选修空间向量与立体几何题库

1、选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 题库2.1 空间向量及其运算 练习题1.（2002上海春，13）若a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是（ ）A.（a+b）+c=a+（b+c） B.（a+b）·c=a·c+b·cC.m（a+b）=ma+mb D.（a·b）c=a（b·c）2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（1，3），若点C满足，其中、R，且+=1，则点C的轨迹方程为（ ）A.3x+2y11=0 B.（x1）2+（y2）2=5C.2xy=0 D.x+2y5=03.（20

2、01上海）如图51，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b，=c.则下列向量中与相等的向量是（ ）A.a+b+cB. a+b+cC. ab+cD.ab+c4.（2001江西、山西、天津理，5）若向量a=（1，1），b=（1，1），c=（1，2），则c等于（ ）A.a+b b. ab C. ab D.a+b5.(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（a·b）c（c·a）b=0 |a|b|<|ab| （b·c）a（c·a）b不与c垂直（3a+2b）（3a2b）=9|a|2

3、4|b|2中，是真命题的有（ ）A. B. C. D.6. 设分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系。（1）=（2，3，1），=（6，9，3）；（2）=（5，0，2），=（0，4，0）；（3）=（2，1，4），=（6，3，3）7. 设分别是平面、的法向量，根据下列条件判断、的位置关系：（1）=（1，1，2），=（3，2，）；（2）=（0，3，0），=（0，5，0）；（3）=（2，3，4），=（4，2，1）。8. 已知点A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一个单位法向量。9. 若直线l的方向向量是=（1，2，2），平面的法向量是=（1

4、，3，0），试求直线l与平面所成角的余弦值。10. （2010年浙江理6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（A）若，则 （B）若，则（C）若，则 （D）若，则空间向量及其运算 练习题 答案1.答案：D解析：因为（a·b）c=|a|·|b|·cos·c而a（b·c）=|b|·|c|·cos·a而c方向与a方向不一定同向.评述：向量的积运算不满足结合律.2.答案：D解析：设=（x，y），=（3，1），=（1，3），=（3，），=（，3）又+=（3，+3）（x，y）=（3，+3），又+=1 因此可得x

5、+2y=5评述：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法.3.答案：A解析：=c+（a+b）=a+b+c评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.4.答案：B解析：设c=ma+nb，则（1，2）=m（1，1）+n（1，1）=（m+n，mn）. 评述：本题考查平面向量的表示及运算.5.答案：D解析：平面向量的数量积不满足结合律.故假；由向量的减法运算可知|a|、|b|、|ab|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（b·c）a（c·a）b·c=（b&

6、#183;c）a·c（c·a）b·c=0，所以垂直.故假；（3a+2b）（3a2b）=9·a·a4b·b=9|a|24|b|2成立.故真.评述：本题考查平面向量的数量积及运算律.6. 解：（1），=（6，9，3），l1/l2（2）=（5，0，2），=（0，4，0），l1l2（3）（2，1，4，），=（6，3，3）不共线，也不垂直l1与l2的位置关系是相交或异面7. 解：（1）=（1，1，2），=（3，2，） （2）=（0，3，0），=（0，5，0）（3）=（2，3，4），=（4，2，1）既不共线、也不垂直，与相交点评：应熟练掌握利用向

7、量共线、垂直的条件。8. 解：由于A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），=（3，4，0），=（3，0，5）设平面ABC的法向量为（x，y，z）则有即取z=1，得，于是=（），又平面的单位法向量是9. 分析：如图所示，直线l与平面所成的角就是直线l与它在平面内的射影所成的角，即ABO，而在RtABO中，ABO=BAO，又BAO可以看作是直线l与平面的垂线所成的锐角，这样BAO就与直线l的方向向量a与平面的法向量n的夹角建立了联系，故可借助向量的运算求出BAO，从而求出ABO，得到直线与平面所成的角。解：=（1，2，2，），=（1，3，0），若设直线l与平面所成的角是则有因此，即直

8、线l与平面所成角的余弦值等于。10. 解析：选B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题2.2. 立体几何中的向量方法 练习题1. 如图，在正方体中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点。求证：A1O平面GBD。2. （2004年天津）如图（a）所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。（1）证明：PA/平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成角的正切值。3. 正方体中，E、F分别是、的中点，求：（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（

9、2）二面角CAEF的余弦值的大小。4. 已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，H是EF与AC的交点，CG面ABCD，且CG=2。求BD到面EFG的距离。5. 如图（a）所示，在正方体中，M、N分别是、的中点。求证：（1）MN/平面；（2）平面。图526.（2003上海春，19）已知三棱柱ABCA1B1C1，在某个空间直角坐标系中，=0，0，n.（其中m、n>0）.如图52.（1）证明：三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱；（2）若m=n，求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小.7.（2002上海春，19）如图53，三棱柱OABO1A1B1，平面OBB1O1平面OA

10、B，O1OB=60°，AOB=90°，且OB=OO1=2，OA=.求：（1）二面角O1ABO的大小；（2）异面直线A1B与AO1所成角的大小.（上述结果用反三角函数值表示）8.（2002上海，17）如图54，在直三棱柱ABOABO中，OO=4，OA=4，OB=3，AOB=90°，D是线段AB的中点，P是侧棱BB上的一点，若OPBD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）图53 图54 图559.（2002天津文9，理18）如图55，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a.（1）建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；（

11、2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角.10.（2002天津文22，理21）已知两点M（1，0），N（1，0），且点P使成公差小于零的等差数列.（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（x0，y0），为与的夹角，求tan.立体几何中的向量方法 练习题 答案1.证明：设，则而同理，又，面GBD。2（1）证明：如图（b）所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点设DC=a，连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得A（a，0，0），P（0，0，a），E（0，）底面ABCD是正方形G是此正方形的中心故点G的坐标为（，0）=（a，0，a），=（，0，），这表明PA/EG而EG平面EDB，且PA平面ED

12、BPA/平面EDB（2）解：依题意得B（a，a，0），C（0，a，0）如图（b）取DC的中点F（0，0），连结EF、BF=（0，0， ），=（a，0），=（0，a，0），FEFB，FEDC。tanEBFEB与底面ABCD所成角的正切值为3. 解：不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由=（1，0，2），=（1，1，2），得，=104=3又，所求值为（2）=（0，1，0）=（1，0，2）·（0，1，0）=0AEEF，过C作CMAE于M则二面角CAEF的大

13、小等于M在AE上，则=（m，0，2m），=（2，2，0）（m，0，2m）=（m2，2，2m）MCAE=（m2，2，2m）·（1，0，2）=0，=（0，1，0）·（，2，）=020=2又二面角CAEF的余弦值的大小为4. 分析：因BD/平面EFG，故O到面EFG与BD到面EFG距离相等，证明OM垂直于面EFG即可。解：如图所示，分别以CD、CB、CG所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系。易证BD/面EFG，设=O，EF面CGH，O到面EFG的距离等于BD到面EFG的距离，过O作OMHG于M，易证OM面EFG，可知OM为所求距离。另易知H（3，3，0），G（0，0，2），O

14、（2，2，0）。设，=（3，3，2）则又，即BD到平面EFG的距离等于5（1）证法一：如图（b）所示，以D为原点，DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M（0，1，），N（，1，1，），D（0，0，0），（1，0，1），B（1，1，0），于是=（，0，）。设平面的法向量是（x，y，z）则，得取x=1，得，=（1，1，1）又=（，0，）·（1，1，1）=0，MN/平面证法二：，证法三：即线性表示，故是共面向量/平面A1BD，即MN/平面A1BD。（2）证明：由（1）求得平面的法向量为=（1，1，1）同理可求平面B1D1C的法向量=（1

15、，1，1）平面A1BD/平面B1D1C6（1）证明：，| |=m，又|=m，|=m，ABC为正三角形.又·=0，即AA1AB，同理AA1AC，AA1平面ABC，从而三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱.（2）解：取AB中点O，连结CO、A1O.COAB，平面ABC平面ABB1A1，CO平面ABB1A1，即CA1O为直线CA1与平面A1ABB1所成的角.在RtCA1O中，CO=m，CA1=，sinCA1O=，即CA1O=45°.图5157.解：（1）取OB的中点D，连结O1D，则O1DOB.平面OBB1O1平面OAB，O1D平面OAB. 过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E.

16、则O1EAB.DEO1为二面角O1ABO的平面角.由题设得O1D=，sinOBA=，DE=DBsinOBA=在RtO1DE中，tanDEO1=，DEO1=arctan，即二面角O1ABO的大小为arctan.（2）以O点为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图515.则O（0，0，0），O1（0，1，），A（，0，0），A1（，1，），B（0，2，0）.设异面直线A1B与AO1所成的角为，则，cos=，异面直线A1B与AO1所成角的大小为arccos.图5168.解法一：如图516，以O点为原点建立空间直角坐标系.由题意，有B（3

17、，0，0），D（，2，4），设P（3，0，z），则=，2，4，=3，0，z.BDOP，·=+4z=0，z=.BB平面AOB，POB是OP与底面AOB所成的角.tanPOB=，POB=arctan.解法二：取OB中点E，连结DE、BE，如图517，则DE平面OBBO，BE是BD在平面OBBO内的射影.又OPBD.由三垂线定理的逆定理，得OPBE.在矩形OBBO中，易得RtOBPRtBBE，得BP=.（以下同解法一）图518图5179.解：（1）如图518，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角

18、坐标系.由已知，得A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0， a），C1（）.（2）坐标系如图，取A1B1的中点M，于是有M（0， a），连AM，MC1有=（a，0，0），且=（0，a，0），=（0，0， a）由于·=0，·=0，所以MC1面ABB1A1.AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.=（），=（0，a），·=0+2a2=a2.而|=.|=.cos，=.所以与所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.10.解：（1）记P（x，y），由M（1，0），N（1，0）得=（1x，y），=（1x，y），=（2，0）&

19、#183;=2（1+x），·=x2+y21，·=2（1x）.于是，·，·，·是公差小于零的等差数列等价于即所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.（2）点P的坐标为（x0，y0）.·=x02+y021=2.|·|=.cos=第三章 空间向量与立体几何 练习题1.（2001江西、山西、天津理）如图56，以正四棱锥VABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.（1）求cos< >；（2）记面BCV为，面DCV为，若BED是二面

20、角VC的平面角，求BED.图56 图57 图582.（2001上海春）在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D.（1）求证：A1C平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小.（用反三角函数值表示）3.（2001上海）在棱长为a的正方体OABCOABC中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.如图58.（1

21、）求证：AFCE.（2）当三棱锥BBEF的体积取得最大值时，求二面角BEFB的大小（结果用反三角函数表示）4.（2000上海春，21）四棱锥PABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， =2，1，4，=4，2，0，=1，2，1.（1）求证：PA底面ABCD；（2）求四棱锥PABCD的体积；（3）对于向量a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2，c=x3，y3，z3，定义一种运算：（a×b）·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算（×）·的绝对值的值；说明其与四棱锥PABCD体积的关系，并由此猜想向量这一

22、运算（×）·的绝对值的几何意义.5.（2000上海，18）如图59所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos，求四面体ABCD的体积.图59 图510 图5116.（2000天津、江西、山西）如图510所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos< >的值；（3）求证：A1BC1M.7.（2000全国理，18）如图511，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面

23、ABCD是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60°.（1）证明：C1CBD；（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为，面CBD为，求二面角BD的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明.图5128.（1999上海，20）如图512，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90°，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30°角.（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的大小.图5139.（1995上海，21）如图513在空间直角坐标系中BC=2，原

24、点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且BDC=90°，DCB=30°.（1）求向量的坐标；（2）设向量和的夹角为，求cos的值.10.(2009年福建理7)设m，n是平面 内的两条不同直线，是平面 内的两条相交直线，则/ 的一个充分而不必要条件是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.m / 且l / B. m / l 且n / lC. m / 且n / D. m / 且n / l11.（2009年辽宁理11)正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（A）1：1（B）1：2（C）2：1（D）3：2

25、12.(2009年浙江理5)在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是( )A B 学网C D13.(2007年海南理12)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则（）14.(2010年全国理18)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点（1） 证明：PEBC（2） 若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

26、15.（2010年北京理16）（本小题共14分） 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。16.（2010年浙江理20）（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。17,（2009年山东理18）（本小题满分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形

27、，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1） 证明：直线EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18.(2009年福建理17)（13分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且MD=NB=1，E为BC的中点（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19.(2009年辽宁理 18 ) （本小题满分12分）如图，己知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平

28、面内，M，N分别为AB , DF的中点。（1）若平面ABCD平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。2009042320（2009年浙江理20）（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离21.(2009年上海理19)（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，,求二面角的大小。22.(2008年山东理20)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点（）证明：；（）若为上的动点，与平面所成最大角的

29、正切值为，求二面角的余弦值PBECDFA23.(2008年江苏22)记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记当为钝角时，求的取值范围ABCDEF24. (2007年海南理18)（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值空间向量与立体几何 练习题 答案1.解：（1）由题意知B（a，a，0），C（a，a，0），D（a，a，0），E（）.由此得，.由向量的数量积公式有cos< >（2）若BED是二面角VC的平面角，则，则有0.又由C（a，a，0），V（0，0，h），有（a，a，h）且，.即ha，这时有cos<>

30、;，BED<>arccos（）arccos评述：本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.2.（1）证明：因为CB平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影为A1B.由A1BAE，AE平面A1B，得A1CAE.同理可证A1CAF.因为A1CAF，A1CAE，图519所以A1C平面AEF.（2）解：过A作BD的垂线交CD于G，因为D1DAG，所以AG平面D1B1BD.设AG与A1C所成的角为，则即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角.由已知，计算得DG=.如图519建立直角坐标系，则得点A（0，0，0

31、），G（，3，0），A1（0，0，5），C（4，3，0）.AG=，3，0，A1C=4，3，5.因为AG与A1C所成的角为，所以cos=.由定理知，平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小为arccos.注：没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.解法一：设AG与BD交于M，则AM面BB1D1D，再作ANEF交EF于N，连接MN，则ANM即为面AEF与D1B1BD所成的角，用平面几何的知识可求出AM、AN的长度.解法二：用面积射影定理cos=.评述：立体几何考查的重点有三个：一是空间线面位置关系的判定；二是角与距离的计算；三是多面体与旋转体中的计算.3.建立坐标系，如图520.（1

32、）证明：设AE=BF=x，则A（a，0，a），F（ax，a，0），C（0，a，a），E（a，x，0）=x，a，a，=a，xa，a.·=xa+a（xa）+a2=0AFCE（2）解：设BF=x，则EB=ax三棱锥BBEF的体积V=x（ax）·a（）2=a3当且仅当x=时，等号成立.因此，三棱锥BBEF的体积取得最大值时BE=BF=，过B作BDEF于D，连BD，可知BDEF.BDB是二面角BEFB的平面角在直角三角形BEF中，直角边BE=BF=，BD是斜边上的高.BD=a.tanBDB=故二面角BEFB的大小为arctan2.评述：本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条

33、件.二次函数求最值或均值不等式求最值，二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于·=0，使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法，计算较简单，有一定的思维量.4.（1）证明：=22+4=0，APAB.又=4+4+0=0，APAD.AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，AP底面ABCD.（2）解：设与的夹角为，则cos=V=|·|·sin·|=（3）

34、解：|（×）·|=|43248|=48它是四棱锥PABCD体积的3倍.猜测：|（×）·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.图5215.解：如图521建立空间直角坐标系由题意，有A（0，2，0）、C（2，0，0）、E（1，1，0）设D点的坐标为（0，0，z）（z>0）则=1，1

35、，0，=0，2，z，设与所成角为.则·=·cos=2，且AD与BE所成的角的大小为arccos.cos2=，z=4，故|BD|的长度为4.又VABCD=|AB|×|BC|×|BD|=，因此，四面体ABCD的体积为.评述：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具，利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便.图5226.解：如图522，建立空间直角坐标系Oxyz.（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）| |=.（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0

36、，0）、B1（0，1，2）=1，1，2，=0，1，2，·=3，|=，|=cos<，>=.（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），=1，1，2，=，0.·=+0=0，A1BC1M.评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.7.（1）证明：设=a，=b，=c，则|a|=|b|，=ba，·=（ba）·c=b·ca·c=|b|·|c|cos60°|a|·|c|cos60°=0，C1CBD.（2）解：连AC、BD，设ACBD=O，连OC1，则

37、C1OC为二面角BD的平面角.（a+b），（a+b）c·（a+b）·（a+b）c=（a2+2a·b+b2）a·cb·c=（4+2·2·2cos60°+4）·2·cos60°·2·cos60°=.则|=，|=，cosC1OC=（3）解：设=x，CD=2， 则CC1=.BD平面AA1C1C，BDA1C只须求满足：=0即可.设=a，=b，=c，=a+b+c，=ac，=（a+b+c）（ac）=a2+a·bb·cc2=6，令6=0，得x=1或x=

38、（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.8.（1）证明：PA平面ABCD，PAAB，又ABAD.AB平面PAD.又AEPD，PD平面ABE，故BEPD.（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）.PA平面ABCD，PDA是PD与底面ABCD所成的角，PDA=30°.于是，在RtAED中，由AD=2a，得AE=a.过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，由AE=a，EAF=60°，得AF=，EF=a，E（0，a）于

39、是，=a，a，0设与的夹角为，则由cos=arccos，即AE与CD所成角的大小为arccos.评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.9.解：（1）过D作DEBC，垂足为E，在RtBDC中,由BDC=90°,DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，DE=CD·sin30°=.OE=OBBE=OBBD·cos60°=1.D点坐标为（0，），即向量ODTX的坐标为0，.（2）依题意：，所以.设向量和的夹角为，则cos=.10. 【答案】：B解析若，则可得.

40、若则存在11. C 解析：连接FC、AD、BE，设正六边形的中心为O，连接AC与OB相交点H，则GHPO，故GH平面ABCDEF，平面GAC平面ABCDEF又DCAC，BHAC，DC平面GAC，BH平面GAC，且DC=2BH，故三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为2：1。12. C 【解析】取BC的中点E，则面，因此与平面所成角即为，设，则，即有13. 【答案】：B【分析】：如图，设正三棱锥的各棱长为，则四棱锥的各棱长也为，于是14. 解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则（）设 则 可得 因为所以 （）由已知条件可得 设 为平面的法向量 则 即因此

41、可以取，由，可得 所以直线与平面所成角的正弦值为15. 证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EFAG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以AFEG。因为EGP平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE。（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CEAC，所以CE平面ABCD。如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。则C（0， 0， 0），A（，0），D（，0， 0），E（0， 0， 1），F（，1）。所以=（，1），=（0，），（，0，）。所以·= 0-1+1=0，·=。所以CFBE，CFDE，所

42、以CF平面BDE（III）由（II）知，=（，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x,y,z）,则·=0，·=0。即所以x=0，且z=y。令y=1，则z=。所以n=（），从而cos（，）=因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为。16. 解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。（）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-

43、2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量， -2x+2y+2z=0所以 6x=0.取，则。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为（）解：设则，因为翻折后，与重合，所以，故， ，得，经检验，此时点在线段上，所以。方法二：（）解：取线段的中点,的中点,连结。因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。（）解：设,因为翻折后，与重合，所以，而， 得，经检验，此时点在线段上，所以。17. 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中

44、点F1，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE/平面FCC.（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,

45、垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在BCF为正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以BAC=ABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE/平面FCC. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2