九级第一章直角三角形的边角关系

1、第一章九年级下册直角三角形的边角关系例 2:在厶 ABC中，/ C=90°, BC=12cm AB=20cm 求 tanA和tanB的值.§ 1.1从梯子的倾斜程度谈起一知识要点1. 能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等正切的定义：在Rt ABC中,锐角A的与锐角A的比叫做/ A的正切，记作 tanA,即 tanA=2. 能够用正切进行简单的计算.二、典型例题与分析例1:如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比随堂练习见课本P6 1、23、补充：在等腰 ABC中,AB=AC=13,BC=10,求 tanB.跟踪练习1、 在Rt ABC中

2、,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变 D.不能确定2、/ A, / B为锐角1假设/ A=Z B,那么 tanA tanB;三、拓展训练例3如图，Rt ABC是一防洪堤背水坡的横截面图， 斜坡AB的长为12 m,它的坡角为45°,为了 提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1 : 1.5的斜坡AD,求DB的长.结果保存根号(2) 假设 tanA=tanB,那么/ A_/ B.四、中考链接1:假设某人沿坡度i = 3: 4的斜坡前进10米，那么他所在的位置比原来的位置升高 米2、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线

3、与菱形的一边的夹角为那么 tan 0=.§ 1.2从梯子的倾斜程度谈起(2)正弦与余弦一. 知识要点：1正弦，余弦的定义(1) 在Rt ABC中，锐角A的与的比叫做/ A的正弦，记作sinA,即sinA=(2) .在Rt ABC中，锐角A的与的比叫做/ A的余弦，记作cosA,即cosA=二典型例题与分析：例1.如图:在Rt ABC中, / B= 90° ,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.总结：锐角三角函数的定义 ArfjjCJii锐角A的，都叫做/ A的三角函数定义中应该注意的几个问题(1) sinA，cosA，tanA，是在直角三角形中定义的，/ A是锐角

4、(注意数形结合，构造直角三角形).(2) sinA，cosA，tanA，是一个完整的符号，表示/ A，习的长为m , B 40o，那么直角边BC的长是()oA. msin 40C. mtan40o(3) sinA，cosA，tanA，是一个比值.注意比的顺序 ，且2.如图,/ C=90 ° CD 丄AB.跟踪练习：1.如图，直角三角形ABC中，斜边ABB. mcos40°mtan 40°sinA，cosA，tanA，均0,无单位.(4) sinA，cosA，tanA，的大小只与/ A的大小有关，而 与直角三角形的边长无关.(5) 角相等，那么其三角函数值相等；两锐

5、角的三角函数 值相等，那么这两个锐角相等.(1) SinB= = 一 =(2)假设 BD=6,CD=12.求 cosA 的值.练习：如图，分别根据图(1)和图(2)求/ A的三个三角函数值.3.在等腰厶 ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求sin B,cosB.三.根底练习:1. ABC 中， C 90 , 3cosB=2,4.如下图, 于RtA ABC s RtA DEF，那么)cosE的值等AC= 2.5 ，贝UAB=1A.-2B.C.D.2.在 Rt ABC 中,C 90，如果AB2 , BC 1 ,那么sin B的值是A. 1 B.23. 在 Rt ABC 中)_3"

6、2"CC.90 b 2a, 假设梯.3a,b, c分别是B C/ AOB如图放置，那么2A, B, C的对边，假设4. 如图，一架梯子斜靠在墙上， 子到墙的距离AC =3米，3cos BAC ，那么梯子AB的长度4米.5如果值是A.贝U tan A五.中考链接1 .正方形网格中, 的值为55-ca是等腰直角三角形的一个锐角，那么tan 的B.A.B.2.5c.D.2如图,在厶ABC 中,cos/ AOBACB 90o, CD AB 于四.知识延伸1如图，P是/P的坐标为3,3A .-52.如图，AD的边4),4C.5CDAD 4，贝U sinBA. 5 B. 12 C.1313D，假

7、设值为2A.AC23 ,AB3.2，那么 tan BCD 的B.4AB(13,)3 BCc.12 , CD 3,_63D.6, 8，现将 B重合，折痕为D3如图，别在AC、ABC 中，、AB上DEAB ,AE 6,3.直角三角形纸片的两直角边长分别为 ABC如图那样折叠，使点A与点DE ,那么tanCBE的值是求( 1)(2)DE、 ta n247_24C.D90，点D、E分 BD平分 ABC ,A 3cos A.5CD的长；DBC的值.§ 1.330 0 , 45 0 , 60 0角的三角函数值 一、知识要点(1) 直角三角形中的边角关系(2) 特殊角300,45°,60

8、°角的三角函数值(3) 互余两角之间的三角函数关系(4) 同角之间的三角函数关系二、典型例题例 1: (1)sin30 0 + cos45°2020 丄,L 0 sin 60 +cos 60 - tan45跟踪练习：0 ° 0 0(1) sin60 cos45 ；(2)cos60 +tan60跟踪练习：2某商场有一自动扶梯，其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少？例 3、女口图,在 Rt ABC 中,/ C= 90 / A, / B , / C的对边分别是 a,b,c.求证:sin A+cos A=1跟踪练习:3 6tan2 300、3sin 600 2co

9、s450.1. tanx tan300 =1,且为锐角。贝U=2、锐角 A 满足 2s in A- 15。= . 3，那么A 三、随堂练习:例2:如图:一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5m, 当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60 0，且两边摆动的 角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).(见课本P121)四、知识延伸：某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。从C点处测得A的俯角为45°同一 时刻，从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60°。已知海岸的高度为 4米，求此时钓鱼的人和飞机之间的 距离(结果保存整数

10、)。五、拓展提高：如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中 心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在 B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得/ ABC=45,Z ACB=30，问此公路是否会穿 过该森林公园？请通过计算进行说明。六；中考连接：1、如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为 30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，那么该高楼的高度大约为A82 米B163 米C52 米D30 米A2、如图 身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是300和600的三角尺测量一棵树的高度她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高 ？§

11、 1.4船有触礁的危险吗一、知识要点1. 根据题意，画出示意图将实际问题转化为数学 问题2. 用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形 的问题3. 解释最后的结果.二、典型例题与分析例1 :海中有一个小岛 A,该岛四周10海里内有 暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55° 的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西 25° 的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续 向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？ 与同伴进行交流.跟踪练习如图，水库大坝的截面是梯形 ABCD坝顶AD= 6 m坡长CD= 8 m.坡底 vBC= 30 m，/ ADC=1351求/

12、 ABC的大小：“；'/2如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少 土石料?结果精确到0.01 m 3三、根底练习1.如图，由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别 为60°和30° .塔基高出地平面 20米即BC为20 米塔身AB的高为跟踪练习：1小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测 得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处.测得仰 角为60° .那么该塔有多高?小明的身高忽略不计，结 果精确到1 mC4咪2CA 60米飞行方向D例2某商场准备改善原来楼梯的平安性能，把倾角由40°减至35°，原楼梯长为 4 m，调

13、整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?结果精确到0.01 m高炮正上方2000米经过, 沿水平方向飞行，稍后到达B点，这时仰角为45° ,1分 钟后，飞机到达A点，仰角30° ,那么飞机从B到A的速度 是米/分.精确到1米/分A.1461B.1462C.1463D.14643.如下图，河对岸有水塔 CD.今在A处测得塔 ，前进20米到达B处，又测得C的仰CD精确到 0.1m是m200米高的峭壁上，测得一塔的塔顶顶C的仰角为30°角为45°，那么塔高4.如图：在与塔基的俯角分别为 30°和60° ,那么塔高是米四、拓展提高如图，某

14、货船以20海里/时的速度将一批重 要物资由A处运往正西方向的 B处，经16小时的航行 到达，到达后必须立即卸货此时接到气象部门通知， 一台风中心正以40海里/时的速度由 A向北偏西60° 方向移动，距台风中心200海里的圆形区域包括边界 均受到影响1问：B处是否会受到台风的影响 ？请说明理由.2为防止受到台风的影响，该船应在多少小2、如图，一条小船从港口 A出发，沿北偏东40°方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西 30°方向航 行10海里后到达 C处问此时小船距港口 A多少海 里？结果精确到 1海里以下数据可以选用：sin 40°0.6428 ,时

15、内卸完货物?供选用数据：,2 - 1.4 , . 3 - 1.7tan 40° 0.8391cos40° 0.76601.732 ) 北五、中考连接:1、如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°,货轮以每小时 20海里的速度 航行，1小时后到达B处，测得灯塔 M在北偏西 45°,问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？精确到0.1海里，.3疋1.732测量物体的高度(1)东方向，OD西偏南70°.V一知识要点1.解直角三角形的概念： 在直角三角形中一些边 和角求未知的边和角叫做解直角三角形.2 解直角三角

16、形的类型：一边，一锐角；两 边.3 解直角三角形的公式：(1) 三边关系：a2+b2=c2,(2) 角关系：/ A+Z B=,(3) 边角关系：sinA= , sinB=cosA= , cosB=tanA= , tanB=4 .仰角、俯角5.象限角：0A北偏东60°, OB东南方向，OC正例2 (07济南)如图表示一山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米，从A到B,从B到C是两段不同坡角的山坡路.山坡路AB的长100米，它的坡角Z BAE=5，山坡路 BC的坡角Z CBH=12 .为 了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与 AB的坡角相同，使得Z DBI=5

17、76;.(精确到0.01米)(1) 求山坡路AB的高度BE.(2) 降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？(sin5 ° =0.0872 , cos5 ° =0.9962 , sin12 ° =0.2079 , cos12 ° =0.9781 )AC东AAC6 .坡度：AB的坡度i ab=, Za叫坡角,BCtan a =i= ACBC三根底练习1.如图，太阳光线与地面成 60°角，一棵倾斜的I EP).A. 1 B . 2 C二典型例题例1 ( 07辽宁)为了农田灌溉的需要，某乡利用一土 堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2

18、米，坡度为1 : 0.8的渠道(其横断面为等腰梯形) ?，并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增 加了 0.6米(如下图)求：(1) 渠面宽EF;(2) 修200米长的渠道需挖的土方数.大树与地面成30。角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，那么大树的高约为 根号)米.(结果保存/太阳上牙7光域M面2 .计算：cos 245 ° + tan60 ° ? cos30 ° 等于(3 .升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为 30°,假设两眼距离地面1.2m,那么旗杆高度约为 。(取3 1.73，结果精确

19、到 0.1m)四知识延伸测量底部不可以到达的物体的高度，可以按以下步骤进行：如下图，以测量 MN的高度为例 在测点 A处安置测倾器，测得此时M的仰角MCE 。 在测点A与物体之间的B处安置测倾器A、B与N在一条直线上，测得此时M的仰角 MDE 。 量出测倾器的高度 AC BD a，以及测点A B之间的距离AB=bb1 根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由。2 假设30 ，60 ， a 01 m， b 50m，六中考链接1 如图，在测量塔高 AB时，选择与塔底在同一水 平面的同一直线上的 C D两点，用测角仪器测得塔顶 A的仰角分别是30°和60°. ?测角仪

20、器高 CE=1.5 米，CD=30米，求塔高AB 保存根号试计算MN的高度。M1. 公路MN和公路PQ在点P处交汇，且2 如图，某船以每小时 36海里的速度向正东航行， 在A?点测得某岛C在北偏东60。方向上，航行半小时 后到B点，测得该岛在北偏东 30 °方向上，该岛 周围16海里内有暗礁.1试说明B点是否在暗礁区域处；2假设继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由.五拓展提高QPN 30，点A处有一所中学，AP=160m 一辆拖拉机以3.6km/h的速度在公路MN上沿PN方向行驶， 假设拖拉机行驶时， 周围100m以内会受噪声影响，那 么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说

21、 明理由；如果受影响，会受影响几分钟？1.5 测量物体的高度1.下表是小明同学填写活动报告的局部内容课题在两岸近似平行的河段上测量河宽测量目标图示C匚DA B测得 数据/ CAD=60 ,AB=30m,Z CBD=45 , / BDC=90请你根据以上的条件,计算出河宽CD结果保存根号.2.下面是活动报告的一局部 ，请填写“测得数据和“计算两栏中未完成的局部课题测量旗杆高测量示意 图AECBD测得 数据测量 工程第一次第二次平均值BD 的长24.19m23.97m测倾 器的 高CD=1.23mCD=1.19m倾斜角a=31° 15'a=30° 45'a=31

22、°计算旗杆高AB精确到0.1m3. 学习完本节内容后，某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题 ，下表是小 明同学填写的活动报告，请你根据有关测量数据，求 旗杆高AB计算过程填在下表计算栏内.活动报告课题利用测倾器测量学校旗杆的高测量示意图AECBDBD的长BD=20.00m测量数测倾器的高CD=1.21m据倾斜角a =28°计算旗杆高AB的计算过程精确到0.1m4. 某市为促进本地经济开展，方案修建跨河大桥，需要 测出河的宽度AB,在河边一座高度为 300米的山顶 观测点D处测得点A，点B的俯角分别为a =30° 3 =60。，求河的宽度精

23、确到0.1米5. 为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索 ：实践一：根据?自然科学?中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图1的测量方案：把镜 子放在离树AB8.7米的点E处，然后沿着直线 BE 后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得 DE=2.7米，观察者目高 CD=1.6米，请你计算 树AB的高度精确到0.1米实践二：提供选用的测量工具有：皮尺一根； 教学用三角板一副；长为2. 5米的标杆一根；高度 为1.5米的测角仪一架，请根据你所设计的测量方案， 答复以下问题：1 在你设计的方案中，选用的测量工具是(2) 在图(2)中画出你的测

24、量方案示意图；(3) 你需要测得示意图中哪些数据，并分别用a,b,c,a , B等表示测得的数据_.(4) 写出求树高的算式：AB=.ACEDB(1)实践二：提供选用的测量工具有：皮尺一根；教学用三角板一副；长为2.5米的标杆一根；高度为1.5米的测角仪(能测量仰角、俯角的仪器) 一架。请根据你所设计的测量方案，答复以下问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是(用工具 的序号填写)(2 )在右图中画出你的测量方案示意图；(3) 你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、a等表示测得的数据：(4)写出求树高的算式：AB =6. 在1:50000的地图上,查得A点在300m的等高线上

25、,B 点在400m的等高线上，在地图上量得 AB的长为 2.5cm,假设要在A B之间建一条索道，那么缆索至少要 多长？它的倾斜角是多少？(说明：地图上量得的 AB的长,就是A,B两点间的水平 距离AB',由B向过A且平行于地面的平面作垂线,垂足为B',连接AB ,那么/A即是缆索的倾斜角.)7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学 应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据?自然科学?中的反射定律，利用 一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案： 把镜子放在离树(AB 8.7米的点E处，然后沿着直线 BE后退到点D,这是恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得 DE

26、=2.7米，观察者目高 CD=1.6米，请你 计算树(AB的高度.(精确到0.1米)A九年级下册第一章 直角三角形的边角关系回忆与思考一、知识要点：1. 锐角三角函数的定义2. 特殊角的三角函数值如图，某居民小区内 A, B两楼之间的距离 MN 30 米，两楼的高都是 20米，A楼在B楼正南，B楼窗 户朝南.B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN 2米，窗户高CD 1.8米.当正午时刻太阳光锐角a30o45o60osin aCOS atan a线与地面成30°角时，A楼的影子是否影响 B楼的一楼住户采光？假设影响，挡住该住户窗户多高？假设不影响，请说明理由参考数据：21.414，、

27、31.732， 、52.236)3. 运用直角三角形的边角关系解决问题：有关边： 勾股定理及逆定理，如图1, 如图2，D为AB边中点，那么有CD 如图3,Z A=30o,那么有BC=c D N-有关角： 直角三角形两锐角; 等腰直角三角形每个锐角都等于。有关边与角：如图1,4. 数形结合思想的运用二、典型例题及分析：1 利用三角函数的定义计算：2例 1：在厶ABC中, / C=90o, SinA=,求 tanB3跟踪练习：如图，某幢大楼顶部有一块广告牌 CD , 甲、乙两人分别在相距 8米的A B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A, B, E三点在一条直线上

28、假设BE 15米，求这块广告牌的高度.取31.73，计算结果保存整数跟踪练习：在Rt ABC中， C 90°，直角边AC是A Xi600直角边BC的2倍，那么sin A的值是.2 构造直角三角形：例2:等腰三角形两边长分别是10和13,求底 角的余弦。3.解决实际问题2.美丽的东昌湖赋于江北水城以灵性，周边景点密布如图， A, B为湖滨的两个景点， C为湖心一个 景点.景点B在景点C的正东，从景点 A看，景点B2.直角三角形纸片的两直角边 AC与BC之比为3:4、将厶ABC沿BD折叠，使点C落在AB上，然后沿在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向.一游客着E

29、F折叠，使点B与点D重合，那么tan DEA自景点A驾船以每分钟20米的速度行驶了 10分钟到 达景点C，之后又以同样的速度驶向景点 B，该游客 从景点C到景点B需用多长时间精确到1分钟？东194D、-255C、72. 3.艘轮船自西向东航行. A处测得东偏北21.3° 方向有一座小岛C眯续向东行60海里到达B处, 测得小岛C此时在轮船的东偏北【中考链接】一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28. 4海里/时的速度按北偏东63.5°方向上之后,轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近?据45°的方向航行，半小时后到达 B处，此时

30、又测得 灯塔A在货轮的北偏西 70°的方向上如图11, 求此时货轮距灯塔 A的距离AB结果精确到0.1.参考数据：sin40 °0. 643, sin65 =0.906, sin70 丄0. 940sin 21.3°,ta n21.3°2,si n63.5°9 ,tan 63.5°2东拓展提高:1.如图， ABC中D为AB的中点，CD丄AC于C,过D作DE的值。1/ AC 交 BC 于 E，假设 DE= DB ,求 cosA第一章直角三角形的边角关系单元能力测试总分值：100分时间：45分钟班级 姓名一、认真填一填！请把你认为正确的结

31、论填在题中的横线上。每题6分，总分值24 分1 等腰直角三角形的一个锐角的余弦值等于 。2 .在 ABC 中，/ C = 90°, sinA=3/5 , cosA3 .计算：sin 2450+ cos245°=4 .小芳为了测量旗杆高度，在距旗杆底部6米处测得顶端的仰角是 60°,小芳的身高是 1米5,那么旗杆高米。保存1位小数二.请把以下各题中惟一正确答案的代号填在题后的括号内5、在 Rt ABC 中，/ C=90A.4/56、等边,AC=3, BC=4 ,B.3/5C.3/4D.4/3ABC的边长为2，那么其面积为(每题5 分,那么cosB的长是总分值40分A

32、.27 .在等于ABC 中/C=90°, 2/ A= / B ,)/ A: / B: / C对边分别为 a、b、c,那么 a： b: c1:2:1B. 1:2 :1C. 1:3:2D. 1:2: .38、某人沿着倾斜角为a的斜坡前进了A.卫0米sin9、如图，正方形 ABCD的边长为 那么tan/ BAD '等于B.100sin a 米100米，那么他上升的最大高度是C.卫0米cosD.100COS a 米2,如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D'处,C.2、3A.1第10题图10、如图， 垂足分别为11A.311、如图，A.200m12、如图,1

33、A.-第12题图B点。假设入射角为a, 第9题图CD是平面镜，C、D，且 AC=3 , BD=6 , CD=11 贝U tan a 的值为3911B.C.D.11119300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为B.180mC.150mD.100m在矩形 ABCD中，CE丄BD于点E, BE=2 , DE=8，那么tan/ ACE的值为B.-第11题图光线从 A出发经CD上点E发射后照射到AC 丄 CD , BD 丄 CD ,30°和60°,那么塔高CD为C.4D.2D2. 2三.解答题共36 分13.总分值12分如图，在Rt ABC中，BCA 90 , CD是中线，BC 6,CD 5，求AC的长和tan ACD的值。14.总分值12分某村方案开挖一条长 1500米的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深 0.8米，下底宽1.2米, 坡角为45° 如下图。，求挖土多少立方米。15、总分值12分一艘渔船在 A处观测到东北方向有一小岛 C,小岛C周围4.5海里范围内是水产养殖场. 渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东即 BD方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？D第一章直角三角形的边角关系单元能力