专题四综合与探究类型三类比探究题

1、例12021成都问题背景:如图，等腰 ABC中，AB二AC，/ BAC二120°作AD丄BC于点D,贝U D为BC的中点，/ BAD 二 1/ BAC 二 60。于是 ABC 二 2BD = ?迁移应用：如图，4 ABC和八ADE都是等腰三角形，/ BAC二/ DAE二120 °, D , E, C三点在同 一条直线上， 连接BD. 求证： ADB AEC ； 请直接写出线段AD , BD , CD之间的等量关系式；拓展延伸：2如图，在菱形 ABCD中，/ ABC二120。，在/ ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点 E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE, CF.

2、证明 CEF是等边三角形；假设AE二5, CE二2,求BF的长.Rf)冬【思路点拨】1易得/ DAB二/ EAC ,再由三角形全等定理证明；由此题告诉的性质可得DE =3AD,再由线段和差得 DE二DC EC进而得DC - ECVSAD再将EC换成相等的 线段DB便 可得结论；由 C与E关于BF对称，那么BF是CE的垂直平分线，进而得 BE二BC, CF二 EF, / 3二/ 4, / EFB = / CFB,进而证明 AB二BC二BE ,得/ 1二/ 2,再进一步得/ 2 +/3二60。得/EFC二60。最后便可得 结论；先由条件求出 GE、EF进而得GF，再在RtA BGF中通 过解直角三

3、角形得结果.1解：由题意可知：AD二AE , AB二AC , ?/ DAE 二/ BAC ,?/ DAB 二/ EAC , ? ADB BA AEC( SAS); CD 二 >/3AD + BD ;【解法提示】？/ AD 二 AE , / DAE 二 120° ? DE >/3AD , ?/ DE 二 DC EC , ? DC C =V3AD，由知，4 ADB ? AAEC , ? EC二 DB , DC DB =V3AD ,即 CD = V3AD + BD ;证明：如解图，连接 BE,作BG丄AE于点G ,C、E关于BM对称，? BE二 BC , CF二 EF, / 3

4、 二 /4, / EFB 二 / CFB,在菱形 ABCD 中，?/ ABC 二 120° AB 二 BC ,AB 二 BC 二 BE ,又? BG 丄 AE , ?/ 1 二 / 2,?/ FEN 二 60 °/ GEN 二 360。一 / EGB / ENB / GBN 二 120 ° 又EF 二 FC, ?/ ECF二 60? EFC为等边三角形；ABCD是边长为4的正方形，点 E在边AD? BFGP-所在直线!)才、X/JFjKi F/ r / f，图/J)匕，备用图BF二4筋；示， 过点F作FH丄AD交AD的延长线于点1题解图M丄AB交AB的延长线于点M

5、 ,如解图所贝 U FM 二 AH , AM 二 FH ,题图 ? ? AD二 4, AE 二 1,DE 二 3,同(1)得： EFH ? A CED (AAS),FH 二 DE 二 3, EH 二 CD 二 4,即点F到AD的距离为3; 二 AB + AM 二 4+ 3 二 7, FM 二 AE + EH 二 5,BF = p BM2 + FM2 =p72 + 52 二"74;3分两种情况：当点E在边AD的左侧时，过F作FH丄AD于点H ,交BC于点K,如解图所示，同1得： EFH? 4CED ,FH 二 DE 二 4+ AE , EH 二 CD 二 4, FK 二 8+ 在 Rt

6、A BFK 屮，BK 二 AH 二 EH AE AE 二 4- AE ,AE'解得：AE 二 1 或 AE 二一 5 舍 去，示 当点E在边AD的右侧时，过F作尸H丄AD交AD的延长线于点H,交BC的延长 线于点K,如解 图所示,【灵活应用】B二如理得：有一块2缺角矩形面积最大的矩形 AE的长为1或2+回伯为所剪出矩形的内角，求该矩形的面积；2.【实际应用盐城【探索发现】 如图，是一张襄角边角形纸板余料最大的矩形，经过屡次操作发现，ABCDE , AB二 32, BC 二 40, AE 二 20, CD 二 16,小明从 中剪出 了一个ABCD,经测量AB 二50 cm, BC 二10

7、8 cm, CD60 cm,且 tanB 二 tanC= 3,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 矩形的面积.M、N在边BC上且面积最大的矩形 PQMN ,求该第1题解图AE二 1当沿随后，他通过证明验证了其正确性【拓展应用】如图,在ABC中,BC =，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为a, BC 边上的由勾股定理得：(4AE) ' + (8 + 二 (3 屮 0) 2;【灵活应用】点为I, FG中占I 八、为K,? ?5'补全解：如解图，延长 BA与DE交于点F延长BC与ED交于点G延长AE与CD交于点H, FB屮EH 二 20, HD 二 16,? AE二 EH ,

8、 CD二 DH , ? 在 AEF 与八 HED 中,r / FAE 二 / DHE ,/ 力厅二 HE ,? AEF ? A HED(ASA),(/ AEF 二 / HED，同理：4 CGD HED ,第2题解图AF 二 DH 二 16, CG二 EH 二 20,? .B > BA土 AE 二 24 ,2?/ 16<Blv32 ,?中位线IK在八FBG中，? S矩形 IBLK S 堆形 IBLK 1 ?$FBG1BG - BF1勺? S矩形 IBLK = x 60 X 48 二 720.4【实际应用】解：如解图，延长 BA、CD相交于点E,过点E作EH垂直BC交BC于点H,tanB 二 tanC= 3, ?/ B 二/ C,?- EB 二 EC,BC 二-108 cm, ?- BH2BC 二 54t anB一 EH,4? EH二 BH-tanB 一-X 54= 723?在RtA BHE 屮，/EHB 二 90°? BE=Aj B+ EH2 二90 cm, AB 二