空间向量与立体几何知识点

1、立体几何空间向量知识点总结一、共面向量1、定义平行于同一平面的向量叫做共面向量2、共面向量定理r rrr若两个向量 a 、b 不共线，则向量与向量 a 、 b 共面的充要条件是rr存在实数对 x、y,使得 = xayb 。3、空间平面的表达式空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对x、yuuuruuuruuur使 MPxMAyMB或对 空间任一定点O, 有uuuruuuruuuruuuur或 OPxOA yOB zOM （其 中x y z 1 ）这几个式子是 M,A,B,P四点共面的充要条件二、空间向量基本定理1、定理rrr如果三个向量 a 、b 、c 不共面，那么对空间任

2、一向量，存在唯一rr的有序实数组 x、y、z，使 = xayb2、注意以下问题（ 1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底r（ 2）由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零r向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0 。（ 3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念r rr由空间向量的基本定理知，若三个向量a 、b 、c 不共面。那么所ur urrrr有空间向量所组成的集合就是p | pxaybzc, x, y, z R ,这个集合可r r rr r ra,b, c看做是由向量 a 、b 、 c 生成的，所以我

3、们把称为空间的一个基rrr底。 a 、b 、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底三、直线方向向量与平面法向量1 、 若 两 直 线 l1 、 l2的方向向量分别是、，则有r rr r r rrrn a 0rr rr rr r r rl1 u v u v u v n ( x, y, z) a (a1, b1 ,c1 ), b (a2 ,b2 ,c2 )n b 0a b a brrr r rr r r（2）根据线面平行的判定定理： “如akb (kR) a n an a n 0果直线（平面外） 与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面

4、平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行， 只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可3、面面平行（ 1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可rr（ 2 ） 若 能 求 出 平 面 、 的 法 向 量 u 、 v ， 则 要 证 明 r rrrrrr ru v a b a b a b0rrr2auarrcosa br r r r0r r| cos | rra/

5、 a,b/a b0 a u a u/ b2 a br r a ursin | cos | rr 或 cossinaulluuuuruuurBOBAuuuruuuruuuruuurrruurBABO cos ABOABnncos ABOuuurrBOrrn0BOnnnuuuruuurrr dCDnuuuruurABrd ABn0nn设分别是直线l1、l2 的方向向量，根据下列条件判断l1 与 l2 的位置关系。（ 1） =（ 2， 3， 1）， =（ 6， 9， 3）；（ 2） =（ 5， 0， 2）， =（ 0， 4， 0）；（ 3） =（ 2， 1，4）， =（ 6，3， 3）例 2. 设分别是平面、的法向量，根据下列条件判断、的位置关系：（ 1） =（ 1， 1，2）， =（ 3，2，）；（ 2） =（ 0， 3， 0）， =（ 0， 5， 0）；（ 3） =（ 2