高等数学训练之数项级数

1、第六讲 数项级数的敛散性判别法§1 柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理：设，都是正项级数，存在，使（i） 若收敛，则也收敛；（ii） 若发散，则也发散比较原理（极限形式）设，均为正项级数，若 则、同敛散根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而得到的审敛法下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法定理1（柯西判别法1）设为正项级数，（i）若从某一项起（即存在，当时）有（为常数），则收敛；（ii）若从某项起，则发散证（i）若当时，有，即，而级数收敛，根据比

2、较原理知级数也收敛（ii）若从某项起，则，故，由级数收敛的必要条件知1 / 24发散定理证毕定理2（柯西判别法2）设为正项级数，则：（i）当时，收敛；（ii） 当（或）时，发散；（iii）当时，法则失效例1 判别下列正项级数的敛散性；（为任何实数，）解 (1) 因为，所以原级数收敛(2) 因为，所以原级数发散(3) 对任意，当时收敛；当时发散；当时，此时级数是级数，要对进行讨论，当，即时收敛；当时，即时发散例2 判别级数的敛散性解 由于不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性又因为由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛例3（98考研）设正项数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由解 答

3、案：级数收敛，证明如下：由于单调减少且根据单调有界准则知极限存在设则如果则由莱布尼兹判别法知收敛，这与发散矛盾，故再由单调减少，故取， 根据柯西判别法1知收敛下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法定理3（广义柯西判别法1） 设为正项级数，如果它的通项的次根的极限等于，即则当时，级数收敛；当时，级数发散；当级数可能收敛也可能发散证因为，即对任给正数，存在正整数，当时，有 （1）对于任给常数，总存在，当有时有 （2）取，当时，式（1）和式（2）同时成立 当时，取足够小，使由上述讨论，存在，当时，式（1）和式（2）同时成立，那么有，正项级数收敛（因为其为等比级数且公比），由比较审敛法知

4、，级数收敛当时，取足够小，使，由上面的讨论，存在，当时，式（1）和式（2）同时成立，则，正项级数发散，由比较审敛法知，级数发散 当时，取，那么，对任何为常数，有而发散，收敛说明此时级数可能收敛也可能发散定理证毕例4 判别级数的收敛性解因为由广义柯西判别法1知，级数收敛注例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多定理4（广义柯西判别法2） 设为正项级数，如果它的一般项的（是大于1的正整数）次根的极限等于，即则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散证 因为，即对任给的正数，存在正整数，当时有 当时，取足够小，使由上面的讨论，存在，当时，有因为

5、，又正项级数收敛（因），由比较审敛法知收敛 ，所以收敛当时，取足够小，使由上面的讨论，存在，当时，有，那么，所以级数发散当时，同样取，那么这说明时，级数可能收敛也可能发散定理证毕注广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广1事实上，在广义柯西判别法1中，取，在广义柯西判别法2中，取便得定理2（柯西判别法2）例5 判断级数的收敛性 解 因为，由广义柯西判别法2知原级数收敛定理5（广义柯西判别法3） 设，若，则当时，级数收敛；当时，级数发散2为证明定理5，需要一些预备知识：Stolz定理 设、为两个数列，数列在某顶之后单调递增,且，若，（或），则（或）命题1 设数列若，则。证 令，由Stolz定

6、理，命题证毕命题2设，则证 由，考虑数列，由对数函数的连续性易知再由命题1知根据指数函数的连续性便得或时，结论仍成立，这里证明略去命题3 设，则证 令，由命题2命题证毕证明定理5 由命题3知，再用柯西判敛法(定理2) 便得结论定理证毕显然，定理2(柯西判敛法2)是广义柯西判别法3当时的特例例6 判定级数的敛散性.解 设，则由于，根据广义柯西判别法3知，级数收敛例7 判定的敛散性解 设，则 ， 所以，当时，级数收敛当时，由于，广义柯西判别法3失效然而时由级数收敛的必要条件知，当时级数发散§2达朗贝尔判别法及其推广用比较原理也能推出更宽泛的达朗贝尔判别法定理6（达朗贝尔判别法1） 设为正

7、项级数,（i） 若从某项起，有，则收敛；（ii） 若从某项起，有，则发散证明（i）由时，有，从而，由于收敛，由比较原理知收敛，故收敛（ii）若存在，当时，有，则，故，由级数收敛的必要条件知发散定理证毕定理7（达朗贝尔判别法2）设，则（i）若，则收敛；（ii）若（或），则发散；（iii）若，敛散性不能确定这正是高等数学中的达朗贝尔判别法例8判别下列级数的敛散性；解 （1）因为，所以级数收敛（2） 因为，所以原级数发散（3） 对任意，当时，级数收敛；当时，级数发散；当时原级数为的敛散性要进一步判定当时级数收敛，当时级数发散例9判别级数的敛散性解 因为及故存在当时，有从而，当时，根据定理6，可知级数

8、收敛下面介绍达朗贝尔判别法的推广，也称它们为广义达朗贝尔判别法定理8（广义达朗贝尔判别法） 设为正项级数，是某正整数，（i） 如果对一切，有，则级数收敛；（ii） 如果，则级数发散证（i） 由于，则，从而其中是任意正整数，可见，对，都有考虑级数的部分和序列即有上界，从而存在，设注意到故，即，所以收敛若成立，则，从而，故，所以级数发散定理证毕例10判别级数的收敛性解 取，由于根据定理8知该级数收敛定理9（广义达朗贝尔判别法2） 设为正项级数，是某一正整数， （i） 如果,则级数收敛；（ii） 如果,则级数发散证 （i） 如果，对，存在，当时，有从而由定理8（广义达朗贝尔判别法1）知收敛如果，则从

9、某项开始，此时，故原级数发散例11确定下列级数的敛散性（1）；（2）解 （1） 取，由于，所以原级数收敛（2） 取 ，由于，所以原级数收敛§3 积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性及其积分性质，把无穷区间上的广义积分作为比较对象来判别正项级数的敛散性定理10（柯西积分判别法） 对于正项级数，设单调减少，作单调减少的连续函数，使单调减少，则级数与广义积分同时收敛，同时发散证由单调减少，故对，所以 （3）若广义积分收敛，则对任何自然数由上不等式（3），有 既部分数列有界，故级数收敛反之，若级数收敛，则由不等式（3），则对任何自然数有 （4）又知,则是的单增函数，由（4）可知有上界，

10、根据单调有界准则知广义积分收敛定理证毕例12讨论级数的敛散性，其中为常数解 取它在上非负，单调减少且连续令当时，当时，故级数当收敛，当时发散注对于正项级数考察广义积分同样可推得当收敛，当时发散§4 拉贝尔判别法与高斯判别法 柯西判别法和达朗贝尔判别法是基于把所要判别的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的，也就是说，如果给定级数的通项收敛于零的速度比某收敛的等比（几何）级数的通项收敛于零的速度快，则能判定该级数收敛如果级数的通项收敛于零的速度较慢，它们就无能为力了拉贝（Raabe）以级数作为比较对象，得到了拉贝判别法高斯(Gauss)以级数作为比较对象，得到了高斯判别法定理11 （拉

11、贝判别法）设为正项级数，若有 （5）则在时，级数收敛；而在时，级数发散证略注 等式（5）式其实相当于 （6）推论（拉贝判别法的极限形式）设为正项级数，且极限（6）存在，则：（i）当时，级数收敛；（ii）当时，级数发散；（iii）当时，拉贝判别法失效例 13 讨论级数当时的敛散性解 对于任何都有因此，用达朗贝尔判别法不能判别其敛散性下面用拉贝判别法来讨论：当时，由于故当时级数发散；当时，由于此时，拉贝判别法不能判别级数的敛散性；当时，由于因此，当时级数收敛还有比拉贝判别法更“精密”的判别法，例如高斯判别法：定理12（高斯判别法）设为正项级数，若有 （7）则在时级数收敛；而在时级数发散注 级数的敛

12、散性是用部分和数列的极限来定义的一般说来，部分和不易求得，于是级数的敛散性判别法就应运而生以正项级数而言，从部分和有界这个充要条件出发，推出了比较原理它须用预知其敛散性的级数作比较对象若用几何级数充任比较级数，得到了柯西判别法与达朗贝尔判别法这两个方法简单易行，但当极限为1时，方法就失效了若要得出结果，只能用比几何级数收敛得更“慢”的级数作为比较级数拉贝选取了级数，从而得到了以他命名的判别法拉贝判别法较柯西判别法及达朗贝尔判别法应用广泛，但拉贝判别法的可能为1，此法仍可能失效于是又得寻求比级数收敛得慢的级数，级数就符合此要求，高斯就是用它从而建立了以他命名的判别法，此法较拉贝判别法的用途更广沿

13、此思路下去又会发现级数较收敛散得更慢，从理论上讲，还可以建立较高斯判别法更“精密”的判别法如果某级数，用上述的判别法都无能为力，我们可以用敛散性定义、充要条件（部分和有界）或柯西（Cauchy）收敛准则去解决，没有必要再设法建立更精密的判别法了§5 阿贝尔判别法与狄立克雷判别法阿贝尔变换为了求和数，阿贝尔给出了一个初等变换，引进和数 即 （8）公式(8)称为阿贝尔变换公式，它与分部积分公式十分相似： （9） 其中，如果把换成，换成，换成，则(8)式就转化为(9)式阿贝尔引理 如果（i）单调（增或减）的；（ii）有界，即存在使则 （10）证 利用阿贝尔变换： 由于是同号（单调），于是有

14、推论如果，并且那么 （11）下面用阿贝尔引理来建立比莱布尼兹判别法更为一般的收敛判别法：阿贝尔判别法及狄立克雷判别法用它们判别形如 级数的敛散性十分有效定理13（阿贝尔判别法） 如果：（i）收敛，（ii）数列单调有界，即存在正数，使得则级数收敛证 利用阿贝尔引理来估计和数 （12）由条件（i）收敛，即对任给，存在，当对任何自然数，有取为阿贝尔引理中的M, 再由条件（ii），则有，由柯西收敛原理知级数收敛定理证毕定理14（狄立克雷判别法）如果：（i）级数的部分和有界，即存在正数，使（ii）并设数列单调趋向于零，则级数收敛证 由于，故对任意，存在N，当时，就有 再由条件（i）有 注意这里的2M就是

15、引理中的M，所以当时，对任何自然数m，有由柯西收敛原理知收敛注 在狄立克雷判别法中，特取，就是莱布尼茨判别法因此，莱布尼茨判别法是狄立克雷判别法的特殊情况例14 若级数收敛，证级数，都收敛证取，分别取，它们都是单调有界的，由阿贝尔判别法知它们均收敛例15 若数列单调趋于零，证明： （1） 级数对任何都收敛； （2） 级数对任何都收敛，而当时，须根据的性质进一步判定证（1） 先考虑当时，级数的部分和，由积化和差公式 ，有 从而 （）由狄立克雷判别法知 收敛当时，级数的通项为零，级数自然收敛（2） 由和差化积公式（） 有 从而由狄立克雷判别法知 收敛习题选择题（1）设，则下列级数中肯定收敛的是（）

16、（2）设，则级数（）（3）下列各选项正确的是（ ）（4）若级数收敛，则级数（ ）用比较判别法判别下列级数的敛散性： 设级数有试证收敛时，敛4判别下列级数的敛散性： 5判别下列级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛 6.设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且,证明级数绝对收敛7设证明：（1）存在；（2）级数收敛8若两个正项级数和发散，问两级数的敛散性如何？9讨论下列级数的敛散性10讨论下列级数的绝对收敛和条件收敛性11设收敛，收敛，证明也收敛12设级数收敛，又是收敛的正项级数，证明绝对收敛答案12. (1)发散; (2)收敛; (3)时收敛, 时发散; (4)收敛.4. (1)收敛; (2)收敛; (3)收敛; (4)发散