(精)2019年中考数学真题分类训练——二十：几何探究型问题

1、2019年中考数学真题分类训练专题二十:几何探究型问题（219重庆A卷)如图,在平行四边形BC中，点E在边BC上,连结AE,EMAE，垂足为E，交C于点M，AFBC,垂足为F,BHAE，垂足为H，交A于点N，点是D上一点，连接P（1）若D=2AP4,P，C5，求的面积.（2)若AE,AN=CE，求证：ADCM+2CE.解:(1)作CGA于G,如图1所示：设PG=x,则=-x,在tPC中,GC=C2G27-,在RtDC中，C2=CD2-GD252-(x)29+8-x2,17-x2=9+8xx2,解得:x=1,即PG=1，G=，DP=2AP=,AD=6，SCDD×CG6×4=1

2、2.(）证明:连接NE,如图2所示：AHA,AFB,EEM,AEB+=EB+EF=AB+MEC=9°，NBF=EA=EC，在BF和EA中,BFEAF,BF=F，NFE，ABC°,ENF=45°，F=AF=BF，NE=BCD=3°,D=AF,在ANE和ECM中,，ANEE,CM=NE,又FM,FMC+C,AC+2EC2.（019广州）如图,等边BC中，A6，点D在BC上,BD=4,点E为边AC上一动点(不与点C重合），CDE关于DE的轴对称图形为FDE（1)当点F在A上时，求证：DFB；（2）设CD的面积为S1，的面积为S2,记SS-S2，S是否存在最大值

3、？若存在，求出的最大值;若不存在，请说明理由；（)当B,F,E三点共线时求AE的长解：（1)证明：ABC是等边三角形,AC=6°,由折叠可知:DFC，且点F在AC上,C=C=60°,DFC=A，D（2）存在,如图，过点作DMB交B于点M，AB=BC=6,D,CD2DF=2,点F在以D为圆心,F为半径的圆上,当点F在DM上时,SABF最小,BD4，MAB，AB=60°，MD2,SABF的最小值6×（2)=66,S最大值2×3(6)=-36（3）如图，过点D作DF于点G，过点作EHC于点H，CE关于E的轴对称图形为FDE,DFDC2,EFDC=60

4、°，E，FD=60°,G=1，DGFG,B2B+DG2，1=+(F+1）2,BF1，BG，HBC,C0°,CH，HHCEC,GBD=EH,BD=E=9°，BGBH，,EC,AE=ACEC=73.（09安徽）如图,tABC中,ACB=90°，CBC，P为ABC内部一点,且PB=BC=135°(1)求证:PB；（）求证:=2PC；（3）若点P到三角形的边,B,C的距离分别为h,h2，3,求证h1=2·h3证明：(1)ACB=9°，ABC,ABC=45°=PBAPC,又APB=135°，PB+B=45

5、°，BC=AB，又APBBPC=35°，PABPB(2)PABC,在tABC中,ABAC，,PA2PC.（3)如图，过点P作PDBC，AC交BC、AC于点D,E，PF=h,PD=，PEh，CPBAPB=135°+135°=270°,AC90°，P+AP90°,又ACB=A+CD9°,A=PD,tRtCD，即，32h2，PABBC，,.即：h122·h34.(2019深圳）已知在平面直角坐标系中,点(,）,B（-3，0），C（-3，8)，以线段为直径作圆,圆心为E，直线交于点D，连接OD.()求证:直线OD

6、是的切线;（2）点F为x轴上任意一动点,连接CF交E于点，连接B.当tanAF时，求所有F点的坐标_（直接写出）;求的最大值解:（1)证明：如图1，连接DE,B为圆的直径,BDC=90°，A90°,A=OB,OD=B=A，OBOB,EED，D=EDB,B+O=EB+ODB，即EO=EDO,CBx轴，EBO=90°,EDO=90°，点D在E上,直线O为的切线.(）如图2,当F位于A上时，过F作F1NAC于N,1，NF1=C=°，NAB，,A=6，BC=8,AC10，即ABBAC=6810=345,设AN=3,则N=4,AF5k，CCA-N1-3,

7、anAC，解得：k,，即F（，0)如图3，当F位于BA的延长线上时，过F作F2MA于,AM2AB,设M,则MF4k,F25k，CM=AA=10+3,taC,解得：,A=5k=2，OF2=3+2=5,即F2（，0),故答案为：F1（,)，F（5,0）方法1:如图4,C为直径，CGB=CBF=90°，CBGCFB,，B2=CG·F，F，C2+BG2BC2，BG2=-CG，,令y=G2(64-G)=-CG4+64C=-（C2-32)232=-（G23)2322,当G232时，此时C=4,方法：设BCG,则sin,cs，ncos，(si-os)2,即:sin2cs2sincos，s

8、in2+cos=1，sinc,即，的最大值.5（2019宁夏）如图，在ABC中,=90°，AB=3,AC=，点,Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A,B重合）,且QB,过点作C的平行线MN,交AC于点,连接Q,设BQ为x.（1)试说明不论x为何值时,总有QBMABC；（）是否存在一点Q，使得四边形BMN为平行四边形,试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMN的面积最大，并求出最大值.解:(）MQC,Q°，=CAB，又QB=ABC,QABC（）当B=MN时，四边形BMN为平行四边形,MBQ，BQ=MN，四边形NQ为平行四边形(3）A°,B=3,C=4,B，QB

9、MBC,，即,解得,Qx,BM,MNC，即，解得,N=5x，则四边形BNQ的面积（5xx）x（)2，当x时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为6.(201江西)在图1，2,3中,已知AC,AC=120°，点为线段BC上的动点，连接A，以E为边向上作菱形AFG，且EG10°.(1）如图1，当点E与点重合时,CEF=_°（)如图2，连接A填空：FAD_AB(填“>”“<”“=”）;求证:点F在AC的平分线上(3)如图,连接G,G，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形EG是平行四边形时，求的值.解：（1）四边形AFG是菱形,AE18°-EA6&

10、#176;，CF=AEC-AF60°，故答案为：0°（2)四边形ACD是平行四边形，DB=180°-BC0°,四边形AEG是菱形,A=120°,FE=60°，FAD=EAB,故答案为：=证明:如图,作FMC于M,NB交B的延长线于，则FNB=FM9°，NFM=60°,又AFE=6°,A=F，F=EA，AE=60°，AEF为等边三角形，FA=F,在N和EF中,AFNM（AAS)FF,又FMBC，FBA,点F在C的平分线上（3)如图,四边形A是菱形,EAG=20°,AGF60°,

11、E=AGE30°,四边形GH为平行四边形，GA,GHAG=30°，H=G=30°,GA90°,又AG°，GN=2N，D60°,H=30°，DH30°，AD=A=GE，四边形AD为平行四边形，BCD,BGE,四边形ABEH为平行四边形，HAE=EA30°,平行四边形ABEN为菱形，AANNE,E3AB,37.（2019海南)如图,在边长为的正方形ABCD中,E是边C的中点,点P是边AD上一点（与点A、不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q（1)求证：PDCE；(2）过点E作EFBC交B于点F,连结F,当P

12、B=PQ时，求证:四边形FEP是平行四边形；请判断四边形E是否为菱形,并说明理由.解：(1)证明：四边形A是正方形，ECQ=90°,E是D的中点,E=CE，又DEP=E，PDEQCE.（2）证明：PBPQ,PQ,ADBC，P=PBQ=EP，PDECE,QE,EBQ，FF，在RtPAB中，AFPFF，APF=PAF,PAF=PD，EF，FBQ,四边形AFEP是平行四边形；四边形AFEP不是菱形，理由如下:设PD,则AP-，由（1）可得DE,Q=PDx，Q=B+CQ=1x,点、分别是、PB的中点，EF是P的中位线,EFB,由知AP=EF,即1x,解得x，PD,AP,在RPDE中，DE，P

13、，APP,四边形AFEP不是菱形8.（2019陕西）问题提出:(1）如图1,已知BC,试确定一点，使得以，B，C,为顶点的四边形为平行四边形,请画出这个平行四边形;问题探究：（2）如图2,在矩形ABCD中,A4，BC=，若要在该矩形中作出一个面积最大的B,且使PC=0°，求满足条件的点P到点的距离；问题解决:(3)如图,有一座塔，按规定,要以塔为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区DE根据实际情况,要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，CBE10°,那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCE？若可以,求出满足要求的平行四边形BDE的最

14、大面积;若不可以，请说明理由（塔A的占地面积忽略不计）解:(1）如图记为点D所在的位置(2)如图,4,C=0,取BC的中点,则OB>A以点O为圆心，OB长为半径作O,一定于AD相交于P,P2两点，连接BP1，P，PO,BPC=90°，点不能再矩形外,BPC的顶点P1或P2位置时，BP的面积最大,作1EB,垂足为，则OE=3,AP1BE=O-O=5-3=，由对称性得P28(）可以,如图所示,连接D，A为BCDE的对称中心,BA50，BE=10°,B=0，ED=0°，作BDE的外接圆,则点E在优弧上，取的中点E,连接B,ED,则B=ED,且BE60°，

15、BD为正三角形.连接EO并延长,经过点A至C,使A=C,连接C，D，EAD，四边形为菱形,且C=12°,作EFBD，垂足为F，连接EO,则EFEO+OA-EO+A=EA,SBDE·BD·EF·D·EA=E,S平行四边形CES平行四边形C=S02·s60°=500（m2），所以符合要求的D的最大面积为000m.9.(2019天津）在平面直角坐标系中,O为原点，点（6,0），点B在y轴的正半轴上，AB30°.矩形CODE的顶点D,E,分别在A，AB，OB上,O=2()如图,求点E的坐标;()将矩形OD沿x轴向右平移，得

16、到矩形COE，点,O,E的对应点分别为C，O，E设=,矩形COE与ABO重叠部分的面积为S如图，当矩形D与AO重叠部分为五边形时，CE,ED分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式子表示，并直接写出的取值范围;当S时,求t的取值范围（直接写出结果即可).解:(）点A（6,)，OA=6,OD2,ADOA-OD=6-2=,四边形COD是矩形,EO,AD=ABO30°，在RtAED中，AE=2AD，4，D=2,点E的坐标为(2，4）（）由平移的性质得：O=2,D=4,MOO=,EOCOB,FABO30°，在RMFE中，MF2E2,FEt,SMEE·FEtt，S矩形CDE

17、OD·ED×48,S矩形CDSMFE=,S2+8,其中t的取值范围是：0<t<2;当时,如图所示:O'A=OA-OO=6-，OF=0°，=BO=3°,O'OA(6t）,S(6-t）(6-t)，解得:t=,或t(舍去），6；当S=5时，如图所示：O'A=6-,'A-=4，O'G（6-t),D'F(4-t）,S（6t）(4t）×2=5,解得：,当S时，的取值范围为t610.（9北京)在B中,D,E分别是AB两边的中点，如果上的所有点都在ABC的内部或边上，则称为AB的中内弧.例如，图中是A

18、BC的一条中内弧(1)如图2，在RtC中,AB=C,D,分别是AB，AC的中点,画出ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长;（）在平面直角坐标系中,已知点A(0，2),（0，),(4t，0)（t>0),在ABC中,D,分别是AB，AC的中点若，求AB的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围;若在ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在C的内部或边上,直接写出的取值范围解：(1）如图2，以D为直径的半圆弧，就是AC的最长的中内弧,连接E,A0°,ABA,，E分别是B,的中点，BC4,DEB2，弧2=(2)如图，由垂径定理可知,圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE,作E垂直平分线,作EGAC交FP于G，当t时，C(2，),D（0，1）,E（1，),（，1)，设P（，m）由三角形中内弧定义可