中考数学二次函数的综合题试题及答案

1、中考数学二次函数的综合题试题及答案一、二次函数1.已知，抛物线y=ax2+ax+b(awQ与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且av(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示)；(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求4DMN的面积与a的关系式；(3)a=-1时，直线y=-2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围.【答案】(1) b=-2a,顶点D的坐标为；,一：a)； (2) 27 - 17a； (3)244 a 8(1)把M点坐标代入抛物线解析

2、式可得到化为顶点式可求得其顶点 D的坐标；b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式,(2)把点M(1,0)代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去V,可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据avb,判断av0,确定D、M、N的位置，画图1,根据面积和可得4DMN的面积即可；(3)先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2,先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围.【详解】解：(1);抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),a+a+b=0,即

3、b=-2a,y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+工)2-,24，抛物线顶点D的坐标为（-1,-空）；24(2)二.直线y=2x+m经过点M(1,0),.0=2x1-FmB得m=-2,-y=2x-2,y=2x22a2y=axax得ax2+(a-2)x-2a+2=0,(x-1)(ax+2a-2)=0,解得x=1或x=-2,a.N点坐标为（2-2,-6）,aaa<b,即a<-2a,.a<0,如图1,设抛物线对称轴交直线于点E,a 1;抛物线对称轴为x ,2a 21 .E(-2N ( 2-2, -6),a a设4DMN的面积为S,，S=Sden+Sxdem= - | (

4、 2-2) -1|?| - - (-3) |= - -2 a44 a(3)当 a=-1 时，. M (1,278a,抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-(x+)2+9,24,yxx2由，y2x-x2-x+2=-2x,解得：xi=2,x2=-1, G(-1,2), 点G、H关于原点对称， H(1,-2),设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t,-x2-x+2=-2x+t,x2-x-2+t=0,=1-4(t-2)=0,t=9,4当点H平移后落在抛物线上时，坐标为(1,0),把(1,0)代入y=-2x+t,t=2,.当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2wy?.4【点睛】本题

5、为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识.在(1)中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在(2)中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在(3)中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大.2.如图，直线 AB和抛物线的交点是 A (0, 横坐标是2.(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；-3) , B (5, 9),已知抛物线的顶点D的(2)在x轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连

6、接PAPB使得4PAB的面积最大，并求出这个最大值.12 o 48【答案】(1) y x x 3,顶点D (2,5563J(2) C ( 4«0 ， 0)或(5 2后，0)或(971075,0) ； ( 3) 一2(1)抛物线的顶点 D的横坐标是2,则xb2a2,抛物线过A (0, - 3),则：函数的表达式为：y=ax2+bx-3,把B点坐标代入函数表达式，即可求解;(2)分AB=AC、AB=BGAC=BC,三种情况求解即可；1(3)由SPAB？PH?xB即可求解.2(1)抛物线的顶点 D的横坐标是2,则xb2a2，抛物线过A (0, - 3),则：函数的表达式为：y=ax2+bx

7、- 3,把B点坐标代入上式得:9=25a+5b - 3，联立、解当x=2时，y A (0,485.抛物线的解析式为:y 这 x2 丑 x-3.5563一，即顶点D的坐标为(2,563£-3) , B (5, 9),则AB=13,设点C坐标(m, 0),分三种情况讨论:当AB=AC时，则：(m) 2+(-3) 2=132,解得：m=±410 ,即点C坐标为:(4 厢,0)或(-4加，0); 当AB=BC时，则：(5m) 2+92=132,解得：m=5 2J22，即：点C坐标为(5 2722, °)或(5-25y22, 0)；97 当 AC=BC时，则：5 m) 2+

8、92= ( m) 2+(-3) 2,解得：m=一 ,10则点C坐标为°)综上所述：存在，点 C的坐标为：(±S° , 0)或(5 2220)97或(2，°)；10(3)过点P作y轴的平行线交AB于点H.设直线AB的表达式为y=kx-3,把点B坐标代入上式,129=5k-3,则k 一，故函数的表达式为:512x 3,5设点P坐标为(m ,m - 3),则点 H 坐标为(m, m - 3),55Sa pab 一 ？PH?xb -22752答:12m2+12m) =6m2+30m= 6(m55 2 755 .，一)，当 m=一时，&pab取得取大值为:

9、222 一一.75 pab的面积最大值为75 23I【点睛】本题是二次函数综合题.主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.3.已知，m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|v|n|,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n),如图所示.(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D,求出点C,D的坐标，并判断BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过

10、点P作x轴的垂线，交抛物线于点M,点Q在直线BC上，距离点P为J2个单位长度，设点P的横坐标为t,PMQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式.D1)y2x 2x1, - 4) , ABCD是直角三角形;1t2 21t223-t(0<t< 3)3 ,-t(t< 0或 t>3)【解析】试题分析:(1)先解7L二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先解方程求出抛物线与 x轴的交点，再判断出 从而得到结论； BOC和 BED都是等腰直角三角形,(3)先求出QF=1,再分两种情况，当点 P在点M上方和下方，分别计算即可.试题解析：解(1)x2+4x 3又23,二次方

11、程x2 +4 x 30的两个实数根，且|m| < |n| , m= 12.抛物线y x 2x 3的图象经过点A (m, 0) , B (01 n) , c2，抛物线解析式为32yx2x令 y=0,则 x2 2x 3 0,x2 3, C (3,2 一 一2 y x 2x 3 = (x 1)4顶点坐标D (1,4),过点D作DE±y轴,. OB=OC=3, .BE=DE=1, . BOC和 BED者B是等腰直角三角形,/ OBC=Z DBE=45 ；/ CBD=90(3)如图， ABCD是直角三角形;- B (0, - 3) , C (3, 0) , 直线BC解析式为y=x- 3,

12、二点P的横坐标为t, PMx轴，.点M的横坐标为t,二点P在直线BC上，点M在抛物线上，.P (t, t- 3) , M (t, t2 2t 3),过点Q作QF，PM,，APQF是等腰直角三角形， .PQ=J2, -QF=1.22当点P在点M上万时，即0vtv3时，PM=t - 3 - (t 2t 3) = t 3t,11 , 2 1 2 3. .S=-PMX QF=( t 3t)= -t t,如图3,当点P在点M下方时，即t<0或t222211,c123>3时，PM=t22t3-t-3=t23t,.-.S=-PMXQ=(t23t=-t-t.22221t23t(0t3)综上所述，S

13、=222t21t(t0或t3)考点：二次函数综合题；分类讨论.24.抛物线yxbxc（b,c为常数）与x轴交于点Xi,0和X2,0,与y轴交于点A,点E为抛物线顶点。（I）当Xi1,X23时，求点A,点E的坐标；（n）若顶点E在直线yx上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；（出）若1,b0,当P（1,0）满足PAPE值最小时，求b的值。1【答案】（I）A0,3,E（1,4）；（n）yxx一；（出）b3历.4【解析】【分析】（I）将（-1,0）,（3,0）代入抛物线的解析式求得b、c的值，确定解析式，从而求出抛物线与y轴交于点A的坐标，运用配方求出顶点E的坐标即可；（n）先运用配方求出顶点E的

14、坐标，再根据顶点E在直线yx上得出吧b与c的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A位置最高，从而确定抛物线的解析式；（出）根据抛物线经过（-1,0）得出c=b+1,再根据（n）中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点E的坐标，然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式，再根据点在直线AP上，此时PAPE值最小，从而求出b的值.【详解】x2 bx c,b c3b c解：（I）把点（-1,0）和（3,0）代入函数y2, c 30。解得b02一一2yx2x3(x1)4A(0,3), E(1,4)(n )由 ybx2b x 24c b2 得4c b24丁点E在直线x上,4c b2（出）1b242b

15、lb 1)2410, (b41时，点1)2A是最Wj点此时,:抛物线经过点（1,0）,有QE2三，A(0,c)4El(b 2)2一心b 1).E关于x轴的对称点(b :42)2设过点A, P的直线为kxt.把 A(0, b1),P(1,0)代入 yy(b1)(x1)b把点E 一22(b 2)24代入y(b 1)(x1)._ 2得(b 2)寸4(b 1)即 b2 6b解得,0,折。b 3 J17舍去.3.17【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题.5.若三个非零实数x,y,z满足

16、：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x,y,z构成和谐三组数（1）实数1,2,3可以构成和谐三组数”吗？请说明理由；k(2)若M(t,yi),N(t+1,y*R(t+3,y3)三点均在函数y=(k为常数,kw就图象上,且这x三点的纵坐标yi,y2,y3构成和谐三组数”，求实数t的值；(3)若直线y=2bx+2c(bc工助)x轴交于点A(xi,0),与抛物线y=ax2+3bx+3c(a丰方方B(x2,y2),C(xj,y3)两点.求证：A,B,C三点的横坐标xi,x2,x3构成和谐三组数”；若a>2b>3c,x2=1,求点P(c,B)与原点O的距离OP的取值

17、范围.aa【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t的值为-4、-2或2；(3)证明见解析；Y2WOP2V_10且OPM.2【解析】【分析】(1)由和谐三组数的定义进行验证即可；(2)把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3,再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；一c(3)由直线解析式可求得x1=-,联立直线和抛物线解析式消去V,利用一元二次bbc方程根与系数的关系可求得x2+x3=-b,x2x3=-,再利用和谐三数组的定义证明即可；aa由条件可得到a+b+c=0,可得c=-(a+b),由a>2b>3c可求得b的取值范围，令

18、m=abb,利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2a的取值范围，从而可求得OP的取值范围.【详解】(1)不能，理由如下：1、2、3的倒数分别为1、工、1,23:.-+-1+1，1+1，232332:实数1,2,3不可以构成和谐三组数”；k.(2).M(t,y1),N(t+1,y2),R(t+3,y3)三点均在函数一(k为常数，kw0)图象上，xy1>y2、y3均不为0,且y=一,y2=,y3=tt1t31t1t11t3,=-= )yky2ky3k .yi,平,y3构成和谐三组数 .有以下三种情况：,111一，tt1t3rr当=+时，则=+，即t=t

19、+1+t+3,解得t=-4;,111t1tt3rr-当=+一时，则=+,即t+1=t+t+3,斛得t=2;,111.t3tt1r当一=一+一时，则=+，即t+3=t+t+1,解得t=2；y3y1y2kkk .t的值为-4、-2或2;(3).a、b、c均不为0, X1,X2,X3都不为0,.直线y=2bx+2c(bc导冲由交于点A(x1，0),Jcc0=2bx1+2c,解得X1=-,b联立直线与抛物线解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c,即ax2+bx+c=0, 直线与抛物线交与B(x2,y2),C(x3,y3)两点, x2>x3是方程ax2+bx+c=0的两根，bc x2

20、+x3=,x2x3=,aab工工=x2x3_a_b=£x2x3x2x3Ccx'a .x1,x2,x3构成和谐三组数”；*2=1,a+b+c=0,c=-ab,-a>2b>3c,a2b-n3b1.-a>2b>3(-a-b),且a>0,整理可得，解得-vv,5b3a5a2,P(c，b),aa.OP2=(-)2+(b)2=(-ab)2+(-)2=2(b)2+2b+1=2(-+-)2+1,aaaaaaa22令m=,则'vmv工且mo,且OP2=2(m+)2+,a5222,2>0,当-3vmv-1时，OP2随m的增大而减小，当m=-3时，OP2

21、有最大临界值,52525当m=-1时，OP2有最小临界值1,22当-1vmv1时，OP2随m的增大而增大，当m=-1时，OP2有最小临界值1，当m2222=1时，OP2有最大临界值5,221c5CwO2<?且OP2W122.P到原点的距离为非负数，丝&OP或0且OPM.22【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识.在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在(3)中用a、b、C分别表示出X1,X2,X3是解题的关键，在(3)中把OP

22、2表示成二次函数的形式是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大.6.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(2, 0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，4PAB的面积有最大值？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P做PE/x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使4PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.(2)当t=3时，4PAB的面积有最大值;【答案】(1)抛物线解析式为y=-1X2+2X+6；2(3)点P(

23、4,6)【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可得;(2)作PMLOB与点M,交AB于点N,作AG±PM,先求出直线AB解析式为y=-x+6,设P (t1,t2+2t+6)，则N(t,t+6),由2Sapab=Span+Spbn=万PN?AG+5PN?BM=万PN?OB歹U出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；(3)由PHI±OB知DH/AO,据此由OA=OB=6得/BDH=/BAO=45,结合/DPE=90知若PDE为等腰直角三角形，则/EDP=45；从而彳#出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案.【详解】(1).抛物线过点B(6,0)、C(-2,0

24、),，设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2),将点A(0,6)代入，得：-12a=6,解得：a=_,所以抛物线解析式为y=-7-(x-6)(x+2)=-x2+2x+6;22(2)如图1,过点P作PMXOB与点M,交AB于点N,作AG±PM于点G,设直线AB解析式为y=kx+b,将点A(0,6)、B(6,0)代入，得:b66kb0解得:则直线AB解析式为y=-x+62则 N (t, t+6),设P(t,t2+2t+6)其中0vtv6PN=PM-MN=-t2+2t+6-(t+6)=3t2+2t+6+t6=3t2+3t,SAPAB=SkXPAN+SkXPBN=-PN?AG+PN?BM2

25、21=-PN?(AG+BM)1=PN?OB2=1X(-1t2+3t)X6223,2=t+9t2c27(t-3)2+2当t=3时，4PAB的面积有最大值;(3)如图2,.PHXOBTH,/DHB=/AOB=90；.DH/AO,.OA=OB=6,/BDH=ZBAO=45；1. PE/x轴、PDJ_x轴,/DPE=90；若PDE为等腰直角三角形，贝U/EDP=45,/EDP与/BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，2x2+2x+6=6,解得：x=0(舍)或x=4,即点P(4,6).【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌

26、握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键1, 0)和D按顺时7.在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=-3x2+bx+c经过点A(-点B(0,5),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点2针方向旋转90。，点C落在抛物线上的点P处.(1)求这条抛物线的表达式；(2)求线段CD的长；(3)将抛物线平移，使其顶点C移到原点。的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以。、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+-;(2)线段CD的长为2；(3)M点的坐22

27、标为(0,7)或(0,-7).22【解析】【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式；(2)利用配方法得到y=-(x-2)2+9,则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物22线的对称轴为直线x=2,如图，设CD=t,则D(2,9-t),根据旋转性质得/PDC=90,2DP=DC=t,则P(2+t,9-t),然后把P(2+t,9-t)代入y=-x2+2x+勺得到关于t2222的方程，从而解方程可得到CD的长；(3)P点坐标为(4,9),D点坐标为(2,勺)，利用抛物线的平移规律确定E点坐标22为(2,-2),设M(0,m),当m>0时，利用梯形面积公式得到？(m+-+2)?2=822当m&l

28、t;0时，利用梯形面积公式得到2? ( - m+|+2) ?2=8,然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标.【详解】(1)把A(-1,0)和点B(0,5)代入y=-x2+bx+c得221-bc02,解得5c2，抛物线解析式为y=-x2+2x+-;22(2) .y=- 1 (x 2)22+r.C(2,9),抛物线的对称轴为直线x=2,2如图，设CD=t,则D（2,9-t）,2线段DC绕点D按顺时针方向旋转90。，点C落在抛物线上的点P处，/PDC=90,°DP=DC=t,.P（2+t,9-t）,2把P（2+t,-t）代入y=-x2+2x+得-一（2+t）2+2（2+t）+=-t,2

29、22222整理得t2-2t=0,解得ti=0（舍去），t2=2,线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4,9）,D点坐标为（2,勺），22.抛物线平移，使其顶点C（2,号）移到原点O的位置，2抛物线向左平移2个单位，向下平移2个单位，2而P点（4,9）向左平移2个单位，向下平移9个单位彳#到点E,22E点坐标为（2,-2）,设M（0,m）,当m>0时，-?（m+5+2）?2=8,解得m=7,此时M点坐标为（0,7）;2222当m<0时，-?（-m+5+2）?2=8,解得m=-7,此时M点坐标为（0,-1）；2222综上所述，M点的坐标为（0,7）或（0,-7）.22x=2【点睛】本题

30、考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2,0）,且经过点（4,1）,1如图，直线y=-x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=-1.4(1)求抛物线的解析式；(2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)知F(xo,yo)为平面内一定点，M(m,n)为抛物线上一动点，且点距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标.128M到直线l的T) . (3)定点F的坐标

31、为(2, 1).【解析】分析：(1)由抛物线的顶点坐标为(2, 0),可设抛物线的解析式为物线过点(4, 1),利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)联立直线 AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点y=a(x-2) 2,由抛A、B的坐标，作点y=-x2-x+1.(2)点P的坐标为(B关于直线l的对称点B；连接AB'交直线l于点巳此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B'的坐标，根据点A、B'的坐标利用待定系数法可求出直线AB'的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；(3)由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相

32、等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出(1-2yo)m2+(2-2xo+2yo)m+xo2+y02-2yo-3=0,由m的任意性可得出关F的坐标.2, 0)，于x。、y0的方程组，解之即可求出顶点详解：(1)二抛物线的顶点坐标为(设抛物线的解析式为y=a(x-2)2.;该抛物线经过点(4,1),1-1=4a,解得：a=-,4=x2-x+1.抛物线的解析式为y=1(x-2)24(2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得:1 y= x41 2 y= x4x1=11x2=41，-15y=一丫2=14，点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(4,1).4作点B关于直线l的对称点B',连接A

33、B'交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值(如图1所示).;点B (4, 1),直线i 为 y=-1,点B的坐标为(4,-3).设直线AB'的解析式为y=kx+b(kw。，(1, 1)、B，(44-3)代入 y=kx+b,得:4k1b4,解得:g 313 k 124 b3直线AB的解析式为yJx+4,123当y=-1时，-x+=-1123解得：x=28,13，点P的坐标为(常，-1),(3)二点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等,(m-xo)2+(n-yo)2=(n+1)2,-1m2-2xom+xo2-2yon+yo2=2n+1.M(m,n)为抛物线上一动点，n=-m

34、2-m+1,4(%-m+1)+1,.22122-m-2xom+xo-2yo(m-m+1)+yo=2m2+ (2-2xo+2yo) m+xo2+y02-2yo-3=0.m11整理得：（1-yo）22.m为任意值，12y0=022xo2yo=O22XoVo2yo3=0Xo=2Vo=1'，定点F的坐标为（2,1）.点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总

35、是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于Xo、yo的方程组.9.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是2y=ax bx a o。（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1,1）时，a=;当顶点坐标为（m,m）,mO时，a与m之间的关系式是（2）继续探究，如果bwo,且过原点的抛物线顶点在直线y=kxko上，请用含k的代数式表示b;（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2,，An在直线y=x上，横坐标依次为1,x轴的垂线，垂足记为B1, B2,若这组抛物线中有一条经过点Dn,2,，n（n为正整数，且nW12,分别过每个顶点作B3,Bn,以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn,求所

36、有满足条件的正方形边长。解：（1） 1;a=1 a= m(2)b2=k 4a2a(3) 3, 6, 9（2）二.过原点的抛物线顶点b2ab2一在直线y=kx k o上, 4a=kb2a(3)由(2)知，顶点在直线 y=x上，横坐标依次为1, 2,，n (n为正整数，且12rn< 12的抛物线为：y= x n n ,即y=n1 x2 2x 。 n对于顶点在在直线 y=x上的一点Am (m, m)(m为正整数，且m<n),依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为 m,点Dm坐标为(2 m, m),12右点Dm在某一抛物线 y= -x 2x上，则n123m= 2m 2 2m ,化简，得

37、m= n。n4m, n 为正整数，且 mK nw,12. n=4, 8, 12, m=3, 6, 9。，所有满足条件的正方形边长为3, 6, 9。(1)当顶点坐标为(1, 1)时，由抛物线顶点坐标公式,2=1 2a 24ac b4a,即=12=1 2a,b2=14aa= 1 °b一 =m2a当顶点坐标为(m, m),m0时，2b一 =m4a22am=m4aa=(2)根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将抛物线顶点坐标b2a,4a代入y=kx,化简即可用含k的代数式表示bo由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0,由此可求出m的值和D

38、点坐标。(3)将依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m,点Dm坐标为(2m,m)，将(2m,12m)代入抛物线y=x2x求出m,n的关系，即可求解。n10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和点C(0,4),交x轴正半轴于点B,连接AC,点E是线段OB上一动点(不与点O,B重合)，以OE为边在x轴上方作正方形OEFG连接FB,将线段FB绕点F逆时针旋转90°,得到线段FP,过点P作PH/y轴，PH交抛物线于点H,设点E(a,0)(1)求抛物线的解析式.(2)若4AOC与4FEB相似，求a的值.(3)当PH=2时，求点P的坐标.16.4，、【答

39、案】(1)y=-x2+3x+4;(2)a=q或=；(3)点P的坐标为(2,4)或(1,4)或(3+厄，4).2【解析】【详解】(1)点C(0,4),则c=4,二次函数表达式为：y=-x2+bx+4,将点A的坐标代入上式得：0=-1-b+4,解得：b=3,故抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4;(2)tanZACO=°-1,CO4AOC与AFEB相似，贝U/FBE=/ACO或/CAO,即：tan/FEB=1或4,4四边形OEFG为正方形，则FE=OE=a,EB=4-a,则-a-1或-a4,4 a44a16,、4解得：a=一或一；5 5(3)令y=-x2+3x+4=0,解得：x=4或-

40、1,故点B(4,0);分别延长CRHP交于点N,/PFN+ZBFN=90°,/FPN+ZPFN=90；/FPN=/NFB,.GN/x轴，ZFPN=/NFB=/FBE /PNF=/BEF90°,FP=FB,.-.PNFABEF（AAS,.FN=FE=a,PN=EB=4-a, 点P（2a,4）,点H（2a,-4a2+6a+4）, .PH=2,即：4a2+6a+4-4=|2|,解得：a=1或1或3J17或3折（舍去），244故：点P的坐标为（2,4）或（1,4）或（3+业，4）.2【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3）,要注意分类求解，避免遗漏.11.（12分）

41、如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=工x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到6OB的水平距离为3m,到地面OA的距离为m.2（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=-x2+2x+4,拱顶D到地面OA的距离为10m；6（2）两排灯的水平

42、距离最小是4mm.【解析】【详解】试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用彳f定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）,然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值.试题解析:1）由题知点B（0,4）,C173,在抛物线上29 3b c1 2x 2x 46c4所以17万b一所以，当x卫-6时，y三t102a答：y1x22x4,拱顶D到地面OA的距离为10米6（2）由题知车最外侧与地面OA的交点

43、为（2,0）（或（10,0）22当x=2或x=10时，y6,所以可以通过312C（3）令y8,即一x2x48,可得x212x240,解得6x1623,x2623x1x243答：两排灯的水平距离最小是4,3考点：二次函数的实际应用.13y必？/+212.抛物线4?与x轴交于A,B两点（OAvOB）,与y轴交于点C.（1）求点A,B,C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点。出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0vt<2）.11过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，0P的值最小，求出这个最小值

44、并写出此时点E,P的坐标；在满足的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F,使4EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)A(2,0),B(4,0),C(0,2);(2)t=1时，OP眇有最小值1,此时OP=2,OE=1,E(0,1),P(2,0);F(3,2),(3,7)【解析】试题分析：(1)在抛物线的解析式中，令y=0,令x=0,解方程即可得到结果;由题意得：OP=2t,OE=t,通过CDa4CBO得到访丽，即F11于丽有最小值1,即可求得结果;存在，求得抛物线的对称方程为x=3,设F(3,m),当4EFP为直角三角形时，当/EPF=90时，当/E

45、FP=90时，当/PEF=90时，根据勾股定理列方程即可求得结试题解析：(1)在抛物线的解析式中，令y=0,OAV OB, .A (2, 0) , B (4, 0),在抛物线的解析式中，令 x=0,得y=2,ACDEACBO, 0 "8，即2-t DE24,，DE=4 2t,. OP + ED_2t-八叫一("1产10<t<2,始终为正数，且t=1C(0,2);CEED(2)由题意得：OP=2t,OE=t,DE/OB时，i-("i/有最大值1.t=1时，1-(”1产有最小值1,即t=1时，研而有最小值1,此时OP=2,OE=1,E(0,1),P(2,0

46、);存在，二抛物线P户=(3-2外加的对称轴方程为x=3,设F(3,m),：EP2=3当4EFP为直角三角形时，当/EPF=90时，加+PF?二由即5+(3-解得：m=2,当/EFP=90时，"2+/=由，即1*1尸+32+(3-2八标=5,解得；m=。或m=1,不合题意舍去，当/EFP=90时，这种情况不存在，当/PEF=90时，亦+PE型即+5=(3-沙+加，解得：m=7,综上所述，F(3,2),(3,7)考点：1.二次函数综合题；2.动点型；3.最值问题；4.二次函数的最值；5.分类讨论；6.压轴题.13.如图，已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点，点

47、D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)已知点F(0,1),当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平2行四边形？(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) y= x2+ x+2; (2) m=-1或m=3时，四边形22DMQF是平行四边形;(3)点Q的坐标为(3, 2)或(-1, 0)时，以点 B Q、M为顶点的三角形与 ABOD相似.【

48、解析】分析：(1)待定系数法求解可得;(2)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=-x-2,则Q (m, - m2+- m+2) . M222(m, -m-2),由QM/DF且四边形DMQF是平行四边形知 QM=DF,据此列出关于 m的 2方程，解之可得；(3)易知 /ODB=/ QMB,故分 /DOB=/ MBQ=90 ,利用DOBMBQ 得DOOBMBBQ1_ BM一，再证MBQsBPQ得2BQBPPQ即可得此时m的值；/BQM=90,此时点Q与点A重合，BOgBQM,易得点Q坐标.详解：(1)由抛物线过点A(-1,0)、B(4,0)可设解析式为y=a(x+1)(x-4),将点C(0,2

49、)代入，得：-4a=2,解得：a=-1,则抛物线解析式为y=-(x+1)(x-4)=-x2+x+2；222(2)由题意知点D坐标为(0,-2),设直线BD解析式为y=kx+b,将B(4,0)、D(0,-2)代入，得：k= 一4kb=0直线BD解析式为y=-x-2,2.QMx轴，P(m,0),1.Q(m,-m2+m+2)、M(m,m-2),222贝UQM=-1m2+。m+2-(2m-2)=-m2+m+4,2222.F(0,-)、D(0,-2),.DF=5,21.QM/DF,当-m2+m+4=一时，四边形DMQF是平行四边形,22解得：m=-1(舍)或m=3,即m=3时，四边形 DMQF是平行四边

50、形；(3)如图所示：1. QM / DF,/ ODB=Z QMB分以下两种情况： 当/DOB=/ MBQ=90 时，DOBsMBQ,DOoBMB 2 _ 1BQ 4- 2 /MBQ=90°, /MBP+ZPBQ=90,° /MPB=ZBPQ=90,° /MBP+ZBMP=90;/BMP=ZPBQ .MBQsBPQ,14mBMBP口一-二;7，即2123，BQPQ-m-m222解得：mi=3、m2=4,当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，m=3,点Q的坐标为（3,2）；当/BQM=90时，此时点Q与点A重合，BO24BQM,此时m=-1，点Q的坐标为（-1,0）;综上，点Q的坐标为（3,2）或（-1,0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与ABOD相似.点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用.14.如图，直线y=x+内分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上,/ACB=90,°抛物线y=ax2+bx+再经过A,B两点.（1）求A、B两点的坐标;（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHXBC于点H,作MD/y轴交BC【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得 B、C坐标，