二 CD ?

14、CA?sin C=二AC ?CD?cosC,sinC= cosC, ACD 中，CC (0,兀)，sinCw0,则 cosCw0,可得 tanC = 1,可得 C=sinB si nC又二 sinB= 5' 3 , AB = 14, sinC = sin-144的方程为x= - 4.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线l1过椭圆E的左焦点F1,且与椭圆E交于A, B两点.若AB=±*,求直线l1的方程；过A作左准线l的垂线，垂足为 Ai,点G (二，0),求证：Ai, B, G三点共线.a=2【解答】解：(1)设焦距为2c,由题意可知:自 /二-4c,2. 22Lb -a -c

15、22，椭圆的标准方程为：更一 -=1 ；4 3 n(2)由(1)可知：Fi ( - 1 , 0) , AB=4,故直线11不与x轴重合,7设直线 li 方程为：x=my- 1, A (xi, yi), B (x2, y2),联立方程： J 卯 1,消去x得：(3m2+4) y2- 6my- 9= 0,L3i2Hy =12 = 144 ( m2+1) > 0, y J皿土 Wm -1解得：m=±1,，直线11的方程为：x土y+1=0;A= ( 一 4, y1),由可知:则"二 G - kBG=-6仇-91 丫丁丁二7'了1y3 m +43 hl +42my1ya

16、+3(yj +y2)=-9=03my£+T故kA.01= kBG,由此，A1, B, G三点共线.18.某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，宽RS为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为如图所示，矩形PQRS的长PS为130米，O,圆O与PS, SR QR分别相切于点 A,N在线段D, C, T为PQ的中点.现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成.出发点PT上(不含端点，游客从点 Q处乘升降电梯至点 N),轨道第一段 NM与圆O相切于点M,再沿着圆弧轨道MA到达最高点A,然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道 OG滑行至地面点 G处(设计要求 M, O, G三点共线)

17、，最后通过制动装置减速沿水平轨道 GR滑行到达终点 R.记/ MOT为%轨道总长度为l米.(1)试将l表本为a的函数l ( a),并写出a的取值范围；(2)求l最小时COS a的值.【解答】 解：(1)如图所示，作 MEXTO,垂足为 E点，作 NFXME,垂足为 F根据条件可得 TE=70 -60cosa, NM = 7Q-6Ucos.ginCL. l ( a) =0 +60a) +60+-+60 KsinCL2sinQ |tanCl19n, L30-120costt ,qn Rn=120+30 兀60 a,sinCL若点n在T时，“一切一旦 此时00是a的最小值，又N不能在点T,故 u 1

18、30-60 7若点n在p时,此时切点TTm为点A,且不能取，故a< 2，八<a<!点G需要在R的左边,冗COS-，<a<4a的取值范围为(n X2(2) l' ( a)=1.20-130c os dsin2 Ct令l' ( a) >0,可得G口口口<苴，令l' ( “)V。，可得3cos Q 04，0口£ S, 3),则当a £ (0, OQ)时，l ( a)为单调递减; O£TT,、，一,o万时，l ( a)为单调递增.匚口3 C1 =2时，函数l (a)取得最小值.319.已知函数 f (x)

19、= lnx+a (x2-x) (aCR).(1)当 a= 0,证明：f (x) w x 1;(2)如果函数f (x)有两个极值点X1 , X2(X1VX2),且f (xi) +f(X2)v k恒成立，求实数k的取值范围；(3)当a<0时，求函数f (x)的零点个数.【解答】解：(1)证明：当a=0时，f (x) <x- 1等价于InxWx- 1,即证x- lnx - 1 >0,令 g (x) = x - Inx - 1,贝U1=k x当 0vxv 1 时，g'(x)v 0, g(x)递减；当 x>1 时，g'(x)> 0, g (x)递增；1- g

20、 (x) min=g (1) =0,1. g (x) > 0,即 x- Inx - 1 > 0,得证；(2)令(天)=1+(2算一1)好。，贝U 2ax2ax+1 = 0的两根分另1J为x1，x2,rA=a2-8a>0V ,c 工 " 0、5t2 2,解得 a>8,=_二二一1=g (a),显然g (x)在(8, +00)上递减，g (a) < g (8) = ln1621 = - 4ln2 3,.k>- 41n2- 3;q 2_+(3)当 a<0 时，f' (x) = a,令 f' (x) = 0,贝U 2ax2-ax+1

21、= 0,，其中只有一个正实数根，2日且当 0V x< xi时，f'( x)>0, f (x)递增，当x>xi 时，f'( x)< 0, f(x)单减,町T1-2 Xi令 h ( x) = lnx+l-2z一 +1(l-2x)2l- f (x) max= f (xi) = lnxi+'(金二1)(x二 1)x (1-2k)?令 h' (x) =0,解得 x= 1,当 xC&n D，h，(x) < 0, h (x)递减；当(x) > 0, h (x)递增, h (x) min = h ( i) =0,f (x) max&g

22、t; 0,当f (x) max= 0,即xi = i时，a= - i ,此时f (x)只有一个零点 x= i ；f (xi) > 0,注意 f (i) = 0,当f (x) max>0,即a<0且aw i时，此时当av - i时,0V xivi,而 inx+a (x2 x)vxi+a (x2x) = (xi) (i+ax),令(x i) (i+ax) = 0,解得 x=-,取期=知 f (xc) < 0, , 0 。f (x)在(x。，xi)上有一个零点，另一个零点为 i;(ii)当一i v av 0,即 xi > i 时，此时取 x0' =,知 f (x

23、q ' ) < 0,a，f (x)有一个零点为i,另一个零点在(xi, xo')上;故a = - i时f (x)有一个零点，当 av 0且aw - i时，f (x)有两个零点.20 .已知nCN ,数列Jan的前n项和为Sn,且Sn= an+i - ai;数列bn的前n项和为Tn,且满足Tn+bn=n+-1n(l+bn),b4 = 4,且 ai= b2.(i)求数列an的通项公式;(2)求数列bn的通项公式;(3)设 Cn=,问：数列Cn中是否存在不同两项 Ci, Cj (iWiVj, i, jCN ),使Ci+Cj仍是数列Cn中的项？若存在，请求出 i, j；若不存在，

24、请说明理由.【解答】 解：(i)由 Sn= an+i ai,得 Sn i = an ai (n> 2),an= 2an i (n>2),且 ai= a2 - ai,即 a2= 2ai,，数列an是首项为a1=b2=2,公比为2的等比数列，日匕二2%(2)由 Tn+bn =1十%)(n 1) (1 + bn -1). .当 n>2 时，Tn 1+bn 1= n - 1-得 bn+ bn - bn 1 = 4bn 2bn 1 = 3+nbn (n1) bn-1,即(n4) bn (n 3) bn-1 = 3,当 n>3 时，(n5) bn 1 - (n - 4) bn 2=

25、 - 3,n4)bn+(n 4)bn 2= (2n8)bn1,bn+bn2= 2bn 1(nw4).在中令n= 1,由2b 二l.+b )，得 b1 = 1,令 n = 2,由 b1+2b2=2+1 + b2,得 b2 = 2,令n = 3,由可得b3=3,又b4=4,.数列数列bn是以b1=1为首项，1为公差的等差数列,(3)5 =an% - bn= 1+ (n 1) x 1 = n;*、J,假设数列Cn中存在不同两项Ci, Q (1<i<j, i, jCN ),n使Ci+Cj仍是数列Cn中的项，即c(kE N*)n工 J M注意到Cn+1 - Cn =2*1 2nm2*1-Cn

26、+1” 2$Cn-D-211n+1n(n-nl)n(n+l)>0,，Cn单调递增，由2, /口J,得 k>j,令 j - i= m (m>1),则 j=m+i,Hl)/i (j -1) I Cm+i-1)咛)八m+i >2, i-k，2mw 3 (1+m),2m1+lR,则 Cn+1 ?n2n+1 2”n-2n+2： n+1(n+1)(n+2)(n+1) (n+2).?n单调递增，注意到 m=3时,1+31+4 5>3,，m 只能为 1, 2, 3,当 m=1 时，j- i=1? j=i+12<(1 十 i)(?十 i) i、3i+2= 44-,故 i 只能

27、为 1,2,3.1 12当i = 1时,j = 2,此时当i = 2时,j = 3,此时当i = 3时,j = 4,此时无整数解,无正整数解,当m= 2时，j = i+2,此时83221；1；.?1(11)i24>3? 3i2-i- 6< 0,无解, ' i = 1,此时 j= W, =2k当m= 3时j = i+3,? i2+7i+12>8i2+9i? 7i2+9i T2W0,此时无正整数解,综上，存在i = 1, j = 2满足题意.【选做题】(3选2,每题10分)对应的变换下得到点Q (y21 .在平面直角坐标系 xOy中，设点P (x, 1)在矩阵M =-2,

28、 y),求 M 1Lyj【解答】解：二.在平面直角坐标系 xOy中,设点P (x, 1)在矩阵M =1 2,3 J对应的变换下得到点 Q (y-2, y),y-2，依题意,x+2=y-23x+4=y解得营则园:22.bd设M 1(p R),以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为ay=si n2 d,(a为参数)，求曲线Cl与曲线C2交点的直角坐标.【解答】解：由曲线Ci的极坐标方程： s-,得曲线C1的直角坐标系的方程为 x-y4=0,由曲线C2的参数方程:x=cos 口y-si n a(a为参数)，得曲线C2的普通方程为：x2+y=1(1 < x&l

29、t; 1 ),由*'得'+x-i即、=乎所以曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为:23.已知函数f (x) = |2x- 1|+|2x+2|的最小值为 k,且a+b+c= k,求a2+b2+c2的最小值.【解答】 解：f(x) =|2x- 1|+|2x+2|>|(2x- 1) (2x+2) |=3,当且仅当(2x 1) (2x+2)号，则k=3,a+b+c= 3,，由柯西不等式有，(a2+b2+C2) (1+1+1) > ( a+b+c) 2,24bz斗灯2乂"竺立当且仅当" a=b=c= 1”时取等号.3故a2+b2+c2的最小值3.【必做题】(每题10)24 . 22.已知在平面直角坐标系 xOy中，抛物线方程为 y2 = 2px (p>0).(1)若直线y= - x+1与抛物线相交于 M, N两点，且MN=A/%,求抛物线的方程；(2)直线l过点Q (0, t) (tw0)交抛物线于A, B两点，交x轴于点C,如图，设至=mAC, QB=nBC,求证：m+n 为定值.【解答】解（1）设M （xi, yi）, N（X2, y2）联立.r 2y =2pxLy=-x+l?