242直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余定理定理1 1BAC在在RtRt ABCABC中，中，C=90C=90 A A + +B=90 B=90 . .已知：已知：求证：求证： 证明：证明： 在在 ABCABC中，中， A A + +B+B+C=180C=180 （三角形的内角和是三角形的内角和是180 180 ）又又 C=90 C=90 （已知已知） A A + +B=90 B=90 （等式性质等式性质） 直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余定理定理1 1BAC在在RtRt ABAB C C中，中，ACB=90ACB=90

2、（1 1）如果）如果B=75B=75 ，则，则 A=_A=_ ; ;练习练习1 1：（2 2）如果）如果A-A-B=10B=10 , ,则则 A=_A=_ , , B=_B=_ ; ;（3 3）如果）如果CDCD是是ABAB边上的高边上的高, , 图中有图中有_对互余的角对互余的角; ; 有有_对相等的锐角对相等的锐角. .D1 12 2A A + +2=90 2=90 A A + +B=90 B=90 1 +1 +B=90 B=90 1 1 + +2=90 2=90 1515505040404 42 2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理定理2 2BA

3、C在在RtRtABCABC中，中， ACB=90ACB=90 ，CMCM是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线已知：已知：求证：求证： CM= CM= AB.AB.21MBACMEFBACMC1 MFB MFB AEM AEM BAC在在RtRtABCABC中，中， ACB=90ACB=90 ，CMCM是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线已知：已知：求证：求证： 分析：分析：BF=MEBF=MECM=MBCM=MBCM= CM= AB.AB.21MEF MFB MFB AEM AEM ME=CFME=CFBF=CFBF=CFCM= CM= AB.AB.21过点过点M M作作ME ACME AC，

4、MFBCMFBC，垂足分别为，垂足分别为E E、F F（直角三角形的两个锐角互余）（直角三角形的两个锐角互余）BAC在在RtRtABCABC中，中， ACB=90ACB=90 ，CMCM是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线已知：已知：求证：求证： 证明：证明：CM= CM= AB.AB.21MC1 在在C C1 1MAMA和和CMBCMB中中延长延长CMCM到点到点C C1 1, ,使使MCMC1 1=CM=CM，联结，联结ACAC1 11 12 2AM=BMAM=BM C C1 1MAMA= CMB CMBMCMC1 1=MC=MC C C1 1MA MA CMBCMB（S.A.S)S.A.

5、S)得得C C1 1A=CBA=CB（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 1 1= B B ACB=90ACB=90 ，（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） 2+2+B=90 B=90 2+2+1=90 1=90 即即 C C1 1AC=90AC=90 ， C C1 1AC= AC= ACBACB 在在C C1 1ACAC和和BCABCA中中C C1 1A=BCA=BCAC=CAAC=CA C C1 1AC AC BCABCA（S.A.S)S.A.S) C C1 1AC= AC= ACBACB得得CCCC1 1=AB=AB又又 CM CM= CC= CC1 1 CMCM

6、= AB= AB2121（已知）（已知）（对顶角相等）（对顶角相等）（所作）（所作）（已知）（已知）（等量代换）（等量代换）（已证）（已证）（已证）（已证）（公共边）（公共边）（所作）（所作）（等量代换）（等量代换）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理定理2 2练习练习2 2：1 1、判断下列命题是真命题还是假命题：、判断下列命题是真命题还是假命题：（1 1）在）在ACBACB中，中，CDCD是是ABAB边上的中线，则边上的中线，则CD= AB.CD= AB.（ ）21（2 2）在）在RtRtACBACB中，中，ACB=90ACB=90 ，D D是是AB

7、AB边上的一点，则边上的一点，则CD= AB.CD= AB.（ ）21（3 3）在）在RtRtACBACB中，中，ACB=90ACB=90 ，ADAD是是BCBC上的中线，则上的中线，则AD= AB.AD= AB.（ ）21BACD假命题假命题假命题假命题假命题假命题直角直角斜边斜边中线中线直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理定理2 2练习练习2 2：2 2、已知：在、已知：在RtRtABCABC中中, ,ABC=90ABC=90 ，BMBM是是ACAC边上的中线边上的中线（1 1）若）若B BM=8M=8，则，则AM=_AM=_，CM=_CM=_，AC

8、=_AC=_；（2 2）若）若C=C=2525 ，AMB=_AMB=_ ；BACM8 88 8161650502 21 1BM=AM=CM= ACBM=AM=CM= AC21C=C=1 1A=A=2 2（3 3）若）若B BD D是是ACAC边上的高，则与边上的高，则与A A相等的角有相等的角有_个个. .直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理定理2 2练习练习2 2：2 2、已知：在、已知：在RtRtABCABC中中, ,ABC=90ABC=90 ，BMBM是是ACAC边上的中线边上的中线BACM（3 3）若）若B BD D是是ACAC边上的高，则与边上

9、的高，则与A A相等的角有相等的角有_个个. .2 2DBACDBACM已知：如图，在已知：如图，在 ABC ABC中，中，A AD D BCBC， E E、F F分别是分别是ABAB、ACAC的中点，且的中点，且DE=DFDE=DF求证：求证：ABAB= =ACAC. . DABCEF等腰三角形等腰三角形底边底边上的中点上的中点中点中点直角三角形直角三角形斜边斜边上的中点上的中点如图如图1 1，在，在Rt Rt ABCABC与与RtRt ACE ACE中，中， ABC= ABC= AEC=90AEC=90 ，点点M M是是ACAC边上的中点，联结边上的中点，联结BMBM、EMEM、BEBE，

10、点，点P P是是BEBE的中点的中点. . 求证：求证：EABCMP中点中点中点中点证明：证明：（已知）（已知） ABC= ABC= AEC=90AEC=90 M M是是ACAC边上的中点边上的中点（已知）（已知）（等量代换）（等量代换） BM= ACBM= AC21，EM= ACEM= AC21（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） BMBM= EM EM又又 P P是是BEBE边上的中点边上的中点 MPMP BE BE （等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）（图（图1 1）MP BE .MP BE .C证明：证明： ABC= ABC= AEC

11、=90AEC=90 M M是是ACAC边上的中点边上的中点 BM= ACBM= AC21，BE= ACBE= AC21 BMBM= EM EM又又 P P是是BEBE边上的中点边上的中点 MPMP BE BE （已知）（已知）（已知）（已知）（等量代换）（等量代换）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）如图如图2 2，在，在Rt Rt ABCABC与与RtRt ACE ACE中，中， ABC= ABC= AEC=90AEC=90 ，点点M M是是ACAC边上的中点，联结边上的中点，联结BMBM、EMEM、BE

12、BE，点，点P P是是BEBE的中点的中点. .求证：求证：MP BE .MP BE .中点中点中点中点（图（图1 1）EACMP（图（图1 1）B（图（图2 2）MEDACMP如图如图3 3，在，在ACDACD中，中，AEAE、CBCB分别是边分别是边CDCD、ADAD上的高，上的高，M M、 P P分别是分别是ACAC、BEBE的中点的中点. .求证：求证：MP BE .MP BE .证明：证明： A AEC= EC= A ABC=90BC=90 M M是是ACAC边上的中点边上的中点ME= ACME= AC21，MB= ACMB= AC21 MEME= M MB B又又 P P是是BEB

13、E边上的中点边上的中点 M MP P B BE E （图（图3 3）（已知）（已知）（已知）（已知）（等量代换）（等量代换）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）B联结联结MEME、MBMBBACM1 12 2BACM1 12 2直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半用右图的添线方法，完成性质定理用右图的添线方法，完成性质定理2 2的证明的证明 已知：在已知：在RtRtABCABC中，中， ACB=90ACB=90， CMCM是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线. . MEFBACCM= CM= ABAB. .21求证：求证：已知：如图，在已知：如图，