北京市房山区2013届高三数学第二次模拟考试 文（房山二模）（含解析）北师大版

1、2013年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1（5分）（2013房山区二模）若pq是假命题，则（）Apq是假命题Bpq是假命题Cp是假命题Dq是假命题考点：复合命题的真假专题：常规题型分析：由题意，可得p，q的真假性，进而得到正确选项解答：由于pq是假命题，则p是假命题，q是假命题，所以p是真命题，q是假命题，所以pq是假命题，pq是真命题，q是真命题，故选A点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断2（5分）（2013房山

2、区二模）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）Ay=x1By=tanxCDy=x3考点：奇偶性与单调性的综合专题：函数的性质及应用分析：根据函数的奇偶性、单调性的定义逐项判断即可解答：解：y=x1的图象不过原点，所以y=x1不是奇函数，故排除A；y=tanx在每个区间（k，k+）（kZ）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除B；y=在（，0），（0，+）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除C；令f（x）=x3，其定义域为R，且f（x）=（x）3=x3=f（x），所以f（x）为奇函数，又f（x）=3x20，所以f（x）在R上单调递增，故选D点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判

3、断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握3（5分）（2013房山区二模）为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上（）A所有点向右平移1个单位长度B所有点向下平移1个单位长度C所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）考点：函数的图象与图象变化专题：函数的性质及应用分析：由于函数y=lg=lgx1，把函数y=lgx的图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得函数函数y=lg=lgx1的图象，由此得出结论解答：解：函数y=lg=lgx1，把函数y=lgx的图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得函数函数y=lg=lgx1的图象，故选B点评

4、：本题主要考查函数的图象平移变换方法，依据x加减左右平移（左加右减），函数值加减上下平移（加向上、减向下），属于基础题4（5分）（2013房山区二模）设平面向量=（1，2），=（2，y），若，则|2|等于（）A4B5CD考点：平行向量与共线向量；向量的模专题：平面向量及应用分析：利用向量共线定理即可得出y，从而计算出的坐标，利用向量模的计算公式即可得出解答：解：，2×2y=0，解得y=4=2（1，2）（2，4）=（4，8），|2|=故选D点评：熟练掌握向量共线定理、向量模的计算公式是解题的关键5（5分）（2013房山区二模）执行如图所示的程序框图则输出的所有点（x，y）（）A都在函数

5、y=x+1的图象上B都在函数y=2x的图象上C都在函数y=2x的图象上D都在函数y=2x1的图象上考点：程序框图专题：图表型分析：开始x=1，y=2，输出（x，y），继续循环，x=x+1，y=2yx4就循环，当x4时，循环结束最后看碟输出（x，y）值适合哪一个函数的解析式即可解答：解：开始：x=1，y=2，进行循环：输出（1，2），x=2，y=4，输出（2，4），x=3，y=8，输出（3，8），x=4，y=16，输出（4，16），x=5，y=32，因为 x=54，退出循环，则输出的所有点（1，2），（2，4），（3，8），（4，16）都在函数y=2x的图象上故选C点评：本题主要考查了直到型循环

6、结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模6（5分）（2013房山区二模）已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（）ABCD考点：简单线性规划；两点间的距离公式专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD因为四边形ABCD的对角线BD是区域中最长的线段，所以当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，|MN|取得最大值，由此结合两点间的距离公式可得本题答案解

7、答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），C（，），D（1，2）M、N是区域内的两个不同的点运动点M、N，可得当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远因此|MN|的最大值是|BD|=故选：B点评：题给出二元一次不等式组表示的平面区域内动点M、N，求|MN|的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题7（5分）（2013房山区二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）ABCD9考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解

8、几何体的表面积即可解答：解：三视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长：3，3其中斜侧面的高为：3几何体的表面积是：=故选A点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断几何体的形状是解题的关键8（5分）（2013房山区二模）定义运算=，称=为将点（x，y）映到点（x，y）的一次变换若=把直线y=x上的各点映到这点本身，而把直线y=3x上的各点映到这点关于原点对称的点则p，q的值分别是（）Ap=3，q=3Bp=3，q=2Cp=3，q=1Dp=1，q=1考点：系数矩阵的逆矩阵解方程组专题：新定义分析：设（1，1）是曲线y=x上的点，在矩阵 的作用下的点为（1，1），再设（1，3）是

9、曲线y=3x上的点，在矩阵的作用下的点为（1，3），得出关于p，q的方程组，从而解决问题解答：解：设（1，1）是曲线y=x上的点，在矩阵 的作用下的点为（1，1），即 ，即P+q=1设（1，3）是曲线y=3x上的点，在矩阵的作用下的点为（1，3），即p+3q=3由得p=3，q=2故选B点评：本小题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）（2013房山区二模）在复平面内，复数i（2i）对应的点的坐标为（1，2）考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：利用复

10、数的运算法则化为1+2i，再利用复数的几何意义可得到复数i（2i）对应的点的坐标解答：解：复数i（2i）=1+2i复数i（2i）对应的点的坐标为（1，2）故答案为（1，2）点评：熟练掌握复数的运算法则、复数的几何意义是解题的关键10（5分）（2013房山区二模）已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA=，tan（A+）=7考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的求值分析：利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值，可得tanA的值，再利用两角和的正切公式求得tan（A+）的值解答：解：已知角A为三角形的一个内角，且，则sinA=，tanA=tan（A+）=7，故答

11、案为 ，7点评：本题主要考查两角和差的正切公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题11（5分）（2013房山区二模）数列an是公差不为0的等差数列，a1=1，且a3是a1，a9的等比中项，则数列an的通项公式an=n考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：设公差为d，则由题意可得 （1+2d）2=1×（1+8d），解得d=1，由此求得数列an的通项公式解答：解：数列an是公差不为0的等差数列，a1=1，且a3是a1，a9的等比中项，设公差为d，则有 （1+2d）2=1×（1+8d），解得d=1，故数列an的通项公式an=1+（n1）

12、15;1=n，故答案为 n点评：本题主要考查等比数列的性质，等差数列的通项公式，属于中档题12（5分）（2013房山区二模）实数a，b满足2a+b=5，则ab的最大值为考点：二次函数的性质专题：不等式的解法及应用分析：由题目给出的等式，把b用含有a的代数式表示，代回ab后化为关于a的一元二次函数，利用配方法求最大值解答：解：由2a+b=5，得：b=52a，所以ab=a（52a）=2a2+5a=2=所以ab的最大值为故答案为点评：本题考查了二次函数的性质，考查了数学转化思想，训练了利用配方法求函数的最值，解答此题的关键是把要求值的代数式转化为二次函数的最值问题，是基础题13（5分）（2013房山

13、区二模）抛物线C：y2=2px的焦点坐标为，则抛物线C的方程为y2=2x考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线y2=2px，可知焦点坐标为（，0），故可求p，从而得到抛物线C的方程解答：解：由题意，=p=1，则抛物线C的方程为 y2=2x故答案为：y2=2x点评：本题以抛物线为载体，考查几何性质，属于基础题14（5分）（2013房山区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设f（x）是函数y=f（x）的导数，f（x）是f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐

14、点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心若，则该函数的对称中心为，计算=2012考点：导数的概念专题：新定义；函数的性质及应用分析：根据函数f（x）的解析式求出f（x）和f（x），令f（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）的对称中心由于函数的对称中心为（，1），可知f（x）+f（1x）=2，由此能够求出所给的式子的值解答：解：，则 f（x）=x2x+，f（x）=2x1，令f（x）=2x1=0，求得x=，故函数y=f（x）的“拐点”为（，1）由于函数的对称中心为（，1），f（x）+f（1x）=2，=2×1006=2

15、012，故答案为 （，1），2012点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）（2013房山区二模）已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）的最小正周期为，且图象过点（）求，的值；（）设，求函数g（x）的单调递增区间考点：y=Asin（x+）中参数的物理意义；二倍角的正弦；正弦函数的单调性专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（）利用函数的周期公式求出，通过函数图象经过的点直接求解的值；（）化简的表达式，通过正弦

16、函数的单调增区间，直接求函数g（x）的单调递增区间解答：解：（）因为函数f（x）=sin（x+）（0，0）的最小正周期为，所以T=，=2，图象过点所以，0，所以=（）因为=sin（2x+）sin（2x）=cos2xsin2x=sin4x，由2k，kZ得 ，所以函数的单调增区间为点评：本题考查三角函数的化简，函数的周期的求法，二倍角的正弦函数，函数的单调性的应用，考查计算能力16（14分）（2013房山区二模）如图，ABCD是正方形，DE平面ABCDAFDE，DE=DA=2AF=2（） 求证：AC平面BDE；（） 求证：AC平面BEF；（） 求四面体BDEF的体积考点：直线与平面垂直的判定；直线

17、与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离分析：（） 由题意可得DEAC，ACBD，由线面垂直的判定定理可得；（） 设ACBD=O，取BE中点G，连结FG，OG，可证AFGO是平行四边形，所以FGAO，线面平行的判定定理可得；（）可得AB平面ADEF，结合已知数据，代入体积公式可得答案解答：（）证明：因为DE平面ABCD，AC平面ABCD，所以DEAC（1分） 又因为ABCD是正方形，所以ACBD，（2分）因为DEBD=D（3分）由线面垂直的判定定理可得：AC平面BDE（4分）（）证明：设ACBD=O，取BE中点G，连结FG，OG，所以OGDE，且OG=DE，因为AFDE，DE=2AF，所以AF

18、OG，AF=OG，所以，OG，且OG=（5分）因为AFDE，DE=2AF，所以AF=OG，且AFOG（6分）故可得四边形AFGO是平行四边形，所以FGAO（7分）因为FG平面BEF，AO平面BEF，（8分）所以AO平面BEF，即AC平面BEF（9分）（）解：因为DE平面ABCD，所以 DEAB因为正方形ABCD中，ABAD，所以AB平面ADEF（11分）因为AFDE，DE=DA=2AF=2，所以DEF的面积为，所以四面体BDEF的体积=（14分）点评：本题考查直线与平面平行和垂直的判定，涉及四面体体积的求解，属中档题17（13分）（2013房山区二模）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字

19、0，1，2，3，4，5，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b（）求事件b=3a的概率；（）求事件“点（a，b）满足a2+（b5）29”的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题：概率与统计分析：（I）由题可知a的取值为0，1，2，3，4，5，b的取值为6，7，8，9，从而得出基本事件空间数，求出满足b=3a的基本事件数，进而可求事件b=3a的概率；（II）满足条件的基本事件空间中基本事件的个数为24，设满足“复数在复平面内对应的点（a，b）满足a2+（b5）29”的事

20、件为B当b=8时，a=0，当b=7时，a=0，1，2，当b=6时，a=0，1，2，利用古典概率的计算公式可求事件“点（a，b）满足a2+（b5）29”的概率解答：解：（）由题可知a的取值为0，1，2，3，4，5，b的取值为6，7，8，9基本事件空间：=（0，6），（0，7），（0，8），（0，9），（1，6），（1，7），（1，8），（1，9），（2，6），（2，7），（2，8），（2，9），（3，6），（3，7），（3，8），（3，9），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9）共计24个基本事件 （3分）满足b=3a的有（2，6），（3，

21、9）共2个基本事件所以事件b=3a的概率为 （7分）（）设事件B=“点（a，b）满足a2+（b5）29”当b=8时，a=0满足a2+（b5）29当b=7时，a=0，1，2满足a2+（b5）29当b=6时，a=0，1，2满足a2+（b5）29所以满足a2+（b5）29的有（0，6），（0，7），（0，8），（1，6），（1，7），（2，6），（2，7），所以（13分）点评：本题主要考查了古典概率的计算公式的应用，解答（2）的关键是要由a2+（b5）29要对b的值分类讨论18（13分）（2013房山区二模）已知函数f（x）=（ax2）ex在x=1处取得极值（）求a的值；（）求函数f（x）在m，m+

22、1上的最小值；（）求证：对任意x1，x20，2，都有|f（x1）f（x2）|e考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值专题：综合题；分类讨论；转化思想；导数的综合应用分析：（）求导数f（x），由题意得f（1）=0，可得a值，代入检验即可；（）当a=1时可求出f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间m，m+1的左侧、内部、右侧三种情况进行即可求得其最小值；（）对任意x1，x20，2，都有|f（x1）f（x2）|e，等价于|f（x1）f（x2）|fmax（x）fmin（x）e问题转化为求函数f（x）的最大值、最小值问题，用导数易求；解答：解：（）f'（x）=aex+（a

23、x2）ex=（ax+a2）ex，由已知得f'（1）=0，即（2a2）e=0，解得：a=1，验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x2）ex取得极小值，所以a=1；（）f（x）=（x2）ex，f'（x）=ex+（x2）ex=（x1）exx（，1）1（1，+）f'（x）0+f（x）减增所以函数f（x）在（，1）上递减，在（1，+）上递增当m1时，f（x）在m，m+1上单调递增，fmin（x）=f（m）=（m2）em当0m1时，m1m+1，f（x）在m，1上单调递减，在1，m+1上单调递增，fmin（x）=f（1）=e当m0时，m+11，f（x）在m，m+1单调递减，

24、综上，f（x）在m，m+1上的最小值（）由（）知f（x）=（x2）ex，f'（x）=ex+（x2）ex=（x1）ex令f'（x）=0得x=1，因为f（0）=2，f（1）=e，f（2）=0，所以fmax（x）=0，fmin（x）=e，所以，对任意x1，x20，2，都有|f（x1）f（x2）|fmax（x）fmin（x）=e，点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想、转化思想，关于恒成立问题往往转化为函数最值问题解决19（14分）（2013房山区二模）已知椭圆（ab0）的焦点坐标为，离心率为直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点（）求椭圆的方程；（）是否存在实数k

25、，使得以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由焦点坐标可得c，由离心率可得a，由a2=b2+c2得b；（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程消掉y，若存在以PQ为直径的圆过点D（1，0），则，即，根据向量数量积运算、韦达定理即可得关于k的方程，解出k检验是否满足0即可；解答：解：（）由，a2=b2+c2得，b=1，所以椭圆方程是：；（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+2，y2=kx2+2，将y=kx+2代入，整理得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*），则，以PQ为直径的圆过D（1，0），则，即，所以=（x1+1，y1）（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2=x1x2+（x1+x2）+y1y2+1=（k2+1