不等式知识结构及知识点

1、不等式知识结构及知识点总结.知识结构磔木fl用柞士或作湎求阖旭UM超兀 次不等K1雏43面区M1-次南&TUl+h构肃d,沟:； 4=- ii-（tl'+n -A）3构位斜率；片套.4iY FT y C 就M山£ 下和为定值.朋行拈上值：投为定度和有最小微i t* id>o. t>n?解不等式借劭二次海物图象.利用三个二次"网的关系-mor：* jfXrjfiK-ir ：&*/（<）y （f）>0 H（r?*OJ FlK w系益比为IE. 一穿梅法” .奇穿儡不穿二.知识点1、不等式的基本性质（对称性）abu ba （传递性）

2、a >b,b >c a > c（可加性）a b ：= a c b c（同向可力口性）ab,cAd = a+ c:>b+d （异向可减性） a b, c ： d = a - c b - d（可积性）a b, c . 0 = ac bca b, c ：二 0 = ac :二 bc（同向正数可乘性）a >b >0,c >d >0=> ac >bd（异向正数可除性）a >b >0,0 <c<d=刍>2 c d（平方法则）a>b>0=> an>bn（n=N,且n >1）（开方法则）a

3、>b >0= Va >n/b（n w n,且n >1）_. .1111（倒数法则）ab>0= < 一 ;a<b<0= >- a ba b2、几个重要不等式22a2 b2a2+b222ab a, b=R ,（当且仅当a = b时取"="号）.变形公式：ab<2（基本不等式） ab2a, bw R+）,（当且仅当a =b时取到等号变形公式：a +b >2Vabab <'llb :用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积 -2.最大），要注意满足三个条件 “一正、二定、三相等”.（三个正数的算术一几何

4、平均不等式）a*b*c >yObc （a、b、CW R4）（当且仅当a = b = c3时取到等号）.a2 +b2 +c2之ab + bc +ca(a, be R )(当且仅当a = b = c时取到等号) a3+b3+c3 3abc(a>0,b >0,c>0)(当且仅当a = b = c时取到等号).b ab a一右ab >0,则一+22 (当仅当a=b时取等号) 右ab< 0,则一+W - 2 (当仅当a=b a ba b时取等号)_ bbmana,一<<1<<一其中(a>b>0, m >0, n > 0)

5、规律：小于1同加则变大，大于1aambnb同加则变小.当a >0时，x >au x2 >a2y x <-ax >a;x < au x < a u a < x < a.绝对值三角不等式 a| |b - a -b - a b .2723、几个著名不等式平均不等式：一2_ _ OB ia_b < a,b a, b R,，(当且仅aA bA2.2当a =b时取"="号).(即调和平均几何平均算术平均工平方平均).变形公式：ab - a_ a b ； a2 b2 - (a b).222哥平均不等式：a12-a22.an2-

6、1 (a1-a2,-an)2.n二维形式的三角不等式：x；y；,x22y22一 (x -x2)2(y1 一y2)2(为，丫1?2,丫2R).二维形式的卞西不等式 (a2 +b2)(c2+d2)Wac + bd)2(a,b,c,dw R).当且仅当ad = bc时，等号成立.三维形式的柯西不等式:(42 +a22 +a32)(b12 +b22 +b32)之(a1bl +a2 b2 +a3b3)2.一般形式的柯西不等式：(a12 a22 . an2)(b12 b22 . bn2) 2-(a1bi ' a2b2 '. ' anbn).向量形式的柯西不等式：设J,百是两个向量，

7、则，司纲同，当且仅当 田是零向量，或存在实数k,使oT=k百时， 等号成立.排序不等式(排序原理)：设 a <a2 <. <an,b! Wb W. Wbn 为两组实数.G,C,.,Cn 是 b|,b2,.,bn 的任一排列，则a1bn+a2bl。+anb| wa1G+a2c2+2门孰Ea1bl+a2b2+ anbn.(反序和 w乱序和 < 顺序和)当且仅当a1 =a2 = . = an或b =N =. = bn时，反序和等于顺序和.琴生不等式：(特例：凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数f (x),对于定义域中任意两点 Xl,X2(Xl ¥长),有 f(X1

8、 +4)/3)+他2)或 f(x1 +X2f(XJ+f(X2)则称 f(x)为凸(或2222凹)函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法(作差，作商法)、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、 放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法 等.31 2(a -);42常见不等式的放缩方法： 12 舍去或加上一些项，如 (a ) 2(2 _2_) 122；k k . k . k , k 、k -1 '1_ v)将分子或分母放大(缩小)，如1112，k2 k(k -1)k2 I(k = N , k >1)等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式 aX2 +bX +

9、c > 0(或<0) (a = 0,A =b2 -4ac> 0)解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数 .二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画： 画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边 .6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿( 奇穿偶见)，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集 .段) 0= f(X) g(X) 07、分式不等式的解法：先移项通分 标准化,贝U g(x) ,( “ <或E”时f(x) _0_ f(x) g(x)-0 g(x) g(x) =

10、 0同理)规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解ff(x)>0f (x) < a2'f(x)",.函 a(a 0)上f(x) 0.f(x) g(x)：- g(x) _0-2f(x) g(x)f(x),a2 g <a(a>0) =T f(x)_0“、f(x)-0或'nfYl <-n Jf (x) <g(x)u «g(x) >0g(x)：.u2f(x)：g(x)f(x) ,0、f (x) . g(x) = g(x) ,0f(x) g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等

11、式，诀窍在于从“小”的一边分析求解9、指数不等式的解法：当 a >1 时,af (x) >ag(x) u f (x) > g(x)当 0 <a <1 时，af(x)ag(x)= f (x) ： g(x)规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法f(x) 0当a >1时，| 一、 I /、1/、 c 当0<a<1时，,loga f(x) logag(x)= g(x) 0,f(x) g(x)f(x) 0loga f(x) logag(x)= g(x) 0.f (x)二 g(x)规律：根据对数函数的性质转化.a (a 0),11、含绝对值不等

12、式的解法： 定 乂法： a = W.7平万法：1-a (a < 0 )f(x)| |g(x) = f2(x)Mg2(x).同解变形法，其同解定理有： x Mau a w x Wa(a 之0); x 之au x 之a或xWa(a 2 0);f(x) Wg(x)= -g(x) < f(x) <g(x) (g(x) >0)f (x)之g(x)u f (x)占g(x)或f(x) <-g(x) (g(x) >0)规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、

13、含参数的不等式的解法2解形如ax +bx+c>0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与0的大小；讨论 与0的大小；讨论两根的大小 .14、恒成立问题不等式ax2+bx+c >0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当a = 0时 =b=0,c>0;当a/0时一 了0不等式ax2+bx + c<0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当 a =0时=b =0,c<0;当a*0时 心<。A：:0. f （x） <a 恒成立 仁 f （x）max <a; f （x） Wa恒成立 u f （x）max <a;f（x）a

14、恒成立仁f （x）mm >a; f （x）之a恒成立u f（x）min之a15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线 Ax + By + C = 0的同一侧的所有点的坐标代入Ax+By +C后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（x0,y0）（如原点），由Ax0+By0+C的正负即可判断出 Ax + By+C>0（或<0）表 示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点法二：根据Ax +By +C >0 （或<0）,观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，Ax

15、+ By +C A0 （或<0）表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.|即：同号上方，异号下 二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.利用线性规划求目标函数 z=Ax + By （A, B为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z = Ax+By （ x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值法二：画一一移一一定一一求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域

16、；第二步，作直线 l0:Ax+By = 0 ,平移直 线l0 （据可行域，将直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解 （x,y）；第四步， 将最优解（x, y）代入目标函数z = Ax + By即可求出最大值或最小值 第二步中最优解的确定方法：利用z的几何意义：y= -X+-,-为直线的纵截距.B B B若B>0,则使目标函数z = Ax + By所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；若B <0,则使目标函数z = Ax+By所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.常见的目标函

17、数的类型：“截距”型：z = Ax + By;“斜率”型：z = Y或z = Izb;xx-a，“距离"型：z = x2 + y2或 z = Jx2 + y2；z = (x - a)2 + (y - b)2 或z = （x -a） （y -b）.在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问 题简单化.16.利用均值不等式:22-a +b >2ab (a, b WR )a +b >2 Jab ； ab < a 2 b ）求最值时，你是否注意到“ a, b WR +'且“等号成立”时的条件，积（ab）或和（a+b）其中之一为定

18、 值？（一正、二定、三相等）a2 + b2 a + b1- 2ab .注意如下结论：v >>< ab >a, bWR +22a b当且仅当a =b时等号成立。a2 +b2 +c2*ab + bc+ca （a, b e R）当且仅当a = b = c时取等号。.1bbma naa > b >0, m >0, n > 0,贝U- <1< <a a mb nb4 .如：若x>0, 23x4的最大值为 x、门4)(设 y =2 3x +4 x三 2 -2、，12 =2 -4.342 3.当且仅当 3x =一，又x >0, :

19、 x =时，ymax=2-4、13)x3又如：x+2y=1,贝(J2x +4y的最小值为(V2x +22y 之2d2*y =2叔,:最小值为d'2)17.不等式证明的基本方法都掌握了吗?(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)并注意简单放缩法的应用。11 ：- 232， n211111+n -1 n F ：二1 .n212 2 3 .111=1 1 一一 '一 一一 , 2 2 31、=2 < 2) n18解分式不等式 出 aa=0的一般步骤是什么? g(x)(移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1,穿轴法解得结果。)19.用“穿轴法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”,从最大根的右上方开始,23如：x 1 x -1 x -2： 020 .解含有参数的不