山东省各市2012年中考数学分类解析 专题10 四边形

1、山东各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题10：四边形1、 选择题1. （2012山东滨州3分）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为【 】A3：1B4：1C5：1D6：1【答案】 C。【考点】菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质。【分析】如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1。故选C。2. （2012山东济南3分）下列命题是真命题的是【 】A对角线相等的四边形是矩形B一组邻边相等的四边形是菱形 C四个角是直角的四边形是正方形D对角线相等的梯形是等腰梯形 【答案】D。

2、【考点】命题与定理，矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定。【分析】根据矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定方法以及定义即可作出判断：A、对角线相等的平形四边形才是矩形，故选项错误；B、一组邻边相等的平形四边形才是菱形，故选项错误；C、四个角是直角的四边形是矩形，故选项错误；D、正确。故选D。3. （2012山东莱芜3分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，BCD90º，BC2AD，F、E分别是BA、BC的中点，则下列结论不正确的是【 】AABC是等腰三角形 B四边形EFAM是菱形CSBEFSACD DDE平分CDF【答案】D。【考点】梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，菱

3、形的判定，三角形中位线定理。【分析】如图，连接AE，由ADBC，BCD90º，BC2AD，可得四边形AECD是矩形，AC=DE。 F、E分别是BA、BC的中点，ADBE。四边形ABED是平行四边形。AB=DE。 AB= AC，即ABC是等腰三角形。故结论A正确。 F、E分别是BA、BC的中点，EFAC，EF=AC=AB=AF。 四边形ABED是平行四边形，AFME。四边形EFAM是菱形。故结论B正确。 BEF和ACD的底BE=AD，BEF的BE边上高=ACD的AD边上高的一半， SBEFSACD。故结论C正确。 以例说明DE平分CDF不正确。如图，若B=450， 则易得ADE=CDE

4、=450。而FDEADE=CDE。DE平分CDF不正确（只有在B=600时才成立）。故结论D不正确。故选D。4. （2012山东聊城3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么CDF与ABE不一定全等的条件是【 】ADF=BEBAF=CECCF=AEDCFAE【答案】C。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定。【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可：A、当DF=BE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，B=D，利用SAS可判定CDFABE；B、当AF=CE时，由平行四边形的性质可得：BE=DF，AB=CD，B=D，利用SAS

5、可判定CDFABE；C、当CF=AE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，B=D，利用SSA不能可判定CDFABE；D、当CFAE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，B=D，AEB=CFD，利用AAS可判定CDFABE。故选C。5. （2012山东临沂3分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD相交于点O，下列结论不一定正确的是【 】AAC=BDBOB=OCCBCD=BDCDABD=ACD【答案】C。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系，三角形内角和定理。【分析】A四边形ABCD是等腰梯形，AC=BD，故本选项正确。B四边形ABC

6、D是等腰梯形，AB=DC，ABC=DCB，在ABC和DCB中，AB=DC，ABC=DCB，BC=CB，ABCDCB（SAS）。ACB=DBC。OB=OC。故本选项正确。CBC和BD不一定相等，BCD与BDC不一定相等，故本选项错误。DABC=DCB，ACB=DBC，ABD=ACD。故本选项正确。故选C。6. （2012山东日照3分）在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F， 若EC=2BE，则 的值是【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】B。【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】如图，在菱形ABCD中，ADBC，且AD=BC，BEFDAF，。又EC=2BE

7、，BC=3BE，即AD=3BE。故选B。7. （2012山东泰安3分）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CEAB，垂足为E，若EAD=53°，则BCE的度数为【 】A53°B37°C47°D123°【答案】B。【考点】平行四边形的性质，对项角的性质，平行的性质。【分析】设CE与AD相交于点F。在平行四边形ABCD中，过点C的直线CEAB，E=90°，EAD=53°，EFA=90°53°=37°。DFC=37四边形ABCD是平行四边形， ADBC。BCE=DFC=37°。故选B。

8、8. （2012山东泰安3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为【 】A3B3.5C2.5D2.8【答案】C。【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理。【分析】EO是AC的垂直平分线，AE=CE。设CE=x，则ED=ADAE=4x。，在RtCDE中，CE2=CD2+ED2，即x 2=22+（4x）2 ，解得x=2.5，即CE的长为2.5。故选C。9. （2012山东威海3分）如图，在ABCD中，AE，CF分别是BAD和BCD的平分线。添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是【 】A.AE=AF

9、B.EFAC C.B=600 D.AC是EAF的平分线10. （2012山东烟台3分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为【 】A4B5C6D不能确定【答案】B。【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。【分析】如图，连接BD，由题意得，OB=4，OD=3，根据勾股定理，得BD=5。又ABCD是等腰梯形，AC=BD=5。故选B。二、填空题1. （2012山东德州4分）在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 （只要填写一种情况）【答案】AD=BC（答案不

10、唯一）。【考点】中心对称图形，平行四边形的判定。【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形：AB=CD，当AD=BC时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形。当ABCD时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 当B+C=180°或A+D=180°时，四边形ABCD是平行四边形。故此时是中心对称图形。故答案为：AD=BC或ABCD或B+C=180°或A+D=180°等（答案不唯一）。2. （2012山东临沂3分）如图，CD与BE互相垂直平分，ADDB，BDE=70°

11、;，则CAD= °【答案】70。【考点】菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质。【分析】CD与BE互相垂直平分，四边形BDEC是菱形。DB=DE。BDE=70°，ABD=55°。ADDB，BAD=90°55°=35°。根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，BAC=BAD=35°。CAD=BAC+BAD=35°+35°=70°。三解答题1. （2012山东滨州9分）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且

12、等于第三边的一半”类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论【答案】解：结论为：EFADBC，EF=（AD+BC）。理由如下：连接AF并延长交BC的延长线于点G。ADBC，ADF=GCF。在ADF和GCF中，ADF=GCF，DF=CF，DFA=CFG，ADFGCF（ASA）。AF=FG，AD=CG。又AE=EB，EFBG，EF=BG。EFADBC，EF=（AD+BC）【考点】全等三角形的判定和性质；三角形中位线定理

13、。【分析】连接AF并延长交BC于点G，则ADFGCF，可以证得EF是ABG的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得。2. （2012山东东营10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE求证：CECF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45°，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90°，ABBC，E是AB上一点，且DCE45°，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD

14、的面积【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，BCCD，BCDF，BEDF，CBECDF（SAS）。CECF。（2）证明： 如图，延长AD至F，使DF=BE连接CF。 由（1）知CBECDF，BCEDCF。BCEECDDCFECD，即ECFBCD90°。又GCE45°，GCFGCE45°。CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG（SAS）。GEGF，GEDFGDBEGD。（3）如图，过C作CGAD，交AD延长线于G在直角梯形ABCD中，ADBC，AB90°。又CGA90°，ABBC，四边形ABCD 为正方形。 AGBC。已知DCE45

15、°，根据（1）（2）可知，EDBEDG。10=4+DG，即DG=6。设ABx，则AEx4，ADx6，在RtAED中，DE2=AD2AE2，即102=（x6）2（x4）2。解这个方程，得：x=12或x=2（舍去）。AB=12。梯形ABCD的面积为108。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。【分析】（1）由四边形是ABCD正方形，易证得CBECDF（SAS），即可得CE=CF。（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知CBECDF，易证得ECF=BCD=90°，又由GCE=45°，可得GCF=GCE=45°，即可证得

16、ECGFCG，从而可得GE=BE+GD。（3）过C作CGAD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在RtAED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。3. （2012山东济南7分）（1）如图1，在ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF求证：DE=BF（2）如图2，在ABC中，AB=AC，A=40°，BD是ABC的平分线，求BDC的度数【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，A=C， 在ADE和CBF中，AD=C

17、B ，A=C ，AE=CF，ADECBF（SAS）。DE=BF；（2）解：AB=AC，A=40°，ABC=C=（180°40°）=70°，又BD是ABC的平分线，DBC=ABC=35°。BDC=180°DBCC=75°。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质，角平分线的定义，角形的内角和定理。【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等，在加上已知的一对边的相等，由“SAS”，证得ADECBF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证。（2）根据AB

18、=AC，利用等角对等边和已知的A的度数求出ABC和C的度数，再根据已知的BD是ABC的平分线，利用角平分线的定义求出DBC的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出BDC的度数。4. （2012山东莱芜10分）)如图，在菱形ABCD中，AB2，A60º，以点D为圆心的D与边AB相切于点E(1)求证：D与边BC也相切；(2)设D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留)；(3)D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当SHDFSMDF时，求动点M经过的弧长(结果保留)【答案】解：（1）证明：连接DE，过点D作DNBC，垂足为点N。 四边形AB

19、CD是菱形，BD平分ABC。 D与边AB相切于点E，DEAB。DN=DE。 D与边BC也相切。（2）四边形ABCD是菱形，AB2，ADAB2。又A60º，DEADsin6003，即D的半径是3。又HDFHADC60º，DHDF，HDF是等边三角形。过点H作HGDF，垂足为点G，则HG3sin600。（3）假设点M运动到点M1时，满足SHDFSMDF，过点M1作M1PDF，垂足为点P，则，解得。 。M1DF30º。此时动点M经过的弧长为：。过点M1作M1M2DF交D于点M2，则满足，此时M2DF150º，动点M经过的弧长为：。综上所述，当SHDFSMDF时

20、，动点M经过的弧长为或。【考点】菱形的性质，角平分线的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长公式。【分析】（1）连接DE，过点D作DNBC，垂足为点N，则根据菱形的性质可得BD平分ABC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DN=DE，即BC垂直于过D上点N的半径，从而得到D与边BC也相切的结论。（2）求出HDF和扇形HDF即可求得阴影部分的面积。（3）根据SHDFSMDF求出圆心角即可求动点M经过的弧长。注意有两点。5. （2012山东莱芜10分）)如图，在菱形ABCD中，AB2，A60º，以点D为圆心的D与

21、边AB相切于点E(1)求证：D与边BC也相切；(2)设D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留)；(3)D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当SHDFSMDF时，求动点M经过的弧长(结果保留)【答案】解：（1）证明：连接DE，过点D作DNBC，垂足为点N。 四边形ABCD是菱形，BD平分ABC。 D与边AB相切于点E，DEAB。DN=DE。 D与边BC也相切。（2）四边形ABCD是菱形，AB2，ADAB2。又A60º，DEADsin6003，即D的半径是3。又HDFHADC60º，DHDF，HDF是等边三角形。过点H作HGD

22、F，垂足为点G，则HG3sin600。（3）假设点M运动到点M1时，满足SHDFSMDF，过点M1作M1PDF，垂足为点P，则，解得。 。M1DF30º。此时动点M经过的弧长为：。过点M1作M1M2DF交D于点M2，则满足，此时M2DF150º，动点M经过的弧长为：。综上所述，当SHDFSMDF时，动点M经过的弧长为或。【考点】菱形的性质，角平分线的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长公式。【分析】（1）连接DE，过点D作DNBC，垂足为点N，则根据菱形的性质可得BD平分ABC，根据角平分线上的点到角的两边距

23、离相等的性质可得DN=DE，即BC垂直于过D上点N的半径，从而得到D与边BC也相切的结论。（2）求出HDF和扇形HDF即可求得阴影部分的面积。（3）根据SHDFSMDF求出圆心角即可求动点M经过的弧长。注意有两点。6. （2012山东聊城7分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC，CEBD求证：四边形OCED是菱形【答案】证明：DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形。 四边形ABCD是矩形，OC=OD。四边形OCED是菱形。【考点】矩形的性质，菱形的判定。【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用

24、一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论。7. （2012山东临沂7分）如图，点AF、CD在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，A=D，AF=DC（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形【答案】（1）证明：AF=DC，AF+FC=DC+FC，即AC=DF。在ABC和DEF中，AC=DF，A=D，AB=DE，ABCDEF（SAS）。BC=EF，ACB=DFE，BCEF。四边形BCEF是平行四边形（2）解：连接BE，交CF与点G，四边形BCEF是平行四边形，当BECF时，四边形BCEF是

25、菱形。ABC=90°，AB=4，BC=3，AC=。BGC=ABC=90°，ACB=BCG，ABCBGC。，即。FG=CG，FC=2CG=，AF=ACFC=5。当AF=时，四边形BCEF是菱形【考点】平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行的判定，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由AB=DE，A=D，AF=DC，根据SAS得ABCDEF，即可得BC=EF，且BCEF，即可判定四边形BCEF是平行四边形。（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BECF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，证得ABCBGC，由相似三角形的对应边

26、成比例，即可求得AF的值。8. （2012山东青岛8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BEAC于E，DFAC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点(1)求证：BOEDOF；(2)若OABD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由【答案】解：（1）证明：BEACDFAC，BEO=DFO=90°。点O是EF的中点，OE=OF。又DOF=BOE，BOEDOF（ASA）。（2）四边形ABCD是矩形。理由如下：BOEDOF，OB=OD。又OA=OC，四边形ABCD是平行四边形。OA=BD，OA=AC，BD=AC。平行四边形ABCD是矩形。【考点】全等三角形的判定和性质

27、，矩形的判定。【分析】（1）根据垂直可得BEO=DFO=90°，再由点O是EF的中点可得OE=OF，再加上对顶角DOF=BOE，可利用ASA证明BOEDOF。（2）根据BOEDOF可得DO=BO，再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论。9. （2012山东日照9分）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BFAE，垂足为H,交CD于F,作CGAE,交BF于G.求证：（1） CG=BH；（2）FC2=BF·GF；（3）.10. （2012山东泰安10分）如图，E是矩形ABCD的边BC上一

28、点，EFAE，EF分别交AC，CD于点M，F，BGAC，垂足为C，BG交AE于点H（1）求证：ABEECF；（2）找出与ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABE=ECF=90°AEEF，AEB+FEC=90°，AEB+BEA=90°。BAE=CEF。ABEECF。（2）ABHECM。证明如下：BGAC，ABG+BAG=90°。ABH=ECM。由（1）知，BAH=CEM，ABHECM。（3）作MRBC，垂足为R，AB=BE=EC=2，AB：BC=MR：RC=2，

29、AEB=45°。MER=45°，CR=2MR。MR=ER=。EM=。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得ABE=ECF=90°，又由EFAE，利用同角的余角相等，可得BAE=CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：ABEECF。（2）由BGAC，易证得ABH=ECM，又由（1）中BAH=CEM，即可证得ABHECM。（3）首先作MRBC，垂足为R，由AB：BC=MR：RC=2，AEB=45°，即可求得MR的长，又由EM= 即可求得答案。1

30、1. （2012山东威海10分）（1）如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O。直线EF过点O，分别交AD、BC于点E、F 求证：AE=CF。（2）如图，将ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处。设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I。 求证：EI=FG。【答案】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC。EAO=FCO，AEO=CFO。 又四边形ABCD是平行四边形，OA=OC。 AOECOF（AAS）。AE=CF。 （2）由（1）得，AE=CF。 由折叠性质，得AE=A1E，A1E=CF。 A1=A=C，B1=B=D， E

31、IA1=DIH=1800DDHI=1800B1B1HG=B1GH=FGC。 在EIA1和FGC中，A1=C，EIA1 =FGC，A1E=CF， EIA1FGC（AAS）。EI=FG。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质， 三角形内角和定理，对顶角的性质。【分析】（1）要证AE=CF，只要AOE和COF全等即可。一方面由平行四边形对边平行的性质和平行线内错角相等的性质，可得EAO=FCO，AEO=CFO；另一方面由平行四边形对角线互相平分的性质，可得OA=OC。从而根据AAS可证。 （2）要证EI=FG，只要EIA1和FGC全等即可。一方面由（1）可得AE=C

32、F；另一方面由折叠的性质、三角形内角和定理和对顶角相等的性质，可得A1=C，EIA1 =FGC。从而根据AAS可证。12. （2012山东潍坊10分）如图，已知平行四边形ABCD，过A作AMBC于M，交BD于E，过C作CNAD于N，交BD于F，连结AF、CE (1)求证：四边形AECF为平行四边形； (2)当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值【答案】（1）证明四边形ABCD是平行四边形（已知），BCAD（平行四边形的对边相互平行）。又AM丄BC（已知），AMAD。CN丄AD（已知），AMCN。AECF。又由平行得ADE=CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等）。在ADE和CBF中， DAE=BCF=90 ，AD=CB，ADE=FBC，ADECBF（ASA），AE=