离散数学 最短路径和关键路径

1、17.4 最短路径与关键路径最短路径与关键路径n带权图带权图n最短路径与最短路径与Dijkstra标号法标号法nPERT图与关键路径图与关键路径2最短路径最短路径带权图带权图G=, 其中其中w:ER. e E, w(e)称作称作e的的权权. e=(vi,vj), 记记w(e)=wij . 若若vi,vj不不相邻相邻, 记记wij = . 设设L是是G中的一条路径中的一条路径, L的所有边的权之和称作的所有边的权之和称作L的的权权, 记作记作w(L).u和和v之间的之间的最短路径最短路径: u和和v之间权最小的通路之间权最小的通路.例例1 L1=v0v1v3v5, w(L1)=10, L2=v0

2、v1v4v5, w(L2)=12, L3=v0v2v4v5, w(L3)=11.3标号法标号法(E.W.Dijkstra, 1959) )(ril设带权图设带权图G=, 其中其中 e E, w(e) 0.设设V=v1,v2,vn, 求求v1到其余各顶点的最短路径到其余各顶点的最短路径p标号标号(永久性标号永久性标号) : 第第r步获得的步获得的v1到到vi最短路径的最短路径的权权t标号标号(临时性标号临时性标号) : 第第r步获得的步获得的v1经过经过p标号顶点标号顶点到达到达vi的路径的最小权的路径的最小权, 是是v1到到vi的最短路径的权的上的最短路径的权的上界界第第r步通过集步通过集Pr

3、=v | v在第在第r步已获得永久性标号步已获得永久性标号第第r步未通过集步未通过集Tr=V-Pr)(ril4标号法标号法(续续) )0(il1. v1获获p标号标号: =0, P0=v1, T0=V-v1, vj(j=2,3,n)获获t 标标 号号: =wij. 令令r1.2. 设设 , vi获得获得p标号标号: . 令令 Pr=Pr-1 vi, Tr=Tr-1-vi. 若若Tr=, 则结束则结束.3. vj Tr, 令令 令令r=r+1, 转转2.)1()( ririll)0(jlmin)1()1(1 rjTvrillrj,min)()1()(ijrirjrjwlll 算法算法: :5标号

4、法标号法(续续)例例1(续续) 求求v0到到v5的最短路径的最短路径 v0 v1 v2 v3 v4 v5 0 0 1 4 1 1/v0 3 8 6 2 3/v1 8 4 3 7 4/v2 10 4 7/v4 9 5 9/v3 w 0 1 3 7 4 9 =v0v1v2v4v3v5, w( )=9vir6PERT图图(计划评审技术图计划评审技术图)设有向图设有向图G=, v Vv的的后继元集后继元集 +(v)=x|x V Ev的的先驱元集先驱元集 -(v)=x|x V EPERT图图:满足下述条件的满足下述条件的n阶有向带权图阶有向带权图D=,(1) D是简单图是简单图,(2) D中无回路中无回

5、路,(3) 有一个入度为有一个入度为0的顶点的顶点, 称作称作始点始点; 有一个出度为有一个出度为0 的顶点的顶点, 称作称作终点终点.通常边的权表示时间通常边的权表示时间, 始点记作始点记作v1, 终点记作终点记作vn7关键路径关键路径关键路径关键路径: PETR图中从始点到终点的最长路径图中从始点到终点的最长路径vi的最早完成时间的最早完成时间TE(vi): 从始点从始点v1沿最长路径到沿最长路径到vi所需的时间所需的时间 TE(v1)=0 TE(vi)=maxTE(vj)+wji|vj -(vi), i=2,3,nvi的最晚完成时间的最晚完成时间TL(vi): 在保证终点在保证终点vn的

6、最早完成的最早完成时间不增加的条件下时间不增加的条件下, 从始点从始点v1最迟到达最迟到达vi的时间的时间 TL(vn)=TE(vn) TL(vi)=minTL(vj)-wij|vj +(vi), i=n-1,n-2,18关键路径关键路径(续续)vi的缓冲时间的缓冲时间TS(vi)=TL(vi)-TE(vi), i=1,2,nvi在关键路径上在关键路径上TS(vi)=09例例2 求求PERT图中各顶点的最早完成时间图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成最晚完成时间时间, 缓冲时间及关键路径缓冲时间及关键路径.解解 最早完成时间最早完成时间 TE(v1)=0 TE(v2)=max0+1=1 TE(

7、v3)=max0+2,1+0=2 TE(v4)=max0+3,2+2=4 TE(v5)=max1+3,4+4=8 TE(v6)=max2+4,8+1=9 TE(v7)=max1+4,2+4=6 TE(v8)=max9+1,6+6=1210例例2(续续)最晚完成时间最晚完成时间 TL(v8)=12 TL(v7)=min12-6=6 TL(v6)=min12-1=11 TL(v5)=min11-1=10 TL(v4)=min10-4=6 TL(v3)=min6-2,11-4,6-4=2 TL(v2)=min2-0,10-3,6-4=2 TL(v1)=min2-1,2-2,6-3=011例例2(续续)缓冲时间缓冲时间 TS(v1)=0-0=0 TS(v2)=2-1=