线性方程组的消元解法

1、上页下页铃结束返回首页编辑ppt13.33.3 线性方程组的解线性方程组的解 一、线性方程组的矩阵表示一、线性方程组的矩阵表示上页下页返回首页二、线性方程组解的情况判定二、线性方程组解的情况判定结束铃上页下页铃结束返回首页编辑ppt2下页 n元线性方程组 可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中 A、x、b分别称为方程组的系数矩阵、n元未知列向量、常数项列向量。a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+-+b= 。b1b2bmA= ，a11a21am1a12a22am2a1na2namnx= ，x1x2xn一、线性方程组的矩阵表示：一

2、、线性方程组的矩阵表示：上页下页铃结束返回首页编辑ppt3称为线性方程组的增广矩阵。 矩阵下页(A b)=a11a21am1a12a22am2a1na2namnb1b2bm n元线性方程组 可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+-+一、线性方程组的矩阵表示：一、线性方程组的矩阵表示：上页下页铃结束返回首页编辑ppt4 方程组Ax=o 称为n元齐次线性方程组，Ax=b(bo)称为n元非齐次线性方程组。 首页问答练习 n元线性方程组 可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中a11x1a21x1am1

3、x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+-+一、线性方程组的矩阵表示：一、线性方程组的矩阵表示：上页下页铃结束返回首页编辑ppt5-00000210004001070001定义：定义： 若若A A是行阶梯形矩阵，并且还满足：（是行阶梯形矩阵，并且还满足：（1 1）非零）非零 行的首非零元为行的首非零元为1 1； （2 2）首非零元所在列的其它元全为）首非零元所在列的其它元全为0 0。则称则称A A为为行最简形矩阵行最简形矩阵。 例如：例如：（见教材（见教材P47）上页下页铃结束返回首页编辑ppt6下页 例例1解线性方程组 。3x1x1x15x22x24x

4、214x34x3x31235=-+-方程组的解为x1x2x371。2=-=-=于是得到x2 =3-2x3=-1，=-7。x1=3+2x2-4x3x3=2，+ 4x3 = 3-2x2x1+ x3 = 5+4x2-x1+14x3 =12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235=-+- 解：解：+4x3 = 3-2x2x1+5x3 = 82x2+2x3 = 3x2+4x3 = 3-2x2x1x3 = 2，+2x3 = 3x2r1r2 r2-3r1 r3+r1r3-2r2上页下页铃结束返回首页编辑ppt7下页求解过程与矩阵的初等行变换：求解过程与矩阵的初等行变换：+ 4

5、x3 = 3-2x2x1+ x3 = 5+4x2-x1+14x3 =12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235=-+- 解：解：+4x3 = 3-2x2x1+5x3 = 82x2+2x3 = 3x2+4x3 = 3-2x2x1x3 = 2，+2x3 = 3x2r1r2 r2-3r1 r3+r1r3-2r2(A b)= 1 -2 4 3-1 4 1 5 3 -5 14 12 3 -5 14 12 1 -2 4 3-1 4 1 5 0 1 2 3 1 -2 4 3 0 2 5 8 0 1 2 3 1 -2 4 3 0 0 1 2r1r2 r2-3r1 r3+r1r

6、3-2r2 用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程。上页下页铃结束返回首页编辑ppt8 0 1 2 3 1 -2 4 3 0 0 1 2122rr+108901230012132382rrrr-100701010012-故方程组的解为12371.2xxx= -= -=上页下页铃结束返回首页编辑ppt9 n n元线性方程组元线性方程组AxAx= =b b下页定理定理3：（1 1）无解）无解（2 2）有唯一解）有唯一解（3 3）有无穷多解）有无穷多解线性方程组解的判定定理：线性方程组解的判定定理：);,()(bARAR;),()(nbARAR=.),()(n

7、bARAR=上页下页铃结束返回首页编辑ppt10 第四步，写出方程组的解。下页解线性方程组的一般步骤：解线性方程组的一般步骤： 第一步，对增广矩阵施以初等行变换，化成行阶梯形矩阵； 第二步，根据定理3判断方程组是否有解； 第三步，如果方程组有解，则对上述行阶梯形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；上页下页铃结束返回首页编辑ppt11 解：解： (A b)= 1 1 1 1 6 3 1 5-2 1 3-1-3 3 7-1-3 3 7-1 0 1 -1-2-2 0 -2 2 4 4 0 -4 4 8 8 1 5 -1-1-1-1 0 1-2-2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5

8、 -1-1-1 0 1 -1-2-2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 4 9 9， 例例2解线性方程组 。x1 x1x1x15x26x23x2x25x32x3x33x3x43x43x47x41337=-=-=+-+-+下页上页下页铃结束返回首页编辑ppt12 解：解： (A b)= 1 1 1 1 6 3 1 5-2 1 3-1-3 3 7-1-3 3 7-1方程组的一般解为 0 0 0 1 1 0 0 0-1 0 0 4-2 0 0 9-2 0 0 9， 例例2解线性方程组 。x1 x1x1x15x26x23x2x25x32x3x33x3x43x43x47x41337=-=-

9、=+-+-+x1x24x3x39x42x492=-+-+下页( )( , )2R AR A b=4,故方程组有无穷多解故方程组有无穷多解.34(,)x x 任意则方程组的通解为：则方程组的通解为：x1 x2x3x44c1c1c19c22c2c1c292=-=-=-+-+12( ,)c cR上页下页铃结束返回首页编辑ppt13 例例3解线性方程组 。x1 x12x1x2x22x22x22x3x33x3x33x44x4x4x41146=-+-+- 解：解： 0 1 1 1 1 2 3 4 2 2 -1-6 1 1 2 1-4-1-1 3(A b)= 0 1 1 1-4 0 1 1 3-4 0 0

10、-5-8-7 1 1 2 1 3 0 1 1 1-4 0 0 0 2 0 0 0 -5-8-7 1 1 2 1 3 0 1 1 1-4 0 0 5 8 7 0 0 0 2 0 1 1 2 1 3，下页( )3,R A =( , )4,R A b =故方程组无解故方程组无解.上页下页铃结束返回首页编辑ppt14 例例4a取何值时，线性方程组并求其解。x1ax1x1x2x2x2x3x3ax3a15=+有解？ a 1 1 1 1 1 a 5 1 1 1 a 解：解：(A，b) = (1)当a=1时，R(A)=R(A,b)=13，方程组有无穷多个解，(A b) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

11、1 1，此时方程组的全部解为x1x2x31-c1-c2 c1 c2=( c1，c2为任意常数) 。 0 1-a 1-a 1-a2 1 1 1 a 0 0 a-1 1-a，其一般解为),(132321任意xxxxx-= -1312rrarr上页下页铃结束返回首页编辑ppt15 例例4a取何值时，线性方程组并求其解。x1ax1x1x2x2x2x3x3ax3a15=+有解? 解：解： a 1 1 1 1 1 a 5 1 1 1 a(A，b) = 0 1-a 1-a 1-a2 1 1 1 a 0 0 a-1 1-a，(2)当a1时，R(A)=R(A，b)=3，方程组有唯一解， 此时下页 -1312rr

12、arr-+11001110111aabA,-)1()1(32arar -3221rrrr-+-110020101001a方程组的唯一解为-=+=-=121321xaxx上页下页铃结束返回首页编辑ppt16 设有线性方程组设有线性方程组123123123(1)0,(1)3,(1),xxxxxxxxx+=+=+=问问 取何值时，此方程组取何值时，此方程组 (1) 有唯一解；有唯一解；(2) 无解无解;(3) 有无限多个解？并在有无限多解时求其通解有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.上页下页铃结束返回首页编辑ppt17对增广矩阵对增广矩阵 B = (A , b) 作初等行变换把它变为作初等行变换

13、把它变为行阶梯形矩阵，有行阶梯形矩阵，有1110( , )1113111A b+=+11111131110+13 rr123123123(1)0,(1)3,(1),xxxxxxxxx+=+=+=上页下页铃结束返回首页编辑ppt182131(1) rrrr-+111030(2)(1)+-+-+32 rr+1110300(3)(1)(3)+-+-+11111131110+上页下页铃结束返回首页编辑ppt19由此可得：由此可得： 当当 0 且且 -3 时，时，方程组有唯一解；方程组有唯一解； 当当 = 0 时，时，方程组无方程组无解；解； 当当 = -3 时，时，方程组有无穷多解方程组有无穷多解.

14、这时这时R(A) = R(A,b) = 3，R(A) = 1，R(A，b) = 2，R(A) = R(A,b) = 21110300(3)(1)(3)+-+-+112303360000-=-3,上页下页铃结束返回首页编辑ppt2021()3112301120000r -12101101120000rr-则方程组的一般解为：则方程组的一般解为：132312xxxx=-=-3()x 任意则方程组的通解为：则方程组的通解为：12312().xcxccRxc=-=-=上页下页铃结束返回首页编辑ppt21课堂练习课堂练习1、解下列方程：12312312422(1) 3210;1138xxxxxxxx+-=-+=+=234(2)245.38213496xyzxyzxyzxyz+=-+= -+-=-+= -2、 取何值时，方程组1231232