立体几何中的向量方法习题课

1、立体几何中的向量方法习题课基础再现1.空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个_以及一个_确定.2.直线l平面，取直线l上的方向向量a，则向量a，向量a叫做平面的_.3.若直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1,平面的法向量v=(a2,b2,c2，则l_,l_.4.|a|2_a2.答案：1.定点定方向2.法向量3.uvvu=0a1a2+b1b2+c1c2=0uvu=kv(a1, b1, c1=k(a2, b2, c2 a1=ka2, b1=kb2, c1=kc24.=典例启示【例1】 如右图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD=60°

2、;，则当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？解：设，由已知|a|=|b|，=(a+b+c(a-b=|a|2-|b|2+ac-bc=|a|c|cos60°-|b|c|cos60°=0，CA1BD.因而A1C平面C1BD的充要条件是CA1C1D.由=(a+b+c(a-c=0|a|2+ab-bc-|c|2=0|a|2+|a|b|cos60°-|b|c|cos60°-|c|2=0(3|a|+2|c|(|c|-|a|=0.|a|>0,|c|>0,|a|=|c|.当时，A1C平面C1BD.启示：这是条件开放性问题，从结论出发，利用向量垂直的条件由线线垂

3、直推出线面垂直.本题通过利用向量的几何运算法则及向量的数量积运算大大降低了探索难度.【例2】 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.(1求证：平面B1EF平面BDD1B；(2求点D1到平面B1EF的距离.(1证明：建立如右图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0,B(,0,E(,0,F(,0,D1(0,0,4,B1(,4.=(,0,=(,0,=(0,0,4,.EFDB,EFDD1.EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.(2解：设平面B1EF的法向量n=(x,y,z,则,.又=(0,4,n=-x+y=0,n=y+4z=0.

4、x=y,.取y=1,得n=(1,1,.又=(,0,点D1到平面B1EF的距离为.启示：利用法向量知识求点到平面的距离，必须找这个平面过这点的斜线段(如本例D1B1.【例3】 如右图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，D=DAB=90°，AB=4，CD=1,AD=2.(1建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2求异面直线PA与BC所成的角；(3若PB的中点为M，求证：平面AMC平面PBC.(1解：建立如右图所示的直角坐标系Dxyz,D=DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,A(2,0,0,C(0

5、,1,0,B(2,4,0.由PD平面ABCD，得PAD为PA与平面ABCD所成的角.PAD=60°.在RtPAD中，由AD=2，得.P(0,0,.(2解：=(2,0,=(-2,-3,0,.PA与BC所成的角为arccos.(3证明：M为PB的中点，点M的坐标为(1,2,.=(-1,2,=(1,1,=(2,4,.=(-1×2+2×4+×(=0,=1×2+1×4+×(=0,.PB平面AMC.又PB面PCB,平面AMC平面PBC.启示：异面直线所成角的范围为(0,.能力提高 1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱B

6、B1、B1C1的中点，若CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为(A.30° B.45° C.60°D.90°解析：建立如右图所示坐标系.设AB=a, AD=b, AA1=c, 则A1(b, 0, 0, A(b, 0, c, C1(0, a, 0, C(0, a, c, B1(b, a, 0, D(0, 0, c, N(, a, 0, M(b, a,.CMN=90°, .AD1DM, 即所成角为90°.答案：D2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC、BD的交点，则C1O与A1D所成角为(A.60°

7、 B.90° C.arccos D.arccos解析：建立如右图所示坐标系.设棱长为1, 则A1(1, 0, 1, C1(0, 1, 1, B(1, 1, 0, O(, 0.C1O与A1D所成角为arccos.答案：D3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,E、F分别是BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为(A. B. C. D.解析：建立如右图所示坐标系, 则A1(a, 0, a, D1(0, 0, a, A(a, 0, 0, B(a, a, 0, B1(a, a, a, E(a, a, F(0, 0.设平面A1D1E的法向量为n=(x, y, z, 则, 即(x

8、, y, z(-a, 0, 0=0, (x, y, z(0, a,=0, -ax=0, ayz=0.x=0,.n=(0, z.答案：C4.如图，已知正四面体ABCD中，, ,求直线DE和BF所成角的余弦值.解：设棱长为1, ,.,即直线DE和BF所成角的余弦值为.5.直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于H.(1求证：B1D平面ABD；(2求证：平面EGF平面ABD；(3求平面EGF与平面ABD的距离.证明：如右图建立空间直角坐标系, 则B1(0, 0, 0, B(0, 0,

9、 4, D(2, 0, 2,设A1(0, a, 0, 则A(0, a, 4.(1=(2, 0, 2,=(2, 0, -2,=(0, a, 0, ,.B1DBD, B1DBA.B1D平面ABD.(2又由已知有C1(2, 0, 0, E(0, 0, 1, G(1, 0, F(1, 0, 0, =(1, 0, -1,=(0, 0.,.BDEF, BAFG.EF平面ABD, FG平面ABD.又EFFG=F, 平面EGF平面ABD.(3由上述知是平面ABD与平面EGF的法向量, 又=(0, 0, 3, 所以两平面之间的距离为.6.已知三棱锥PABC在某个空间直角坐标系中,=(m,m,0,=(0,2m,0

10、,=(0,0,2n.(1画出这个空间直角坐标系，并指出与Ox的轴的正方向的夹角；(2求证：；(3若M为BC的中点,求直线AM与平面PBC所成角的大小.(1解：如右图, 这个坐标系以A为坐标原点O, 以AC为Oy轴, 以AP所在直线为Oz轴, 与Ox轴的正方向夹角为30°.(2证明：=(0, 0, 2n, =(, m, 0, .(3解：连AM、PM., M为BC的中点, AMBC.又PABC, BD平面PAM.过A作AEPM于E点, 则AE平面PBC, AMP为AM与平面PBC所成的角.又,故所成角为.7.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且

11、|PQ|=，建立如右图所示的坐标系;(1确定P、Q的位置，使得B1QD1P;(2当B1QD1P时，求二面角C1-PQ-A的正切.解：(1设BP=t, 则,B1(2, 0, 2, D1(0, 2, 2, P(2, t, 0,.,=(-2, 2-t, 2.B1QD1P等价于,即,即.解得t=1.此时, P、Q分别是棱BC、CD的中点, 即当P、Q分别是棱BC、CD的中点时, B1QD1P.(2当B1QD1P时, 由(1知, P、Q分别是棱BC、CD的中点, 在正方形ABCD中, PQBD, 且ACBD, 故ACPQ.设AC与PQ的交点为E, 连结C1E.在正方体ABCDA1B1C1D1中, CC1

12、底面ABCD, CE是C1E在底面ABCD内的射影, C1EPQ, 即C1EC是二面角C1PQC的平面角, C1EA是二面角C1-PQ-A的平面角.在正方形ABCD中,；在RtC1EC中,.二面角C1PQA的正切为.施展才华1.直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别为A1B1、A1A的中点.(1求的长；(2求的值；(3求证：A1BC1M.(1解：以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz.依题意得B(0, 1, 0, N(1, 0, 1.(2解：依题意得A1(1, 0, 2, B(0, 1, 0, C(0, 0, 0, B1(0

13、, 1, 2.=(1, -1, 2, =(0, 1, 2,.(3证明：依题意得C1(0, 0, 2, M(, 2, =(-1, 1, -2, =(, 0.2.(2003年全国高考如右图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.(1求A1B与平面ABD所成角的余弦值；(2求点A1到平面AED的距离.解：(1连结BG, 则BG是BE在面ABD的射影, 即A1BG是A1B与平面ABD所成的角.如图所示建立坐标系, 坐标原点为O.设CA=2a, 则A(2a, 0, 0, B(0, 2a, 0, D(0, 0, 1, A1(2a, 0, 2, E(a, a, 1, G(,