第三章-直线与方程知识点及典型例题.

1、第三章直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义： x 轴正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0°180°2.直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即 k= tan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , =0°, k = tan0=°0;当直线 l 与 x 轴垂直时 ,= 90k°不,存在 .当0 ,90时， k0；当90 ,180

2、时， k0 ； 当90时， k 不存在。例 .如右图，直线l 1 的倾斜角 =30°，直线 l 1 l 2，求直线 l1 和 l2 的斜率 .y解： k1= tan30° =3 l 1 l 2 k1· k2 = 1l13 k2 = 321x例： 直线 x3y50的倾斜角是 ()ol 2A.120 °B.150°C.60°D.30° 过两点 P1 (x1， y1)、 P1(x1， y1)的直线的斜率公式 ： ky2y1 ( x1x2 )x2x1注意下面四点：(1) 当 x1x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为9

3、0°；(2) k 与 P1、 P2 的顺序无关；(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例 .设直线l 1 经过点 A( m， 1)、 B( 3，4)，直线l 2 经过点 C(1， m)、D( 1，m+1) ，当 (1)1l2(2) l1 l 1 时分别求出 m 的值l / /三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。3. 直线方程点斜式：yy1k ( xx1 ) 直线斜率k，且过点x1, y1注意： 当直线的斜率为0°时，k= 0，直线的方程是y=y1。当直线

4、的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于 x1 ，所以它的方程是x= x1。斜截式： y= kx+b，直线斜率为k，直线在 y 轴上的截距为b两点式：yy1xx1（ x1x2 , y1y2 ）直线两点 P1 (x1， y1)、 P1(x1， y1)y2y1x2x1截矩式： xy1其中直线 l 与 x 轴交于点 (a， 0)，与 y 轴交于点 (0， b),即 l 与 x 轴、 y 轴的ab截距分别为 a、 b。注意： 一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况两个截距都不为 0或都为0 ；但不可能一个为0，另一个不为 0.xy其方程可设为：

5、1 或 y= kx.ab 一般式： A x+By+C=0 （ A ， B 不全为0）注意： (1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。各式的适用范围(3) 特殊式的方程如：平行于 x 轴的直线：yb （ b 为常数）；平行于 y 轴的直线： xa（ a 为常数）；例题： 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是1 ，经过点 A(8 ， 2)；.2(2)经过点B(4,2) ，平行于 x 轴；.(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3, 3 ；.2(4)经过两点 P1(3， 2)、 P2(5， 4)；.例 1：直线 l 的方程为 Ax+B y+

6、C= 0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（）AC= 0，B>0B C= 0， B>0， A>0C C= 0， AB<0D C= 0，AB>0例 2：直线 l 的方程为 A xB y C= 0，若 A 、B 、C 满足 AB.>0 且 BC<0 ，则 l 直线不经的象限是（ ）A 第一B 第二C第三D 第四4. 两直线平行与垂直当 l1 : yk1 xb1 ， l 2 : yk 2 xb2 时，l1 / l 2k1k2 , b1b2 ； l1l 2k1k21注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。5. 已知两条直线 l 1： A

7、 1x+B1y+C 1= 0， l 2：A 2x+B2 y+C2= 0， (A1 与 B1及 A2与 B2 都不同时为零 )A 1 xB1 yC 10若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组的一组解。A 2 xB 2 yC 20两条直线的交角：两条相交直线l 1 与 l 2 的夹角： 两条相交直线l 1 与 l 2 的夹角， 是指由 l 1 与 l 2 相交所成的四个角中最小的正角，又称为 l 1 和 l 2 所成的角，它的取值范围是0,，当90 ，则有 tank 2k1.1 k1k 22若方程组无解l1 / l 2 ；若方程组有无数解l1 与 l 2 重合6. 点的坐标与直线方程的关系几何元素

8、代数表示点 P坐标 P(xo， yo)直线 l方程 A x+B y+C= 0点 P(xo， yo)在直线 l 上坐标 (x0 , y0 ) 满足方程： A x+By+C= 0点 P(x ， y、 l的交点A 1 xB1 yC 10坐标 (xo， yo)满足方程组oo )是 l12A 2 xB2 yC 207. 两条直线的位置关系的判定公式A1 B2 A 2B1 0方程组有唯一解两直线相交A 1B2A2B10B1C2B2C 10,无解两直线平行或 A 1C2A2C1 0A1B2A 2B10B1C2B2 C10有无数个解两直线重合或 A1C2A2C1= 0两条直线垂直的判定条件：当 A 1、B 1

9、、A 2 、B2 满足时 l 1 l2。答： A 1A 2+B 1B2=0经典例题；例 1.已知两直线 l1： x+(1+ m) y = 2m 和 l2： 2mx+4 y+16= 0， m 为何值时 l 1 与 l2相交平行解：例 2. 已知两直线l1： (3a+2) x+(1 4a) y + 8= 0 和 l 2：(5a 2)x+(a+4)y 7=0 垂直，求a 值解：例 3.求两条垂直直线 l 1：2x+ y +2= 0 和 l 2： mx+4y 2= 0 的交点坐标解：例 4.已知直线 l 的方程为 y1 x 1，2(1)求过点（ 2， 3）且垂直于l 的直线方程；(2) 求过点（ 2，

10、 3）且平行于l 的直线方程。8. 两点间距离公式： 设 A( x1， y1)、 B( x2， y2)是平面直角坐标系中的两个点，则 |AB|= ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 )29.点到直线距离公式：| Axo Byo C |一点 P(xo， yo)到直线 l： A x+By+C = 0 的距离 dB 2A 210.两平行直线距离公式例：已知两条平行线直线l1 和 l2 的一般式方程为l 1：A x+B y+C 1= 0， l 2： Ax+By+C2= 0，则 l 1 与 l2 的距离为 dC1C2A2B2例 1：求平行线l1： 3x+ 4y 12= 0 与 l 2： ax+8y+

11、11= 0 之间的距离。例 2：已知平行线l 1： 3x+2y 6= 0 与 l 2： 6x+4 y 3= 0，求与它们距离相等的平行线方程。11. 直线系方程已知两条直线l1： A 1x+B1y+C1= 0， l 2： A 2x+B 2y+C2= 0， (A 1 与 B1 及 A 2 与 B 2 都不同时为零 )若两直线相交，则过它们的交点直线方程可以表示为：l： A 1x+B1y+C1+ (A 2x+B 2y+C2) = 0 或者 (A 1x+B 1y+C1)+ A 2x+B 2y+C2=0都可以例 1：直线 l ： (2m+1) x+(m+1) y 7m 4= 0 所经过的定点为。 (m

12、 R)例 2：求满足下列条件的直线方程(1)经过点 P(2，3)及两条直线 l 1： x+3y 4= 0 和 l2： 5x+2y+ 1= 0 的交点 Q；(2)经过两条直线l 1： 2x+y 8= 0 和 l 2： x 2y+ 1= 0 的交点且与直线 4x3y7= 0 平行；(3)经过两条直线l 1： 2x 3y+10= 0 和 l 2： 3x+4 y2= 0 的交点且与直线3x2y+4= 0 垂直；解：12. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1， y1) 、P1(x1， y1)，则线段的中点M 坐标为 ( x1x2 ， y1y2 )22例 .已知点 A(7 ， 4)、 B( 5,6),求线

13、段 AB 的垂直平分线的方程。13、对称问题：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等 .若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线 y x b 对称的解法： y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x 2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x 2)=0.曲线

14、C: f(x ,y)=0 关于点 (a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0 .例 1：已知直线 l： 2x3y+1=0 和点 P( 1， 2).(1) 分别求：点 P( 1， 2)关于 x 轴、 y 轴、直线 y=x 、原点 O 的对称点 Q 坐标(2) 分别求：直线l ：2x 3y+1=0 关于 x 轴、 y 轴、直线y=x 、原点 O 的对称的直线方程.(3) 求直线 l 关于点 P( 1， 2)对称的直线方程。(4) 求 P( 1， 2) 关于直线 l 轴对称的直线方程。例 2：点 P( 1， 2)关于直线l ： x+y 2= 0 的对称点的坐标为。例 3：已知圆 C1：

15、(x+ 1)2+ (y1)2= 1 与圆 C2 关于直线 xy 1=0 对称，则圆C2 的方程为：。A. (x+2) 2+( y2) 2= 1 B. (x2)2+ (y+ 2)2= 1 C. ( x+2) 2+ (y+ 2)2= 1 D. (x2)2+ (y2)2= 1 基础训练 A 组一、选择题1设直线 ax byc0 的倾斜角为，且 sincos0，则 a, b 满足（）A ab1B ab1C ab0D ab02过点 P(1,3) 且垂直于直线 x 2 y3 0的直线方程为（）A 2x y 1 0B 2x y 5 0C x 2 y 5 0D x 2 y 7 03已知过点 A(2, m) 和

16、 B(m,4) 的直线与直线2xy 10平行，则 m 的值为（）A 0B8C 2D 104已知 ab0,bc0 ，则直线 ax by c通过（）A 第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D 第二、三、四象限5直线 x1的倾斜角和斜率分别是（）A 450,1B1350 , 1C 900 ，不存在D 1800 ，不存在6若方程(2m2m3)x(m2m) y4m 1 0表示一条直线，则实数m 满足（）A m 0B m323C m 1D m1， m， m 02二、填空题1点 P(1,1) 到直线 xy 10 的距离是 _.2已知直线 l1 : y2x3,若 l 2 与 l1 关于 y 轴

17、对称，则 l 2 的方程为 _;若 l3 与 l1 关于 x 轴对称，则 l 3 的方程为 _;若 l 4 与 l1 关于 y x 对称，则 l 4 的方程为 _;3若原点在直线l上的射影为(2, 1) ，则l的方程为_ 。4点P( x, y) 在直线xy40 上，则x2y2 的最小值是_.5直线l 过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4), D (5,0)，则直线l的方程为_ 。三、解答题1已知直线AxByC0 ，（ 1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（ 2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（ 3）系数满足什么条件时只与x 轴相交；（ 4）系数满足什么条件

18、时是x 轴；（ 5）设 P x0 ， y0 为直线 Ax ByC0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A x x0B yy00 2求经过直线 l1 : 2x 3 y 50, l 2 : 3x2y 30的交点且平行于直线 2x y 3 0的直线方程。3经过点A(1,2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。4过点 A( 5, 4) 作一直线 l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5 （数学 2 必修）第三章直线与方程 综合训练 B 组一、选择题1已知点 A(1,2), B(3,1) ，则线段 AB 的垂直平分线的方程是（）A 4x 2 y 5B

19、4 x 2 y 5C x 2 y 5D x 2y 52若 A( 2,3), B(3,2), C ( 1 , m) 三点共线则 m 的值为（）2 11 2 222xy1 在 y 轴上的截距是（）3直线b2a2A bB b2C b2D b4直线 kxy13k ，当 k 变动时，所有直线都通过定点（）A (0,0)B (0,1)C (3,1)D (2,1)5直线 x cosy sina 0 与 x siny cosb 0 的位置关系是（）A 平行B垂直C斜交D与 a,b,的值有关6两直线 3xy30 与 6xmy10 平行，则它们之间的距离为（）A 4B2C513D 713261013207已知点

20、A(2,3), B(3, 2) ，若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（）33k 2C k 2或k3A kBD k 2444二、填空题1方程 xy 1所表示的图形的面积为 _。2与直线 7x24 y5 平行，并且距离等于 3 的直线方程是 _。3已知点 M ( a, b) 在直线 3x4 y15 上，则a 2b2 的最小值为4将一张坐标纸折叠一次，使点(0, 2) 与点 (4,0) 重合，且点 (7,3)与点 (m, n) 重合，则 m n的值是 _ 。设 abk (k0, k为常数 ) ，则直线 axby1恒过定点三、解答题1求经过点A(

21、2, 2) 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。2一直线被两直线l 1 : 4xy60, l 2 : 3x5 y60 截得线段的中点是P 点，当 P 点分别为 (0, 0) ， (0,1) 时，求此直线方程。3、把函数 yf x 在 xa 及 xb 之间的一段图象近似地看作直线，设a c b ，证明： fc 的近似值是：f acaf b f a ba4直线 y3A, B ，在线段 AB 为边在第一象限内作等边x 1和 x 轴， y 轴分别交于点3ABC ，如果在第一象限内有一点P( m, 1 ) 使得 ABP 和 ABC 的面积相等，2求 m 的值。（数学 2 必修）第三章直线与

22、方程 提高训练 C组一、选择题1如果直线 l 沿 x 轴负方向平移3 个单位再沿y 轴正方向平移 1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（）1B3C1D 3A 332若 P a， b 、 Q c， d都在直线 ymxk 上，则 PQ 用 a、c、m表示为（）A a c 1 m2B m a c CacD a c 1 m21m23直线 l 与两直线 y 1和 xy70 分别交于 A, B 两点，若线段 AB 的中点为M (1, 1) ，则直线 l 的斜率为（）32C3D 2A B232中，点3AB的中点为重心为）4 ABCA(4,1) ,M (3,2)P(4, 2)，则边 BC 的长为

23、（,A 5B 4C 10D 85下列说法的正确的是（）A 经过定点 P0 x0 ， y0的直线都可以用方程yy0k x x0表示B 经过定点 A 0，b 的直线都可以用方程ykxb 表示C不经过原点的直线都可以用方程xy1 表示abD 经过任意两个不同的点P1x1， y1 、P2x2，y2的直线都可以用方程y y1 x2x1x x1 y2y1 表示6若动点 P 到点 F (1,1)和直线 3x y40 的距离相等，则点P 的轨迹方程为（）A 3x y 6 0B x 3y 2 0C x3 y20D 3xy20二、填空题1已知直线 l1 : y2x 3, l 2 与 l1 关于直线 yx 对称，直

24、线 l 3 l 2 ，则 l 3 的斜率是 _.2直线 x y1 0 上一点 P 的横坐标是 3，若该直线绕点 P 逆时针旋转900 得直线 l ，则直线 l 的方程是3一直线过点M (3,4) ，并且在两坐标轴上截距之和为12 ，这条直线方程是 _4若方程 x 2my22x 2 y0 表示两条直线，则m 的取值是5当 0 k1y k 1、 kyx2k 的交点在象限时，两条直线 kx2三、解答题1经过点 M (3,5) 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？2求经过点P(1,2) 的直线，且使A(2,3) ， B(0,5) 到它的距离相等的直线方程3已知点 A(1,1)， B(2, 2)

25、，点 P 在直线 y221 x 上，求 PAPB 取得2最小值时 P 点的坐标。4求函数f (x)x22x2x24x8 的最小值。第三章直线和方程答案 基础训练 A 组一、选择题1.Dtan1,ka1,ab, ab01,b2.A设 2x y c0, 又过点 P(1,3)，则23c0, c1 ，即 2x y 1 03.B k4 m2, m84.C ya xc , ka0, c0m 2bbbb5.Cx1垂直于 x 轴，倾斜角为900 ，而斜率不存在6.C2m2m3,m2m不能同时为 0二、填空题1.32d1( 1 )1 3 22222.l2 : y2x3,l3 : y2x3,l4 : x2 y3,

26、3. 2xy50k'1012 , y( 1 )2x(2 )20, k24.8x2y2 可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：d42 225.y2 x平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点 (3, 2)3三、解答题1.解：（ 1）把原点 (0,0)代入 Ax ByC 0，得C0 ；（ 2）此时斜率存在且不为零即 A0 且 B0 ；（ 3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即 B0 且 C0 ；（4） AC0,且 B0（ 5）证明：P x0， y0 在直线 Ax By C 0 上Ax0By0C0,CAx0By0A xx0Byy00 。2x3y50x1913 ，再设

27、2xy c0 ，则 c472.解：由，得3x2 y3013y9132xy470 为所求。133.解：当截距为0 时，设 ykx ，过点 A(1,2) ，则得 k2，即 y2x ；当截距不为 0时，设 xy1,或xy1,过点 A(1,2)，aaaa则得 a3，或 a1 ，即 x y3 0 ，或 x y 1 0这样的直线有3 条： y2x ， xy30 ，或 x y10 。4. 解：设直线为 y4k ( x5), 交 x 轴于点 ( 45,0)，交 y 轴于点 (0,5 k4) ，kS1455k45, 401625k102kk得 25k 230k160 ，或 25k 250 k160解得 k2 ,

28、 或k8552x5 y10 0 ，或 8x5 y200 为所求。第三章 直线和方程 综合训练 B 组一、选择题1.B线段 AB 的中点为 (2, 3), 垂直平分线的 k2 ， y32( x2), 4x2 y 5 0222.A k ABkBC, 2 3 m 2 , m13213223.B令 x0, 则 yb24.C由 kxy13k 得 k( x3)yx301 对于任何 k R 都成立，则10y5.Bcossinsin( cos )06.D把 3xy30 变化为 6x2 y61(6)7 100 ，则 d6222207.C kPA2, kPB3 , klkPA , 或 klkPB4二、填空题1.

29、2方程 xy1所表示的图形是一个正方形，其边长为22. 7x24 y700 ，或 7 x24 y800设直线为c5或7x 24yc0,d242723,c70,803. 3a 2b 2的最小值为原点到直线3x4 y15 的距离： d15445点 (0, 2)与点 (4,0)关于 y12( x2) 对称，则点 (7,3)与点 (m, n)45n31m72)m2322(5也关于 y12( x2) 对称，则2，得n3121nm7255.(1,1)axby1变化为 ax(ka) y1,a( x y)ky 10,kk对于任何 aR 都成立，则xy0ky10三、解答题1.解：设直线为 y2k (x2), 交 x 轴于点 (22,0) ，交 y 轴于点 (0,2 k 2) ，kS1222k222k12k1, 4k得2k23k20，或 2k 25k20解得 k1 , 或 k2x3 y2 0 ，或 2xy2 0 为所求。22.解：由4xy60得两直线交于24182418AP3x5 y60(,) ，记为 A(,) ，则直线23232323垂直于所求直线 l ，即 kl4，或 kl2435424x ，或 y1x ，即 4x 3 y0，或 24