线面角的求法总结.

1、线面角的三种求法1直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段， 垂线段， 斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例 1 （ 如图 1 ）四面体 ABCS 中，SA,SB,SC两两垂直， SBA=45° , SBC=60°,M为AB 的中点，求（1） BC 与平面 SAB 所成的角。（ 2）SC 与平面 ABC 所成的角。解: （ 1） SC SB,SC SA,CHSBMA图 1 SC平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影， SBC 是直线 BC 与平面

2、SAB 所成的角为 60°。（ 2） 连结 SM,CM ，则 SMAB,又 SC AB, AB 平面 SCM,面 ABC 面 SCM过 S 作 SH CM 于 H,则 SH平面 ABC CH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。 SCH 为 SC与平面 ABC 所成的角。sin SCH=SH SC SC 与平面ABC所成的角的正弦值为77（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC的斜线 . 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是： 先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。 ）2. 利用公式 sin =h 其中 是斜线与平面所成的

3、角，h是 垂线段的长， 是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点， 为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2（如图2）长方体 ABCD-A 1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4，求 AB 与面 AB 1 C1DDC32AB4HD 1C 1A1B 1所成的角的正弦值。解：设点B 到 AB 1C1D 的距离为h, V B AB 1C1 =V A BB 1C1 13 S AB 1C1·h= 13SBB 1C1·AB ，易得 h=12 5设 AB 与 面 A B 1C1D 所成的角为 , 则 sin=hAB=4 5图23.

4、 利用公式 cos =cos 1·cos 2已知，如图，AO 是平面的斜线，A 是斜足， OB 垂直于平面， B 为垂足，则直线 AB 是斜线在平面内的射影。 设 AC 是平面内的任意一条直线，且BCAC ，垂足为 C ，又设 AO 与 AB 所成角为1 ， AB 与 AC 所成O角为2 ， AO 与 AC 所成角为，则易知：| AB | | AO | cos 1 ， | AC | | AB | cos 2| AO | cos 1 cos 2又 | AC | | AO |cos，可以得到： cosAcos 1 cos 2 ，注意： 2 (0,)2B12C易得： coscos 1又 ,

5、 1(0, ) 即可得：12则可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（最小角定理）例 3（如图 4） 已知直线OA,OB,OC两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值。解： AOB= AOC OA 在面 OBC 内的射影在BOC 的平分线 OD 上，则 AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的角，可知 DOC=30° ,cosAOC=cos AOD· cos DOC cos60°=cosAOD· cos30° cos AOD=3 3 OA 与 面

6、 OBC 所成的角的余弦值为3 3。AB ODC图 4练习 如图，在正方体AC1 中，求面对角线A1B 与对角面 BB1D1 D 所成的角。解（法一）连结 AC与BD 交于O，连结 OB ，1111 DD1AC11 ， B1D1AC1 1 ， AO1平面 BB1D1D ，D1C1 A1 BO 是 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角，OA1在Rt A1 BO中，1，A1BO 30B1A1O2 A1B（法二）由法一得A1 BO 是 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角，D2B1 B6C又 cos A BBcos45B BO， cos，1121BO3ABcosA1 BB123 ， ABO

7、cosA1 BO230 cosB1 BO6213【基础知识精讲】1. 直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系：(1) 直线在平面内直线上的所有点在平面内，根据公理1，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内.直线 a 在平面 内，记作 a .(2) 直线和平面相交直线和平面有且只有一个公共点.记作 a A(3) 直线和平面平行如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行 . 记作 a .直线和平面相交或平行两种情况统称直线在平面外，记作a .2. 直线和平面平行的判定判定如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直

8、线和这个平面平行 .( 简记“线线平行，则线面平行”)即a b,a， ba 证明直线和平面平行的方法有：依定义采用反证法利用线面平行的判定定理面面平行的性质定理也可证明3. 直线和平面平行的性质定理性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，条直线就和交线平行( 简记为“线面平行，线线平行”).即a ,a ， ba b.这为证线线平行积累了方法：排除异面与相交公理 4线面平行的性质定理那么这【重点难点解析】本节重点是直线与平面的三种位置关系， 直线和平面平行的判定和性质， 难点是直线和平面平行的性质的应用 .例 1 如图， ABCD和 ABEF均为平行四边形， M为对角线

9、 AC上的一点， N 为对角线 FB 上的一点，且有 AM FN ACBF，求证： MN平面 CBE.分析 ：欲证MN平面CBE，当然还是需要证明MN平行于平面题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.证：连 AN并延长交BE的延长线于P.BE AF，BNPFNA.CBE内的一条直线才行 . 由比例关系的变通， 才，则.即.又，. MN CP，CP 平面 CBE. MN平面 CBE.例 2 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行已知： a,l ,l . 求证： l a.分析 ：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线

10、面平行，定和性质 .证明 ：过 l 作平面交 于 b. l ，由性质定理知l b.过 l 作平面交 于 c. l ，由性质定理知l c.b c，显然 c . b .反复应用线面平行的判又b ， =a，ba.又l b. l a.评注 ：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.例 3如图，在正四棱锥SABCD中， P 在 SC上， Q在 SB 上， R 在 SD上，且 SP PC 1 2， SQ SB 2 3， SRRD 21. 求证： SA平面 PQR.分析 ：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQR内找一条直线与AS 平行即可 .证：连 AC、BD，设交于 O，连

11、SO，连 RQ交 SO于 M，取 SC中点 N，连 ON，那么 ON SA. RQBD 而PM ON SAON. SA PM,PM 平面 PQR SA平面 PQR.评析 ：利用平几中的平行线截比例线段定理.三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.例 4证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.证明如图，设直线a平面 ，点 A ,A 直线b,b a，欲证 b . 事实上，b a，可确定平面 ， 与 有公共点 A， ，B 交于过 A 的直线 c， a , a c，从而在 上有三条直线，其中 b、 c 均过点 A 且都与 a 平行 . 于是 b、 c 重合

12、，即 b .【难题巧解点拨】例 1 S 是空间四边形 ABCD的对角线 BD上任意一点， E、F 分别在 AD、CD上，且 AE AD CF CD， BE 与 AS相交于 R， BF 与 SC相交于 Q.求证： EF RQ.证在ADC中，因 AE AD CF CD，故 EFAC，而 AC平面 ACS，故 EF平面 ACS.而 RQ平面 ACS平面 RQEF，故 EFRQ(线面平行性质定理).例 2 已知正方体 ABCD A B C D中，面对角线 AB、 BC上分别有两点 E、 F 且 B E C F 求证： EF平面 AC.分析如图，欲证EF平面 AC，可证与平面AC内的一条直线平行，也可以

13、证明所在平面与平面AC平行 .证法 1过 E、 F 分别做 AB、 BC的垂线 EM、 FN交 AB、BC于 M、N，连接 MN BB平面ACBB AB， BB BCEF EMAB， FNBC EMFN， AB BC， B E C F AEBF 又 B AB C BC 45° Rt AME Rt BNF EMFN四边形 MNFE是平行四边形 EFMN又 MN 平面 AC EF平面 AC证法 2过 E作 EGAB交 BB于 G，连 GF B E C F，B A C BFG B C BC又 EG FG G,AB BCB平面 EFG平面 AC又 EF 平面 EFG EF平面 AC例 3如图

14、，四边形 EFGH为四面体A BCD的一个截面， 若截面为平行四边形，求证：(1)AB 平面 EFGH；(2)CD 平面 EFGH证明： (1) EFGH为平行四边形，EF HG， HG 平面 ABD， EF平面 ABD. EF 平面 ABC，平面 ABD平面 ABC AB. EFAB， AB平面 EFGH.(2) 同理可证： CD EH， CD平面 EFGH.评析： 由线线平行线面平行线线平行 .【课本难题解答】1. 求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.已知： a b,a A，求证： b 和 相交 .证明： 假设 b 或 b .若 b， b a， a .这

15、与 a A 矛盾， b 不成立 .若 b ，设过 a、 b 的平面与 交于 c. b , b c, 又 a b a c a 这与 a A 矛盾 . b 不成立 . b 与 相交 .2. 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条， 那么它们的交线和这条直线平行 .已知： a b,a求证： c a b， b ， c.【命题趋势分析】本节主要掌握直线和平面的位置关系的判定，直线与平面平行的证明与应用，中常考的内容，难度适中，因此学习好本节内容至关重要.它是高考【典型热点考题】例 1在下列命题中，真命题是()A. 若直线 m、 n 都平行平面 ，则 m n;B. 设 l 是直二面角，若直线m

16、 l ，则 m n，m ；C. 若直线 m、n 在平面 内的射影是一个点和一条直线，且m n，则n 在 内或n 与 平行；D. 设 m、 n 是异面直线，若m和平面 平行，则 n 与 相交 .解对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而B 中故不正确；对D 来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确；应选C.A 不正确；平面m不一定在 内，例 2设 a、 b 是两条异面直线，在下列命题中正确的是(A. 有且仅有一条直线与a、 b 都垂直B. 有一平面与a、 b 都垂直C. 过直线 a 有且仅有一平面与b 平行D. 过空间中任一点必可作一条直线与a、 b 都相交解因为与异面直线a、 b 的公垂线平行的直线有无数条，所以a、b 都垂直，则ab 不可能，所以B 不对 . 若空间的一点与直线a( 或)A 不对；若有平面与b) 确定的平面与另一条直线