小升初奥数知识汇总小升初奥数常考内容精讲

1、第一讲 计算综合 1n×(n+1)=n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)÷3； 2从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式： 3平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)1 已知a=试比较a、b的大小.【分析与解】其中A=99,B=99+因为A<B，所以98+ >98+，所以有a < b2.试求的和？【分析与解】 记则题目所要求的等式可写为：而所以原式的和为1评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想2 试求1+2+3+4+4+100的值?【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项

2、)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+4+ 3+ 2+ 1,上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为10l×100 ÷2=5050方法三：整数裂项(重点)， 原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+100×2)÷2=5050.3 试求l×2+2×3+3×4+

3、4×5+5×6+99×100 【分析与解】方法一：整数裂项原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+99×100×3)÷3 =1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+99×100×(101-98)÷3 方程二：利用平方差公式12+2

4、2+32+42+n2= 原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99 =12+22+32+42+52+992+1+2+3+4+5+99 = =328350+4950 =3333005计算下列式子的值： 0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+9.7×9.9+9.810.0 【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算即先计算1×3+24+3×5+46+9799+98×100。再除以100方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2

5、，于是我们容易想到裂项的方法 0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+9.7×9.9+9.810.0=(1×3+2×4+3×5+4×6+97×99+98×100)÷100=(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+(97×98+97)+(98×99+98)÷100=(1×2+2×3+3×4+4×5+97×98+98×

6、;99)+(1+2+3+4+97+98)÷100=(×98×99×100+×98×99)÷100=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式进行计算 0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+9.7×9.9+9.8×10.0=(1×3+2×4+3×5+4×6+97×99+98×l00)÷100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+992-1

7、)÷100=(11+22+32+42+52+992-99)÷100=(×99×100×199-99)÷100=16.5×199-0.99=16.5×200-16.5-0.99 =3282.51 评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的下面简单介绍一下整数裂项 1×2+2×3+3×4+(n-1)×n=×1×2×3+2×3×3+3×4×3+(n-1)×n×3

8、=×1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+(n-1)×nn+1-(n-2)=6.计算下列式子的值： 【分析与解】 虽然很容易看出可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+n2=×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?=7计算下列式子的值：【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否

9、存在递推的规律.显然12+1=2;所以原式=198012×2=396024习题计算17×18+18×19+19×20+29×30的值提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.答案：(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.第二讲 数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题 典型问题 1ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，

10、B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少? 【分析与解】 因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小 A显然只能为1，则BCD+EFG=993， 当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积； 当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759

11、×234是满足条件的最小乘积； 它们的差为1234×7591759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759234)=5250002.有9个分数的和为1，它们的分子都是1其中的5个是,另外4个数的分母个位数字都是5请写出这4个分数 【分析与解】 l一(+)= 需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693 经试验得693+231+77+9=101

12、0所以，其余的4个分数是：,.3. 请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式 【分析与解】 1988=2×2×7×7l=4×497，+，在等式两边同时乘上，就得+显然满足题意 又+=，两边同乘以，就得+显然也满足 +，+均满足. 4小明按照下列算式： 乙组的数口甲组的数1= 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表141的表中有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正问改正后的两个数的和是多少? 【分析与解】 甲组的前三个数0.625，都是小于1的数，2与这三个数运算后，得5.05，4，4；不

13、论减1还是加l后，这三个数都比2大，而这是2与小于1的数运算的结果，因此可以猜想方框内是除号现在验算一下：2÷0.625=×=4.05；2÷=×=3；2÷=×=3；2÷3=. 从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4是错的 按照算式 乙组的数÷甲组的数+1* 2÷3+1=1，显然不为1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5，才有1.5÷3+1=1，而1.5÷0.625+l=3.4，1.5÷+1=3.25 由此可见，确定的算式*是正确的表中有两

14、个错误，4应改为4，2应改为1.5，4+1=5+=6改正后的两个数的和是6 5图143中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上 (1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由 (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由 【分析与解】 (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等 事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设

15、每个三角形顶点上数字之和为k 在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次 因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为： 8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的 (2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4，最大为3+4+411 而411共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一图(a)和图

16、(b)是两种填法 6图145中有11条直线请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数【分析与解】 表述1：设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+11)+a=66+a； 在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+11)+4a66+4a 综合以上两式， ×5-×4得66-11a=0，所以a=6，则S=18 考虑到含有*的五条线，有4*+(1+2+3+4+11)-t=5S=90即

17、4*-t=24，由t是111间的数且t*，可知*=7，而每行相等的和S为18.表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x， 首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c)，除了标有a的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S，则有： (111)×11÷2+a=4S，即66+a=4S 再考虑以下五条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(j、x、a)，(e、d、a)，(c、b、a)，同理我们可得到66+4a=5S 综合两个等式，可得a为6，每条直线上和S为18 最后考虑含x的五

18、条直线：(x、h)，(x、g、f)，(j、x、a)，(x、d、b)，(i、x、c)其中除了x出现了5次，e没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到： 66+4xe=5S=90，即4x-e=24，由e是111间的数且ex可知x=7即每行相等的和S为18，*所填的数为7 7一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数 【分析与解】方法一：=，=，。 对应有142857，2

19、85714，428571，571428，714285，857142，它们依次是142857的1、2、3、4、5、6倍 且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意 所以这个六位数为142857 方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1，不然2*的6倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为，那么6个六位数中必定存在一个数为. 而个位数字1，只能由1×1，3×7或9×9得到但是只能对应为×(26)，所以只能是×3得到即=×3 于是，我们不难递推出d为5，c为8，b为2，a为4，所以这个六位数为142857方法三：部分同方法二，=&#

20、215;3那么有×10+l=(100000+)×3，解得=42857所以这个六位数为142857第三讲 最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的典型问题1有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】 方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验

21、证A、B、C、D这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有，+得：3（a+b+c+d）244,所以a+b+c+d81,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82评注：不能把不等式列为，如果这样将+得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况如何避免,希望大家自己解决.2用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5

22、个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值【分析与解】 为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ尽可能的小则ABC×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20所以ABC×DE-FGH×IJ的最大值为751&#

23、215;93-468×20=60483评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795 3将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少? 【分析与解】 我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7 然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算 8×7+7×10

24、+10×6+6×9+9×8=312; 9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313所以，最小值为3124一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少? 【分析与解】设这个两位数为=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9ak(mod a+b)特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为1

25、7时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有 (t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足； ：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4155用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少

26、? 【分析与解】 考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下： 得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以

27、差最大为7846. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】 设这四个分数为上、(其中m、n、a、b均为非零自然数)有+=+，则有-=-，我们从m=1,b=1开始试验：=+=+，=+=+，=+=+，=+=+，=+=+， 我们发现，和分解后具有相同的一项，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：+=+，所以最小的两个偶数和为6+10=167.有13个不同的自然数，它们的和是100问其中偶数最多有多少个?最少

28、有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个但是我们必须验证看是否有实例符合当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足； 当有7个不同的偶数，6

29、个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，135，7，9，11，13，15满足所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个第四讲 几何综合内容概述 勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系与上述知识相关的几何计算问题各种具有相当难度的几何综合题典型问题 1如图30-2，已知四边形AB

30、CD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?【分析与解】 方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关设正方形CEFG的边长为x，有：又阴影部分的面积为:(平方厘米).方法二：连接FC，有FC平行与DB，则四边形BCFD为梯形 有DFB、DBC共底DB，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,DBC的面积(平方厘米) 阴影部分DFB的面积为50平方厘米2.如图30-4，A+B+C+D+E+F+G+H+I等于多少度? 【分析与解】 为了方便所述，如下图所示，标上数字，有I=1800 -(1+2),而1=1800-3

31、, 2=1800-4,有I=3+4-1800 同理, H=4+5-1800, G=5+6-1800, F=6+7-1800, E=7+8-1800, D=8+9-1800, C=9+10-1800, B=10+11-1800, A=11+3-1800 则A+B+C+D+E+F+G+H+I=2×(3+4+5+6+7+8+9+10+11)-9×1800 而3+4+5+6+7+8+9+10+11正是9边形的内角和为(9-2)×1800=12600 所以A+B+C+D+E+F+G+H+I=2×12600-9×1800=90003长边和短边的比例是2：1

32、的长方形称为基本长方形考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1<a2<a3<a4<a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a1,a2,a3,a4,a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一 【分析与解】 我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出第一类情况：以 为特征

33、的有7组：第二类情况：以 为特征的有6组：第三类情况有如下三组：共有16组解，它们是：(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，25，5，14.5)(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)(1，2，5，5.5，6)，(1，2，5，6，11)，(1，2，2.5，4.5，7)，(1，2，2.5，4.5，14)，(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12).(1,2,2.4,4.8,5),.4.如图30-8，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为边AB,BC的中点则

34、图形中阴影部分的面积为多少平方厘米? 【分析与解】 如下图所示，连接EC，并在某些点处标上字母， 因为AE平行于DC，所以四边形AECD为梯形，有AE:DC=1:2，所以,且有,所以,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG：GD=1:2，同理FH：HD=1:2 有,而(平方厘米) 有EG:GD=,所以(平方厘米) (平方厘米)同理可得(平方厘米), (平方厘米) , (平方厘米)又=24-12=12(平方厘米) 所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48(平方厘米)5图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴

35、影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG 设AEG的面积为x，显然EBG、BFG、FCG的面积均为x，则ABF的面积为3x，即，那么正方形内空白部分的面积为. 所以原题中阴影部分面积为 (平方厘米)6如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1求阴影部分的面积 【分析与解】 如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等我们把左下图中的每一部分阴影称为A，右下图中的每一部分阴影称为B大半圆的面积为小圆的面积.而小圆的面积为，则，原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积

36、和，即为7.如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过部分的面积(取3.14)【分析与解】 如下图所示， 如下图所示，端点A扫过的轨迹为，端点D扫过轨迹为，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分显然有阴影部分面积为,而直角三角形、ACD面积相等所以 即AD边扫过部分的面积为7065平方厘米第五讲 数论综合涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题 1如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数

37、字只有两种可能，那么n是多少? 【分析与解】 我们知道如果有5个连 续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。 所以n小于5:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0； 如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4； 所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，不

38、满足：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足 至于n取1显然不满足了所以满足条件的n是4 2如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d那么， (1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少? 【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97 可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168 所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可

39、能值为168 3如果某整数同时具备如下3条性质： 这个数与1的差是质数； 这个数除以2所得的商也是质数； 这个数除以9所得的余数是5 那么我们称这个整数为幸运数求出所有的两位幸运数 【分析与解】 条件也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件 其中86与50不符合，32与68不符合，三个条件都符合的只有14所以两位幸运数只有144在555555的约数中，最大的三位数是多少?【分析与解】555555=5×111×1001 =3×5×7×11

40、5;13×37显然其最大的三位数约数为7775从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米? 【分析与解】 从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2308，847÷308=2231，308÷231=177231÷77=3 不难得知，最后

41、剪去的正方形边长为77毫米 6已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质请写出所有可能的答案 【分析与解】 设这三个数为a、b、c，且abc，因为两两不互质，所以它们均是合数 小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=2×7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数 所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18) 7把26，33，34，3

42、5，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1那么最少要分成多少组? 【分析与解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13 由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组： 将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组所以，至少要分成3组 8图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米两只甲虫同时从A出

43、发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远? 【分析与解】 圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远 小圆周长为×30=307r，大圆周长为48，一半便是24，30与24的最小公倍数时120 120÷30=4120÷24=5所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个圆周长，即爬到了过A的直径另一点B这时两只甲虫相距最远 9设a与b是两个不相等的非零自然数(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60，那

44、么这两个自然数的差有多少种可能的数值? 【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72不妨设ab:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b72+1=73；:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值；当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；：当a=12时，b无解；:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第

45、一、二、三、四情况中的值 总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值 (2)60=2×2×3×5，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60a、b为60的约数，不妨设ab ：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是ab可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30； 当a=30时，b可取4，12，20，于是ab可取26，18，10；：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以ab可取17，14，8，5； 当a=15时，b可取4，12，所以ab可取11，3； : 当

46、a=12时，b可取5，10，所以ab可取7，2总之，ab可以有11+3+4+2+2=22种不同的值 10狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米? 【分析与解】 由于÷=，÷= 所以狐狸跳4个米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个米的距离时，将掉进陷阱 又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒. 距离为9×=40.5(米)11.在小于1000的自然数中，分别除以18及

47、33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【分析与解】 我们知道18，33的最小公倍数为18，33=198，所以每198个数一次 1198之间只有1，2，3，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=59，所以共有5×18+9=99个这样的数 12甲、乙、丙三数分别为603，939，393某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍求A等于多少? 【分析与解】 由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数 即603÷A=ak；(2×

48、939)÷A=bk；(4×393)÷A=ck 于是有(1878603)÷A=ba；(18781572)÷A=bc；(1572603)÷A=ca 所以A为1275，306，969的约数，(1275，306，969)=17×3=51 于是，A可能是51，17(不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍) 当A为51时，有603÷51=1142；939÷51=1821；393÷51=736不满足； 当A为17时，有603÷17=358；939÷17=554；393÷17=

49、232；满足所以，除数4为17 13证明：形如11，111，1111，11111，的数中没有完全平方数 【分析与解】 我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除 现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数 评注：设奇数为2n+1，则它的平方为+4n+1，显然除以4余1 14有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍问：甲取走的一盒中有多少块奶糖? 【分析与解】 我们知道乙、丙、丁三人取

50、走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍 八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216 从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6 观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31 因此甲取走的一盒中有3l块奶糖 15在一根长木棍上，有三种刻度线第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段? 【分析与解】 10，12，15的最小公倍数10，12，15=60，把这根木棍的作为一个长度单位，这样，木棍10等份的每一等份长6个单位；12等份的每等份长5个单位；

51、15等份的每等份长4单位 不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等份)，共计34个 由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1 又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2 同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4 由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点沿这些刻度点把木棍锯成28段第六讲 列方程解应用题内容概述 列方程解决问题是一种很重

52、要的通法，以前我们往往将应用题分成：鸡兔同笼、年龄问题、还原问题等等，再归纳出每一类问题的解法而现在我们就可以利用方程统一来考虑这些问题方程思想的建立可以说是一个很大的飞跃 下面我们就如何找好等量关系，如何建立方程给出一些示范，希望大家体会掌握以提高自己的解题能力典型问题 1有一篮子鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的，第二人拿走2个和余下的，第三人拿走3个和余下的，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同，问：共有多少鸡蛋?分给几个人?【分析与解】 设原有个鸡蛋，那么第一人拿了个鸡蛋，第二人拿了个鸡蛋 解得，则第一人拿了个鸡蛋，所以共有64÷88人.即共有64个鸡蛋，分给8个人

53、2.某人每日下午5时下班后有一辆汽车按时接他回家有一天，他提前l小时下班，因汽车未到，遂步行返家，在途中遇到来接他的汽车，因而比平日早16分钟到家，问此人是步行几分钟后遇见汽车的? 【分析与解】设此人在步行分钟以后遇见汽车，汽车的速度为“”，汽车从家到单位需要分钟 由家到单位的总路程为，如果汽车在4时就在单位接他，他应该提前1小时到家，但是现在只提前16分钟到家，说明相对汽车他在分钟这段路程上耽搁44分钟，所以汽车走这段路程只需要44分钟 而汽车是从5：00-从家出发，在4：00+达到相遇点所以行驶-60分钟 ，有所以，此人是在步行52分钟后遇见汽车的 3一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，2

54、5名参赛者每人至少答对了一题在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A请问有多少学生只答对B? 【分析与解】设不只答对A的为人，仅答对B的为人，没有答对A但答对B与C的为z人 解得：， =7时，、都是正整数，所以。 故只答对B的有6人 4河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P到Q，然后穿过湖到R，共用3小时若他由R到Q再到P，共需小时如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从P到Q再到R需小时问在这样的条件下，从R到Q再到P需几小时? 【分析与

55、解】设游泳者的速度为1，水速为y，PQ=a，QR=b，则有：，且有1+y、 1y、y均不为0-得，即-得，即由、得，即.于是，.由得.小时.即题中所述情况下从R到Q再到P需小时第七讲 方程与方程组内容概述 二元、三元一次方程组的代入与加减消元法各种可通过列方程与方程组解的应用题，求解时要恰当地选取未知数，以便于将已知条件转化为方程典型问题1一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数约简后是那么原来的分数是多少?【分析与解】 方法一：设这个分数为，则分子、分母都减去19为,即,解得,则122-33=89所以原来的分数是 方法二：设这个分数为变化后为，那么原来这个分数为，并且有=122, ，解得。=14所以原来的分数是 2有两堆棋子，A堆有黑子350和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个为了使