两角和与差的正弦、余弦和正切

1、两角和与差的正弦、余弦和正切一、教学目标1掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角 公式进行证明、化简和求值 二、重点、难点、易错(混)点、常考点灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值三、知识梳理【创新设计P57】四、精选例题+变式训练sin 47 丄 sin 17 cOs 30 cos 17 °考点一三角函数式的化简、求值问题【例1】(1)(2012重庆卷改编)化简：2sin 50 -Psin 10 (1 + V3tan 10 )g2sin280 =

2、规律揭示:(1)技巧：寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； 正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等.(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化.【训练1】求值:2cos10： -sin 20sin 70；【训练2】化简:1 + sin 0+ cos 0 sin 2 cos 2(1) :2_ (其中:寸2+ 2cos 0,、1 +si n2ocos2o(0< 0< n )考点二【例2】(1)已知1 sin 2 ：亠 cos2：三角函数的给角求

3、值与给值求角问题13n0< 仟2< a< n,且 cos(2)已知(3)已知11口cos a=才，cos( a+ Q = 3 , 且 a,0 ,卫_1a 2 = 9, sin1 ,)且 tan(a Q)= 2，tan Q= 7,求 2a Q的值.a,(0, n亦，求COS(a ®的值.23，求 cos( a+ ® 的值;317'规律揭示:(1)解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有：专=a Q 寸Q ； a= (a Q + Q等；+ a=扌計a ； 15°=45° 30

4、° 等.(2)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然 后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可.(3)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：已知正切 函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是o, n ,选正、余弦皆可；若角的范围是(0,冗)选余弦较好；若角的范围为n,扌,选正弦较好.AA Q【训练1】已知COS a= -, cos(a 3 =石，且0仟才.(1)求 tan 2 a 的值；(2)求 3-【训练2】(2012江苏卷)设a为锐角，若COS fa+ 詐 5，则n

5、 Q+益的值为 考点三三角变换的简单应用【例 3】已知 f(x)= £ + tanX.Sin2x 2sin+£)s叱一*n % I(1)若tan a= 2,求f( a的值；(2)若 x石，？，求f(x)的取值范围.规律揭示:(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用T的代换技巧，将sin 2 a, COS 2 a化为关于正切tan a的关系式，为第(1)问铺平道路.(2)把形如y= asin x+ bcos x化为y=". a2 + b2sin(x+，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【训练1】已知函数f(x) = 4cos x sin x+才1

6、.求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间主备人：杨洪亮-n才”的最大值和最小值.【训练2】已知 ABC的三个内角 A,B,C对应的边长分别是 a,b,c，向量m = (sinB,1-cosB)与向量 1n =(2,0)的夹角二的余弦值为一.2(1)求角B的大小；(2)若lABC的外接圆的半径为1，求a c的范围五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】1.重视三角函数的 三变” 三变”是指 变角、变名、变式”变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、 特殊角；变名：尽可能减少函数名称； 变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数

7、名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.2已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减， 观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复 杂问题简单化.3熟悉三角公式的整体结构，灵活变换本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要 掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点， 涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.六、课后反思(1) 本节课我回顾了哪些知识： (2) 本节课我重新认识了哪些道理： (3)本节课学习中还存在哪些不足： 备用题:3 -sin 70c1求值