【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 4.4三角函数的化简与求值配套课件 理 新人教A版

1、第四节 三角函数的化简与求值 三年三年1212考考 高考指数高考指数: :1.1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式; ;2.2.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明等式证明. . 1.1.三角恒等变换是三角函数式化简与求值以及研究三角函数的三角恒等变换是三角函数式化简与求值以及研究三角函数的图象和性质的基础，是本节的重点，也是高考的热点；图象和性质的基础，是本节的重点，也是高考的热点；2.2.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则

2、以解答题为主为主. . 1.1.三角恒等变换的基本公式三角恒等变换的基本公式(1)(1)三角函数的基本关系三角函数的基本关系平方关系平方关系:_:_；商数关系商数关系:_:_；倒数关系倒数关系:_. :_. sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1sintancos tancottancot=1=1(2)(2)和角、差角公式及二倍角公式和角、差角公式及二倍角公式和角公式和角公式二倍角公式二倍角公式cos(+)=coscos-sinsincos(+)=coscos-sinsin; ;sin(+)=sincos+cossinsin(+)=sincos+cossin; ;tan(+tan(+

3、)=)=tantan;1tan tan令令=cos2=coscos2=cos2 2-sin-sin2 2=2cos=2cos2 2-1=1-2sin-1=1-2sin2 2; sin2=2sincos sin2=2sincos；22tantan2.1tan 差角公式差角公式cos(-cos(-)=_)=_；sin(-sin(-)=_)=_；tan(-tan(-)=_. )=_. coscos+sinsincoscos+sinsinsincos-cossinsincos-cossintantan1tan tan【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：在两角和与差的正切公式中，若其中一个角为思考：

4、在两角和与差的正切公式中，若其中一个角为 ，公式还成立吗？能用二倍角的正切公式计算公式还成立吗？能用二倍角的正切公式计算tantan吗？吗？ 2提示：提示：因为因为 无意义，所以公式都不成立，不能用二倍角公无意义，所以公式都不成立，不能用二倍角公式计算式计算tantan，不妨令，不妨令 ，则，则 , , = =-cot,tan= =-cot,tantan22 tan()cot2 tan()2tan()2tan()tan()22tan()221tan()tan()22cotcot0.1 ( cot cot ) (2)(2)化简化简 =_.=_.【解析【解析】原式原式= .= .答案：答案：2 2

5、21 cos4sin 222(12sin 2 )12sin 2(3)(3)化简化简 =_.=_.【解析【解析】原式原式= = .= .答案：答案：1 sin6012sin30 cos3021331(sin30cos30 )222|3122.2.公式的逆用与公式的变形公式的逆用与公式的变形(1)(1)公式的逆用公式的逆用和角与差角公式的逆用可以化为一个角的一个三角函数，例如和角与差角公式的逆用可以化为一个角的一个三角函数，例如asin+bcosasin+bcos= = (= (其中其中tantan=_).=_).222222abab (sincos )abab22ab sin()ba(2)(2)

6、公式的变形公式的变形 ,sin,sin2 2=_.=_.tan+tantan+tan=(1-tantan)tan(+)=(1-tantan)tan(+)等等. . 21cos2cos2 1 cos22【即时应用【即时应用】(1)(1)化简化简sin(+)cos-cos(+)sinsin(+)cos-cos(+)sin=_.=_.(2)(2)计算计算sin15sin15+cos15+cos15=_.=_.(3)(3)若若 ，则，则tan+tan-tantantan+tan-tantan=_.=_. 【解析【解析】(1)(1)原式原式=sin=sin(+)-(+)-=sin=sin. .34 (2

7、)(2)原式原式= =(3)(3)tan+tantan+tan=-1+tantan.=-1+tantan.tan+tan-tantantan+tan-tantan=-1.=-1.答案：答案：222(sin15cos15 )222 sin15 cos45cos15 sin4562sin(1545 ).2 3tantan3,tan()tan1.41tan tan4 6(1)sin(2)312 三角函数式的无条件求值三角函数式的无条件求值【方法点睛【方法点睛】三角函数式无条件求值的技巧三角函数式无条件求值的技巧(1)(1)将题中的切函数化为弦函数将题中的切函数化为弦函数. .(2)(2)熟练运用二倍

8、角公式进行升、降幂变换熟练运用二倍角公式进行升、降幂变换. .(3)(3)利用公式利用公式asin+bcos= sin(+asin+bcos= sin(+)()(其中其中tantan= )= )化化角的两种名称为同一名称角的两种名称为同一名称. .(4)(4)拆角，把一非特殊角拆成两个特殊角的和与差的形式，展拆角，把一非特殊角拆成两个特殊角的和与差的形式，展开化简开化简. .(5)(5)将题中是分式的变形后约分，是整式的变形后产生相消项将题中是分式的变形后约分，是整式的变形后产生相消项. . 22abba【例【例1 1】求值：】求值：(1)(2012(1)(2012柳州模拟柳州模拟)4sin)

9、4sin2 23535-cos110-cos110-tan160-tan160sin70sin70=_.=_.(2) =_.(2) =_.sin50 (13tan10 )cos20cos801 cos20 【解题指南【解题指南】(1)(1)注意角之间的关系，尽量化为锐角、相同角，注意角之间的关系，尽量化为锐角、相同角，切化弦，利用二倍角公式降幂，注意角的变换切化弦，利用二倍角公式降幂，注意角的变换. .(2)(2)切化弦，通分，利用公式切化弦，通分，利用公式asin+bcosasin+bcos= = (+ (+)(tan)(tan= )= )化简分子，利用二倍角公式去掉化简分子，利用二倍角公式

10、去掉根号化简分母根号化简分母. .22ab sinba【规范解答【规范解答】(1)(1)原式原式= =2-2cos70=2-2cos70+cos70+cos70+sin20+sin20=2-cos70=2-cos70+cos70+cos70=2.=2.答案：答案：2 21 cos70sin204cos70cos202cos20(2)(2)原式原式= =答案：答案：2cos103sin10sin50cos20cos10cos801 (12sin 10 )2222sin40sin50cos20cos10cos802 sin10sin80cos20cos102sin 101 (12sin 10 )2

11、.2sin 102【互动探究【互动探究】把本例把本例(2)(2)改为改为 ，试求，试求其值其值. .【解析【解析】原式原式= = .= . sin50 (13tan10 )cos70(cos80sin80 ) 1 sin20 2cos103sin10sin50sin20cos10(sin10cos10 ) (cos10sin10 )22sin40 cos40sin201 sin20cos101cos10sin101 sin20 （）（）【反思【反思感悟感悟】此类题目所给角都是非特殊角，但最后所求值此类题目所给角都是非特殊角，但最后所求值都是确定的都是确定的. .解答此类题目易出现化简、变形方向

12、不明确，式解答此类题目易出现化简、变形方向不明确，式子越变越复杂，或变形不彻底，所得结果中还含有非特殊角的子越变越复杂，或变形不彻底，所得结果中还含有非特殊角的某一函数值的情况某一函数值的情况. . 【变式备选【变式备选】求值：求值：【解析【解析】原式原式= =2cos10sin20cos202cos(3020 )sin20cos20 2cos30 cos202sin30 sin20sin20cos202cos30 cos203.cos20 三角函数式的条件求值三角函数式的条件求值【方法点睛【方法点睛】三角函数式条件求值的一般步骤三角函数式条件求值的一般步骤(1)(1)先化简所求式子先化简所求

13、式子( (或已知条件或已知条件) )；(2)(2)观察已知条件与所求式子之间的联系，决定是否对已知条观察已知条件与所求式子之间的联系，决定是否对已知条件变形；件变形；(3)(3)将已知条件将已知条件( (或变形后的结果或变形后的结果) )代入所求式子，化简求值代入所求式子，化简求值. . 【提醒【提醒】利用条件求值时，要注意条件与所求结论之间的关系，利用条件求值时，要注意条件与所求结论之间的关系，特别是角之间的关系、公式之间的关系特别是角之间的关系、公式之间的关系. . 【例【例2 2】已知】已知 . . 求求 的值的值. .【解题指南【解题指南】先化简要求的式子，再确定对已知条件的变形方先化

14、简要求的式子，再确定对已知条件的变形方向，然后整体代入求值；或把要求的式子变成已知条件的形式，向，然后整体代入求值；或把要求的式子变成已知条件的形式，整体代入求值整体代入求值. . 3 77cos(x),x45 124 2sin2x2sin x1tanx【规范解答【规范解答】方法一：方法一：即即 , ,2sin2x2sin x2sinx(cosxsinx)sinx1tanx1cosx2sinxcosx(cosxsinx),cosxsinx3223cos(x),cosxsinx,4522523 218cosxsinx,(cosxsinx)52527322sinxcosx,12sinxcosx,2

15、52532(cosxsinx),25故原式故原式= . = . 77x,sinxcosx 0,cosxsinx 0,12453x,cosxsinx 0,424 2cosxsinx,5 且 74 23 228()255575 方法二：方法二：2sin2x2sin x2sinx(sinxcosx)sinx1tanx1cosx2sin2x2sin(x)2sinxcosx(sinxcosx)4cosxsinx2cos(x)4cos(2x) sin(x)24cos(x)42cos (x) 1 sin(x)44cos(x)4 2775x,x2 .124643cos(x)0,453x2 ,2434sin(x

16、)1 ( ).45594(21) ()28255.3755 又原式【反思【反思感悟感悟】1.1.三个式子三个式子sin+cossin+cos、sin-cossin-cos、sincossincos，根据，根据sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1知一可求二知一可求二, ,同时注意根据同时注意根据角的范围判断式子的正负，其中角的范围判断式子的正负，其中sincossincos的正负可以确定角的正负可以确定角所在的象限；所在的象限；2.2.运用整体思想和平方变形的方法是解决此类题的关键运用整体思想和平方变形的方法是解决此类题的关键. . 【变式训练【变式训练】已知已知 , ,求求cos4

17、xcos4x的值的值. .【解析【解析】由已知，得由已知，得 , ,即即 , ,31sin(x)cos(x)444 1sin(x) cos(x)2444 21cos (x)4421cos(2x)12,24111 sin2x,sin2x,2211cos4x12sin 2x1.22 【变式备选【变式备选】1.1.已知已知 ，且，且 , , ，求，求cos(+cos(+) )的值的值. . 02 1cos()29 2sin()23 【解析【解析】 02 ,422 42 225cos()1 sin (),2234 5sin()1 cos (),229 2coscos()222cos()cos()sin

18、()sin()2222154 527 5(),93932749 5239cos()2cos121.2729729 ()2.2.已知已知，(0,)(0,)，且，且 ，求，求2-2-的值的值. . 11tan(),tan27 【解析【解析】tantan=tan=tan(-)+(-)+2211tan()tan1270,111tan()tan31270,2122tan33tan20,11tan41 ( )30 2, 2 又tan2tantan(2)1tan2 tan31471.311471tan0,20,7232.4 三角函数式的化简与证明三角函数式的化简与证明【方法点睛【方法点睛】1.1.三角函数式

19、化简的方法三角函数式化简的方法(1)(1)弦切互化弦切互化(2)(2)异名化同名异名化同名(3)(3)异角化同角异角化同角(4)(4)降幂或升幂降幂或升幂 2.2.三角恒等式的证明方法三角恒等式的证明方法(1)(1)观察等式两边的特点，转化为三角函数式的化简，由左推观察等式两边的特点，转化为三角函数式的化简，由左推右，或由右推左，或两边同时推，推出同一个结果右，或由右推左，或两边同时推，推出同一个结果. .(2)(2)证明三角函数条件等式时，观察条件与结论的差异，通过证明三角函数条件等式时，观察条件与结论的差异，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出变换，将已知表达式代入得

20、出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法条件含参数，可采用消去参数法. . 【例【例3 3】(1)(1)化简：化简： =_.=_.(2)(2)已知已知sinsin=2sin(2+)=2sin(2+)，求证：，求证：tan(+tan(+)=-3tan.)=-3tan.【解题指南【解题指南】(1)(1)分步化简，统一将角转化为分步化简，统一将角转化为 ，开方时要注，开方时要注意角的范围意角的范围. .(2)(2)把已知条件中的角统一到把已知条件中的角统一到+和和上来，展开化

21、简，弦化上来，展开化简，弦化切得证切得证. . (1 sincos )(sincos)22(2 )22cos 2【规范解答【规范解答】(1)(1)(1 sincos )(sincos)2222cos2222(2sincos2cos)(sincos)222224cos22cos(sincos)(sincos)222222|cos|2cos(sincos)coscosa2222,cos|cos|22|2,cos0222coscos2cos .cos2 ， ，故原式答案：答案：coscos(2)sin=2sin(2+),(2)sin=2sin(2+),sinsin(+)-(+)-=2sin=2sin

22、(+)+(+)+, ,sin(+)cos-cos(+)sinsin(+)cos-cos(+)sin=2sin(+)cos+2cos(+)sin,=2sin(+)cos+2cos(+)sin,即即-sin(+)cos-sin(+)cos=3cos(+)sin=3cos(+)sin , ,即即tan(+tan(+)=-3tan.)=-3tan.sin()3sincos()cos【互动探究【互动探究】本例本例(1)(1)中，若中，若(0,)(0,)，试对原式进行化简；，试对原式进行化简；(2)(2)中若已知中若已知tan(+tan(+)=-3tan)=-3tan，等式，等式sinsin= =2sin

23、(2+)2sin(2+)成立吗？若成立，试给出证明；若不成立，请说成立吗？若成立，试给出证明；若不成立，请说明理由明理由. . 【解析【解析】(1)(1)由本例由本例(1)(1)的解答知，原式的解答知，原式= =(0,),(0,), . .故原式故原式=-cos=-cos. .(2)(2)若已知若已知tan(+tan(+)=-3tan)=-3tan，则等式，则等式sinsin=2sin(2+)=2sin(2+)成立成立. .因为本例因为本例(2)(2)证明的每一步都是可逆的，故等式证明的每一步都是可逆的，故等式sinsin= =2sin(2+)2sin(2+)成立成立. . coscos2|c

24、os|20,cos0222 【反思【反思感悟感悟】三角恒等变换的原则三角恒等变换的原则(1)(1)化繁为简：变异角为同角，化非同名函数为同名函数，化化繁为简：变异角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，高次为低次，化多项式为单项式， 化无理式为有理式；化无理式为有理式；(2)(2)消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异. . 【变式备选【变式备选】已知已知 ，求证：，求证：tantan2 2=tantan=tantan.

25、 .22sintan()1sintan 【证明【证明】因为因为tan()sin()cos11cos()sin 2222222cos()sinsin()cossincos()sincos()sinsinsin sinsinsin,cos()sincos()sin sincos coscos1 sin1,cos()cos()sinsin sintantan tan ,coscos cos 所以所以所以2tantan tan. 故成立【易错误区【易错误区】三角函数条件求值的误区分析三角函数条件求值的误区分析【典例】【典例】(2011(2011重庆高考重庆高考) )已知已知 , ,且且 , ,则则 的

26、值为的值为_._.1sincos2 (0,)2cos2sin()4【解题指南【解题指南】由题意可求出由题意可求出sin-cossin-cos和和sin+cossin+cos的值，的值，然后化简，整体代入求值然后化简，整体代入求值. .或由已知求出或由已知求出sin2sin2，cos2cos2的值，的值，再求再求 的值，最后整体代入求值的值，最后整体代入求值. . sin()4【规范解答【规范解答】方法一方法一: :由题意知由题意知 , ,两边平方可得两边平方可得 , ,所以所以(sin+cos)(sin+cos)2 2=1+2sincos= ,=1+2sincos= ,又又 , ,所以所以si

27、n+cossin+cos= .= .故故= . = . 1sincos2 32sin cos4 74(0,)27222cos2cossin2(sincos )2sin()(sincos )42 142方法二：由已知，得方法二：由已知，得 两边平方得两边平方得 , , . .又又sin-cossin-cos= =答案：答案：1sincos0,(0,)22 ,2.422 3sin24 27cos21 sin 24 2sin()472cos2144sin().4422sin()44 故142【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到

28、以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议： 误误区区警警示示解答本题时有两点容易造成失误：解答本题时有两点容易造成失误：(1)(1)三者三者sin-cossin-cos，sin+cossin+cos，sincossincos的关的关系不明确，造成解题思路受阻系不明确，造成解题思路受阻. .(2)(2)由由sin-cossin-cos求求sin+cossin+cos，或由，或由sin2sin2求求coscos时，涉及开方运算易忽视角的范围产生增解时，涉及开方运算易忽视角的范围产生增解. . 备备考考建建议议三角函数条件求值是高考的重点，在备考时要特别三角函数条件求值是高考的重点，在备考时要特别注意以下两点：注意以下两点：(1)(1)熟记三