九年级数学相似多边形的性质

1、w你还记得相似三角形对应高的比与相似比的关你还记得相似三角形对应高的比与相似比的关系及其理由吗系及其理由吗?w如图如图ABCDEF.B =E.w又又AMB =DNE =900.wAMBDNE.w(两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似).w相似三角形对应高的比等于相似比.理由是:w(相似三角形对应边成比例相似三角形对应边成比例).ABCMDEFN.DEABDNAMw即即,相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比.w你还记得相似三角形对应角平分线的比与相似你还记得相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系及其理由吗比的关系及其理由吗? ?w如图如图ABCDEF

2、.B =E, BAC=EDF.又又AM,DN分别是分别是BAC和和EDF的角平分线的角平分线.wBAM=EDN.wAMBDNE.w(两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似).w相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比.w理由是理由是:w(相似三角形对应边成比例相似三角形对应边成比例).ABCMDEFN.DEABDNAM即即, ,相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比. . .w你还记得相似三角形对应中线的比与相似你还记得相似三角形对应中线的比与相似比的关系及其理由吗比的关系及其理由吗?w如图ABCDEF.wB

3、=E,w相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比.理由是理由是:w(相似三角形对应边成比例).ABCMDEFN.DEABDNAM.EFBCDEAB又又AM,DN分别是分别是ABC和和DEF的中线的中线.EFBCENBMAMBDNE.(两边对应成比两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似例且夹角相等的两个三角形相似).ENBMDEAB且且B =E.即即, ,相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比. .w你还记得相似三角形周长的比与相似比的关系你还记得相似三角形周长的比与相似比的关系及其理由吗及其理由吗? ?w如图如图,在在 ABC与与 ABC中中

4、,wABCABC,且相且相似比为似比为k.w相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比. .理由是理由是: :(相似三角形对应边成比例相似三角形对应边成比例,对应边的比叫做相似比对应边的比叫做相似比).即即,相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比. kCBBCCAACBAAB.等比kCBCABABCACABABCABCw你还记得相似多边形周长的比与相似比的关系及其你还记得相似多边形周长的比与相似比的关系及其理由吗理由吗?w如图如图六边形六边形ABCDEF六边形六边形A1B1C1D1E1F1,且相似比是且相似比是k.w相似多边形周长的比等于相似比相似多边形周长的比

5、等于相似比.理由是理由是:即即, ,相似多边形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比. .BCDEFAB1C1D1E1F1A1.,.1:11111111111111111111111111111kFEDCBAABCDEFkAFFEEDDCCBBAFAEFDECDBCABkAFFAFEEFEDDEDCCDCBBCBAAB的周长六边形的周长六边形等比对应边的比叫做相似比例相似多边形对应边成比解 三个角对应三个角对应相等相等, ,三条边对应三条边对应成比例成比例的两个三的两个三角形角形, , 叫做相似三角形叫做相似三角形(similar trianglec(similar trianglec

6、) )相似三角形的各相似三角形的各对应角相等对应角相等, ,各对应边各对应边对应成对应成比例比例. .相似三角形相似三角形对应高对应高的比的比, ,对应角平分线对应角平分线的比的比, ,对对应中线应中线的比，的比，对应周长对应周长的比等于相似比的比等于相似比. .相似比等于相似比等于1 1的两个三角形全等的两个三角形全等. .l注意：注意：l要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. .l反之反之, ,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！l由于相似三角形与其位置无关由于相似三角形与其位置无关, ,因此因此, ,能否

7、弄清能否弄清对应对应是正是正确解答的前提和关键确解答的前提和关键. .判定两个三角形相似的方法判定两个三角形相似的方法: :两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似. .三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似. .两边对应成比例两边对应成比例, ,且夹角相等的两个三角且夹角相等的两个三角形相似形相似. .斜边直角边对应成比例的两个三角形相斜边直角边对应成比例的两个三角形相似似. .平行于三角形一边的直线截其它两边平行于三角形一边的直线截其它两边( (或或其延长线其延长线), ),所截得的三角形与原三角形相所截得的三角形与原三角形相似似. .ABCDEADE

8、BCEDCBA益智的“模型” 两个极具代表性的相似两个极具代表性的相似三角形基本三角形基本模型模型： “A”型和型和“X” 型型知识源于悟.BCDEACAEABAD若ADE ABC,则DAE=BAC, ADE= A BC,AED=ACB,.ABACBCADAEDE若ABC ADE,则BAC=DAE, B=D,C=E,ABCDEEDCBA结论结论1:1:平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边( (或其延长线或其延长线), ),所截得的三角形与原三角形所截得的三角形与原三角形相似相似; ;w 如图如图, 已知已知ABC, DE BC, 交交AB,AC或其延长线于或其延长线于D

9、,E,则有如下结论则有如下结论:ABCDE.;ACECABDBAEECADDBACAEABADECAEDBAD或或或那么如图:在ABC中,如果DEBC，那么ADEABC.结论结论2:平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线或其延长线),所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例.如图:在ABC中,如果DEBC，ADEBCEDCBAw如图, 直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似.根据上面的结论可得到相等的角或对应成比例的线段.即,有三对相似三角形.ACD ABCCBD ABCACD CBD.常用的成比例的线段有常用的成比例的线段有: :

10、ABCDw如如, ,常用的相等的角有：常用的相等的角有：wA =DCB;B =ACD;A =DCB;B =ACD; 让数学模型“双垂直”三角形,成为你的好友!;2ABADAC;2ABBDBC;2DBADCD.CDABBCAC老师的建议老师的建议:上面红色字表示出的关系式,是几个重要的结论,若能理解记忆并运用,将会促进能力的提高. 例题、如图所示例题、如图所示, ,在等腰在等腰ABCABC中中, ,底边底边BC=60cm,BC=60cm,高高 AD=40cm,AD=40cm,四四边形边形PQRSPQRS是正方形是正方形. . (1). (1). ASRASR与与ABCABC相似吗相似吗? ?为什

11、为什么么? ? (2).(2).求正方形求正方形PQRSRPQRSR的边长的边长. . 解解:( :(1) 1) ASRASRABC.ABC.理由是理由是: : (2).由(1)可知, ASRABC.四边形四边形PQRS是正方形是正方形RSBCASR= BARS= CASRABC.BCSRADAE设正方形设正方形PQRS的边长的边长为为x cm, 则则AE=(40-x)cm,.604040 xx解得解得,x=24.所以正方形所以正方形PQRS的的边长为边长为24cm.ABCSREPD Q( (相似三角形对应高的相似三角形对应高的比等于相似比比等于相似比) )亲历知识的发生和发展 问题问题: 如

12、果如果ABCABC它它们面积的比与相似比有什们面积的比与相似比有什么关系么关系? 如图如图, ABCABC,相似比是相似比是k(如如3 4). (1)ABC与与ABC的面的面积如何表示积如何表示? (2)ABC与与ABC的面的面积的比是多少积的比是多少? 解解:分别作高分别作高CD,CD,则则 如果两个相似三角形的相如果两个相似三角形的相似比是似比是k ,通过上面的活动通过上面的活动,你得出了什么结论你得出了什么结论?;21CDABSABC.21DCBASCBA CABCAB.4321212 DCCDBAABDCBACDABDCBACDABSSCBAABCDD 相似三角形面积的比等于相似比的平

13、方. 如图如图,如果如果ABCABC,且且这个结论在今后的学习中作用很大这个结论在今后的学习中作用很大, ,若能理若能理解运用解运用, ,则受益非浅则受益非浅. .CBAA B C.kBAAB.,2kSSCBAABC那么 如图如图,四边形四边形A1B1C1D1四边形四边形A2B2C2D2,且相似比为且相似比为k.?,222111222111各是多少DCADCACBACBASSSSA1B1C1D1A2B2C2D2w (1).(1).四边形四边形A A1 1B B1 1C C1 1DD1 1与四与四边形边形A A2 2B B2 2C C2 2DD2 2周长的比周长的比是多少是多少? ?w (2).

14、(2).连接相应的对角线连接相应的对角线A A1 1C C1 1, A, A2 2C C2 2所得的所得的A A1 1B B1 1C C1 1与与 A A2 2B B2 2C C2 2相相似吗似吗? ? w A A1 1C C1 1DD1 1与与 A A2 2C C2 2DD2 2呢呢? ?w 如果相似如果相似, ,它们的相似比各它们的相似比各是多少是多少? ?(3).设设A1B1C1, A1C1D1, A2B2C2, A2C2D2.的面积的面积分别是分别是SA1B1C1, SA1C1D1, SA2B2C2, SA2C2D2,那么那么,(4).四边形四边形A1B1C1D1与四边形与四边形A2B

15、2C2D2.面积的比是多少面积的比是多少? 如果把四边形换成五边形如果把四边形换成五边形, ,那么结论又如何那么结论又如何? ?A1B1C1D1A2B2C2D2w ?w 换成换成n边形呢边形呢? w 通过上面的活动通过上面的活动,你得你得出了什么结论出了什么结论?相似多边形周长的比等于相似多边形周长的比等于 ,对应对角线的比等于对应对角线的比等于 ,对应三角形相似对应三角形相似,且相似比等于且相似比等于 ,对应三角形面积的比等于对应三角形面积的比等于 ;相似多边形面积的比等于相似多边形面积的比等于 .相似比相似比相似多边形的相似比相似比的平方相似比的平方 下图是某市城区外环路示意图下图是某市城

16、区外环路示意图, ,比例尺为比例尺为1100 1100 000000 (1)(1)设法求出图上外环路的长度设法求出图上外环路的长度, ,并由此求出外环路的并由此求出外环路的实际长度实际长度; ; (2)(2)估计外环路所围成的区域的面积估计外环路所围成的区域的面积. .你是怎么做的你是怎么做的? ?与同伴交流与同伴交流. . 点拨 (1)用一根线绳沿图中的外环路重叠放置,此时线绳的长度就是外环路的图上距离; (2)把图上的外环路近似地看作一个矩形.平坦立交桥大阳泉义井桥 某市城市广场某市城市广场, ,是一个因周边环境设计是一个因周边环境设计建造的一个不规则多边形建造的一个不规则多边形, ,具有

17、和谐的具有和谐的自然美自然美. .设计图的比例尺是设计图的比例尺是110 000.110 000.图上多边形与实际多边形相似吗图上多边形与实际多边形相似吗? ?如果如果相似相似, ,它们的相似比是多少它们的相似比是多少? ?图上多边图上多边形与实际多边形的周长比是多少形与实际多边形的周长比是多少? ?面积面积呢呢? ?归纳提炼 相似多边形的性质相似多边形的性质: : 相似三角形相似三角形对应高对应高的比的比, ,对应角平分线对应角平分线的比的比, ,对应对应中线中线的比的比, ,对应周长对应周长的比都等于相似比的比都等于相似比. . 相似三角形相似三角形面积的比面积的比等于相似比的等于相似比的平方