第一章 逻辑代数基础

1、第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础1.1 概述概述1.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式1.逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理1.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法1.6 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法1.7 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简 1.1.1 数字量和模拟量数字量和模拟量 1.1 概述概述 模拟信号是模拟信号是时间连续、数值也连续的物理量时间连续、数值也连续的物理量。如模拟声音、温。如模拟声音、温度、

2、压力、流量等物理量的电信号。模拟信号具有无穷多的数值，度、压力、流量等物理量的电信号。模拟信号具有无穷多的数值，其数学表达式也较复杂，例如正弦函数、指数函数等。处理模拟信其数学表达式也较复杂，例如正弦函数、指数函数等。处理模拟信号的电路为模拟电路。号的电路为模拟电路。 数字信号是数字信号是时间和幅值都离散的物理量时间和幅值都离散的物理量。在数字电路中，常用。在数字电路中，常用二进制数来量化连续变化的模拟信号。二进制数用二值数字逻辑中二进制数来量化连续变化的模拟信号。二进制数用二值数字逻辑中的的1和和0表示。表示。 数字信号在时间和数值上均离散；用数字信号在时间和数值上均离散；用逻辑逻辑0和和逻

3、辑逻辑1表示，即表示，即二值数字逻辑，或简称二值数字逻辑，或简称数字逻辑数字逻辑。 在电路中，用电子器件的开关特性来表示二值数字逻辑，由在电路中，用电子器件的开关特性来表示二值数字逻辑，由此形成离散信号电压或数字电压。这些数字电压通常用此形成离散信号电压或数字电压。这些数字电压通常用逻辑电平逻辑电平表示。表示。 处理数字信号的电路为数字电路。处理数字信号的电路为数字电路。1. 十进制十进制：计数规律是计数规律是“逢十进一逢十进一”。十进制是以。十进制是以10为基数的计数体为基数的计数体制。制。2. 二进制二进制：用用0，1的组合表示一个数，的组合表示一个数，“逢二进一逢二进一” D= ki2i

4、一、一、 数制数制 1.1.2 数制和码制数制和码制例：例：1101.101B=1 23 + 1 22 + 0 21 + 1 20 + 1 2-1 + 0 2-2 + 1 2-3=13.625D 一般，一般，16进制数用进制数用H（Hexadecimal）；八进制数用）；八进制数用O（Octal）;十进制数用十进制数用D（Decimal）;二进制数用二进制数用B（Binary）表示。）表示。3. 十六进制十六进制：用：用09，A,B,C,D,E,F的组合表示一个数的组合表示一个数D= ki16i一般地，一般地，N进制需要用到进制需要用到N个数码，基数是个数码，基数是N；运算规律为逢；运算规律为

5、逢N进进一。一。如果一个如果一个N进制数进制数M包含位整数和位小数，即包含位整数和位小数，即 (an-1 an-2 a1 a0 a1 a2 am)2则该数的权展开式为：则该数的权展开式为：(M)2 an-1Nn-1 an-2 Nn-2 a1N1 a0 N0 a1 N-1a2 N-2 amN-m 由权展开式很容易将一个由权展开式很容易将一个N进制数转换为十进制数。进制数转换为十进制数。二、二、 数制转换数制转换将二进制数按权展开，即可以转换为十进制数。将二进制数按权展开，即可以转换为十进制数。1、 二二 - 十转换十转换 例：例：（01010110）B=0 27 +1 26 +0 25 +1 2

6、4 +0 23 + 1 22+121 +0 20 =（86）D2、 十十 - 二转换二转换采用的方法采用的方法 基数连除、连乘法基数连除、连乘法原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。整数部分采用基整数部分采用基数连除法数连除法，小数部分采用基数连乘法小数部分采用基数连乘法。转换后再合并。转换后再合并。 2 44 余数 低位 2 22 0=K0 2 11 0=K1 2 5 1=K2 2 2 1=K3 2 1 0=K4 0 1=K5 高位 0.375 2 整数 高位 0.750 0=K1 0.750 2 1.500 1=K2 0.500 2 1.000 1

7、=K3 低位整数部分采用基数连除法，整数部分采用基数连除法，先得到的余数为低位，后先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。得到的余数为高位。小数部分采用基数连乘法，小数部分采用基数连乘法，先得到的整数为高位，后先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。得到的整数为低位。所以：所以：(44.375)(44.375)1010(101100.011)(101100.011)2 2采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N N进制数。进制数。3、 二进制数与十六进制数的转换二进制数与十六进制数的转换1 1101 0100 . 011（0000）= （

8、1 E 8 . 6 )16= （1010 1111 0100 . 0111 0110 ）（ A F 4 . 7 6 ）16二进制数与十六进制数的相互转换，按照每二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。于一位十六进制数进行转换。4、十六十六进制数与十进制数的转换进制数与十进制数的转换 将二进制数按权展开，即可以转换为十进制数。将二进制数按权展开，即可以转换为十进制数。 （4E6）H = 4162 +14 161 +6 160 =（1254）D 将十进制数转换为十六进制数时，可以先转换成二进制数，将十进制数转换为十六进制数时，可以先转换成二进制

9、数，然后再将得到的二进制数转换为等值的十六进制数。然后再将得到的二进制数转换为等值的十六进制数。三、三、 码制码制BCD代码代码：用位二进制数码表示位十进制数的：用位二进制数码表示位十进制数的十个状态，十个状态， 称这些代码为二十进制代码，即称这些代码为二十进制代码，即BCD（Binary Coded Decimal）代码。）代码。 例：一个多位十进制数与相应的例：一个多位十进制数与相应的8421BCD码之间转换关系如下所示：码之间转换关系如下所示：00110000 100100013091十进制数：十进制数：对应的对应的8421BCD码：码：常常 用用 的的 几几 种种 BCD 码码 十进十

10、进制数制数8421BCD码码2421BCD码码5121BCD码码余余3码码余余3循环码循环码0000000000000001100101000100010001010001102001000100010010101113001100110110011001014010001000111011101005010110111000100011006011011001001100111017011111011010101011118100011101011101111109100111111111110010101.8421码是码是BCD代码中最常用的一种。若把每一个代码都看成是一个四代码中最常用的

11、一种。若把每一个代码都看成是一个四位二进制数，各位的权依次为位二进制数，各位的权依次为8，4，2，1。另外，每个代码的数值恰。另外，每个代码的数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。好等于它所表示的十进制数的大小。2.2421BCD码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯一码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯一（如十进制数（如十进制数“5”可以编码为可以编码为“1011”或或“0101”）；）；09、18、27等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运算简化；等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运算简化；3.余余3码被看成码被看成4位二进制数时，则它的数值要比它所

12、表示的十进制数码位二进制数时，则它的数值要比它所表示的十进制数码多多3。如果将两个余。如果将两个余3码相加，所得的和将比十进制数和所对应的二进码相加，所得的和将比十进制数和所对应的二进制数多制数多6。因此，在用余。因此，在用余3码作十进制加法运算时，若两数之和为码作十进制加法运算时，若两数之和为10，正好等于二进制数的正好等于二进制数的16，于是从高位自动产生进位信号。，于是从高位自动产生进位信号。4.余余3循环码是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有一位循环码是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误；码元不同。这一特点使数据

13、在形成和传输时不易出现错误； 1.1.3 1.1.3 算数运算和逻辑运算算数运算和逻辑运算算术运算算术运算：当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可以：当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种运算称为算术运算。进行数值运算，这种运算称为算术运算。二值逻辑：只有两种对立状态的逻辑关系二值逻辑：只有两种对立状态的逻辑关系逻辑运算逻辑运算：当两个二进制数码表示不同的逻辑状态进行的运算：当两个二进制数码表示不同的逻辑状态进行的运算1 1、 直接用直接用“+”+”和和“”表示符号的二进制数，不能在机表示符号的二进制数，不能在机器使用。器使用。2 2、将符号数值化了的二进制

14、数将符号数值化了的二进制数, ,可在机器中使用。可在机器中使用。3 3、一般将符号位放在数的最高位。、一般将符号位放在数的最高位。例：例： +1011 0 1 0 1 11 1 0 1 1-1011 真值和机器数：真值和机器数：又称又称符号符号+数值表示数值表示, 对于正数对于正数, 符号位为符号位为0, 对于负数、符号对于负数、符号位为位为1, 其余各位表示数值部分。其余各位表示数值部分。例：例： N1 = +10011 N2 = 01010 N1原原= 010011 N2原原= 101010原码表示的特点原码表示的特点: 真值真值0有两种原码表示形式有两种原码表示形式,即即 +0原原= 0

15、00 0原原= 1 00对于正数，其反码表示与原码表示相同，对于负数，符号位为对于正数，其反码表示与原码表示相同，对于负数，符号位为1，其余各位是将原码数值按位求反。其余各位是将原码数值按位求反。例：例： N1 = +10011 N2 = 01010 N1反反= 010011N2反反= 1 10101真值真值0也有两种反码表示形式，也有两种反码表示形式，即即 +0反反= 000 0反反= 1 11对于正数，其补码表示与原码表示相同，对于负数，符号位对于正数，其补码表示与原码表示相同，对于负数，符号位为为1，其余各位是在反码数值的末位加，其余各位是在反码数值的末位加1.例：例： N1 = +10

16、011 N2 = 01010 N1补补= 010011N2补补= 1 10110真值真值0只有一种补码表示形式，只有一种补码表示形式，即即 0补补= 0反反+1= 1 11+1= 1 0 0 0丢弃丢弃A B Y0 0 00 1 01 0 01 1 1 逻辑代数是英国数学家乔治逻辑代数是英国数学家乔治.布尔（布尔（Geroge.Boole）于）于1847年首年首先进行系统论述的，也称布尔代数。先进行系统论述的，也称布尔代数。 所研究的是两值变量的运算所研究的是两值变量的运算规律，即规律，即0，1表示两种不同的逻辑状态。表示两种不同的逻辑状态。算术运算：算术运算：两个表示数量大小的二进制数码之间

17、进行的数值运算。两个表示数量大小的二进制数码之间进行的数值运算。逻辑运算：逻辑运算：两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因果两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因果关系进行的运算。关系进行的运算。ABY 某个事件受若干个条件影响，若所有条件成立，其因果关系才某个事件受若干个条件影响，若所有条件成立，其因果关系才成立，这样的逻辑关系称逻辑乘（与）。即成立，这样的逻辑关系称逻辑乘（与）。即YAB。1.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算一、与运算一、与运算:二、或运算二、或运算 一个事件的成立与否有许多条件，只要其中一个或几个条件成立，一个事件的成立与否有许多条件，

18、只要其中一个或几个条件成立，事件便成立，这样一种逻辑关系称逻辑加（或）。即事件便成立，这样一种逻辑关系称逻辑加（或）。即YAB实现逻辑乘的逻辑电路称为与门，与门的逻辑符号为：实现逻辑乘的逻辑电路称为与门，与门的逻辑符号为：&ABYABYABY0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1ABYABY0000111011110 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1三、三、非运算非运算:“条件不具备时，事件才发生条件不具备时，事件才发生”逻辑非逻辑非实现这种逻辑关系的电路称或门，或门的逻辑符号为：实现这种逻辑关系的电路称或门，或门的逻辑符号为：1ABY+A

19、BYABY完成非运算的电路称为非门。非门的逻辑符号是：完成非运算的电路称为非门。非门的逻辑符号是：AF 1AYAYAY&ABY1ABY五、或非：五、或非：“先进行或运算，再将结果求反先进行或运算，再将结果求反”四、与非：四、与非：“先进行与运算，再将结果求反先进行与运算，再将结果求反”逻辑符号：逻辑符号：ABY 表达式：表达式：BAY表达式：表达式：逻辑符号：逻辑符号：六、与或非：六、与或非：“先进行与运算，先进行与运算， 再进行或非运算再进行或非运算”表达式：表达式：CDABY逻辑符号：逻辑符号：YABCD&1=1ABY=ABY七、异或：七、异或：“A A，B B不相同，不相同，Y Y为为1

20、 1；A A， B B相同，相同，Y Y为为0”0”BABABAY表达式：表达式：逻辑符号：逻辑符号：八、同或：八、同或：“ A，B相同，相同，Y 为为1；A， B不相同，不相同，Y为为0”BAY = A B = AB +逻辑符号：逻辑符号：表达式：表达式：1.逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式 . 结合律：结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；(AB) C=A (B C). 交换律：交换律：AB=BA A+B=B+A. 互补律：互补律：A A=0 A+A=1. 重叠律：重叠律：AA=A A+A=A1001. 0，1律：律：0A=0 0+A=A 1A=A 1+A=1一、

21、逻辑代数的基本公式：一、逻辑代数的基本公式：. 分配律：分配律： A (B+C)=AB+AC；A+B C=(A+B) (A+C) BAABBABA. 反演律：反演律：8. 还原律：还原律：AA常用公式（常用公式（4）称为冗余律，用文字描述如下：在两个乘积项中，）称为冗余律，用文字描述如下：在两个乘积项中，若有一个变量是互反的，那么由这两个乘积项中的其它变量组成若有一个变量是互反的，那么由这两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的，可以消去。的乘积项就是多余的，可以消去。二、常用公式：二、常用公式：（1）AABA（2）A B BAAB（3）ABA AA（4）AB CBCAB CAABBABA

22、BA（5）下面通过真值表来看同或和异或之间的关系下面通过真值表来看同或和异或之间的关系:从真值表可见，两个变量的异或和同或是互反的。从真值表可见，两个变量的异或和同或是互反的。结论：偶数个变量的异或和同或是互反的，奇数个变量的异或结论：偶数个变量的异或和同或是互反的，奇数个变量的异或 和同或是相等的。和同或是相等的。1. 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2、反演定理：反演定理：Y是一个逻辑函数表达式，如果将表达式中是一个逻辑函数表达式，如果将表达式中 所有的所有的“”换为换为“+”，所有的，所有的“+”换为换为“”，所有的常量，所有的常量0换为换为1，1换为换为0，所有的原变量换为反变量，

23、所有的反变量换为原变量，所有的原变量换为反变量，所有的反变量换为原变量， 则所得到则所得到的表达式为的表达式为 Y，称为，称为Y的反函数。的反函数。1、代入定理代入定理：任何一个含有变量：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现变量的等式，如果将所有出现变量A 地方都代之以一个逻辑函数地方都代之以一个逻辑函数Y，等式仍成立。，等式仍成立。3、对偶对偶定理定理：对任一逻辑式对任一逻辑式Y，将其中的，将其中的“”换成换成“”，“”换成换成 “”，“”换成换成“”，“1”换成换成“0”，得到，得到Y ,Y 称为称为Y的对偶式。的对偶式。（1） 若一个定理是正确的，则其对偶式也一定正确。若一个定理是正

24、确的，则其对偶式也一定正确。 （2） 若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。（3） 对对偶式再求对偶得原函数本身。对对偶式再求对偶得原函数本身。 利用对偶式，有时可以简化对等式的证明。利用对偶式，有时可以简化对等式的证明。解：解：)()(DCCBADCCBAYDCBDACBCACBDACA例例3： 求求CDCBAYYCDCBACDCBAY)()(CDCBA)(例例2：已知已知Y=A(B+C)+CD, 求求Y 解：解：例例1：试证明试证明ABC(A+B)(A+C) 证：令证：令 Y1ABC Y2(A+B)(A+C) 求对偶求对偶: Y1 A(B+C)AB

25、AC Y2 ABAC 因为因为Y1 Y2 所以所以 Y1Y21.5.1 逻辑函数逻辑函数（1）逻辑变量和逻辑函数的取值只有）逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和和1。（2）函数和变量之间的关系由）函数和变量之间的关系由“与、或、非与、或、非”三种基本运算决定。三种基本运算决定。 以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的值确定以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的值确定之后，输出的取值就唯一的确定了。输出与输入之间是一种函数关系，之后，输出的取值就唯一的确定了。输出与输入之间是一种函数关系，称为逻辑函数。写作称为逻辑函数。写作YF（A，B，C）1.5逻辑函数及其表示方法逻辑

26、函数及其表示方法 例：对一个举重裁判电路，规定例：对一个举重裁判电路，规定必须有一名主裁判和任一名副裁必须有一名主裁判和任一名副裁判同时认定运动员动作合格，试举才判同时认定运动员动作合格，试举才成功，即灯亮。主裁判掌握按钮成功，即灯亮。主裁判掌握按钮A，两名副裁判分别掌握按钮，两名副裁判分别掌握按钮B和和C，裁判认为动作合格才按钮。裁判认为动作合格才按钮。YF（A，B，C）.逻辑函数式：表达逻辑函数的输入与输出关系的与、或、非等逻逻辑函数式：表达逻辑函数的输入与输出关系的与、或、非等逻辑运算的组合式。辑运算的组合式。1.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法.逻辑真值表（便于直观的观看变

27、量与函数之间的关系）。逻辑真值表（便于直观的观看变量与函数之间的关系）。A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1举重裁判电路的逻辑真值表举重裁判电路的逻辑真值表以以A=1，B=1，C=1表示三按纽表示三按纽按下状态，按下状态，A=0，B=0，C=0表表示没有按下，示没有按下，Y=1表示灯亮，表示灯亮，Y=0表示灯不亮，表示灯不亮，举重裁判电路的逻辑函数式为：举重裁判电路的逻辑函数式为：Y= A (B+C)&1YABC.逻辑图：将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等运算关系逻辑图：将逻辑函数式中各变量之间的与、

28、或、非等运算关系用相应的逻辑符号表示出来，即画出能表示函数关系的逻辑图。用相应的逻辑符号表示出来，即画出能表示函数关系的逻辑图。举重裁判电路的逻辑图为：举重裁判电路的逻辑图为：1.5.3 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式一、最小项和最大项：一、最小项和最大项：. 最小项最小项：在：在n变量逻辑函数中，若变量逻辑函数中，若m为包含为包含n个因子的乘积项，而且个因子的乘积项，而且这这n个变量均个变量均以原变量或反变量的形式在以原变量或反变量的形式在m中出现一次中出现一次，则称，则称m为该组为该组变量的最小项。变量的最小项。 若逻辑函数有若逻辑函数有n个输入变量，则全部这个输入变量，则全

29、部这n个变量的乘积项即是一项个变量的乘积项即是一项最小项。在最小项中，每个变量或以原变量或以反变量的形式出现，最小项。在最小项中，每个变量或以原变量或以反变量的形式出现，且仅出现一次，所以应该有且仅出现一次，所以应该有 个最小项，用符号个最小项，用符号mi表示。表示。n2CBACBACBABCACBACBACABABC以三变量的逻辑函数为例，最小项的编号表如下图所示：以三变量的逻辑函数为例，最小项的编号表如下图所示：将最小项中的原变量用将最小项中的原变量用“1”代替，反变量用代替，反变量用“0”代替，这个二进代替，这个二进制代码所对应的十进制数码就是最小项的下标制代码所对应的十进制数码就是最小

30、项的下标i。 若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性相邻性。最小项性质：最小项性质：在输入变量的任何一取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小在输入变量的任何一取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为项的值为1。任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为0。全体最小项之和为全体最小项之和为1。具有相邻性的两个最小项之和可以合并为一项并消去一个因子。具有相邻性的两个最小项之和可以合并为一项并消去一个因子。例：例： 和和 ，这两个最小项相加时能合并，并可消去，这两个最小项相加时能合并，并可消去1个因子。个因子。CBACABC

31、BAACBCABCBA)(2. 最大项最大项：在：在n变量逻辑函数中，若变量逻辑函数中，若M为为n个变量的和，而且这个变量的和，而且这n个变个变量均以原变量或反变量的形式在量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称中出现一次，则称M为该组变量的为该组变量的最大项。最大项。 三变量最大项的编号表如下：三变量最大项的编号表如下：CBACBACBACBACBACBACBACBA 三变量逻辑函数的最大项有三变量逻辑函数的最大项有23个，四变量逻辑函数的最大项有个，四变量逻辑函数的最大项有24个，个，n变量逻辑函数则有变量逻辑函数则有2n个最大项，其数目与最小项数目是相等的。个最大项，其数目与最小项

32、数目是相等的。在输入变量的任何取值下，必有一个，而且只有一个最大项的值在输入变量的任何取值下，必有一个，而且只有一个最大项的值是是0。任意两个最大项之和为任意两个最大项之和为1。全体最大项之积为全体最大项之积为0。只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。最大项性质：最大项性质：对比可知：最大项和最小项存在如下关系：对比可知：最大项和最小项存在如下关系：iimM 二、逻辑函数的最小项之和形式：二、逻辑函数的最小项之和形式： 利用基本公式利用基本公式 可把任一逻辑函数式展开为最小项之和的形可把任一逻辑函数式展开为最小项之和的形式。

33、这种形式在逻辑函数的图形化简法中以及计算机辅助分析和设计中式。这种形式在逻辑函数的图形化简法中以及计算机辅助分析和设计中得到广泛应用。得到广泛应用。1 AABCCABY)7 , 6 , 3()(imBCAABCCABBCAACABYiCDBABCDADCBABBACBBCDADCBAY)()(ACCDADCBAYABCDCDBABCDADCBADDCBADDABC)()()15,14,11,10, 9 , 7 , 3(imDCBACDBADABCi例例1：例例2：三、逻辑函数的最大项之积形式：三、逻辑函数的最大项之积形式： 如果已知逻辑函数为如果已知逻辑函数为Y=mi时，可将它化成编号为时，可

34、将它化成编号为i以外的最大项以外的最大项之积。之积。 )7 , 6 , 3(imBCCABYi例：将逻辑函数例：将逻辑函数 化为最大项乘积的形式。化为最大项乘积的形式。BCCABY54210MMMMMMYiKK)()()()(CBACBACBACBACBA1YYiKKmYiKKiKKiKKMmmY1120niim由由 ，Y =mi 解：解：四、最小项与最大项之间的关系：四、最小项与最大项之间的关系：1. 或或2.某函数某函数F若用若用P项最小项之和表示，则该函数的反函数项最小项之和表示，则该函数的反函数 可用可用P项最大项最大项之积表示，而项之积表示，而P项最大项及最小项的标号完全一致。项最大

35、项及最小项的标号完全一致。例：例：F=m1+m3+m6+m73.一个一个n变量函数，当用积之和的标准型表示时，最小项的下标号正好变量函数，当用积之和的标准型表示时，最小项的下标号正好不是用和之积标准型表示时的最大项的下标号，反之亦然，而且最小项不是用和之积标准型表示时的最大项的下标号，反之亦然，而且最小项与最大项的下标号的总和为与最大项的下标号的总和为2n。 例：例： F= m(0,1,3,6) 可转换为：可转换为：F= M(2,4,5,7)iimM iiMm F763176317631MMMMMMMMmmmmF1.6逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法CBBAF1)(2CBBAFCBBA

36、F3)()(4CBBAFCBBAF5“与非与与非与”式：例式：例)()(6CBBAFCBBAF7CBBAF8“与或非与或非”式：例式：例“或与或与”式：例式：例“与或与或”式：例式：例“与非与非与非与非”式：例式：例“或非或非或非或非”式：例式：例“或与非或与非”式：例式：例“或非或或非或”式：例式：例 同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数式越简同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的电子器件实现单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑函数。逻辑函数的八种表达式：这个逻辑函数。逻辑函数的八种表达式

37、：一、逻辑函数的最简形式：一、逻辑函数的最简形式：最简最简“与或与或”式的标准：式的标准：.含的含的“与与”项最少；项最少；.各与项中含的变量数最少。各与项中含的变量数最少。最简最简“或与或与”式的标准：式的标准：.含的含的“或或”项最少；项最少； .各或项中含的变量数最少。各或项中含的变量数最少。简单的形式对应简洁的电路，烦琐的形式对应复杂的电路。简单的形式对应简洁的电路，烦琐的形式对应复杂的电路。最常用的为最常用的为“与或与或”、“或与或与”两种逻辑表达式。两种逻辑表达式。例例. 试将试将“与或与或”函数式函数式 化为化为“与或非与或非”式。式。 例例.试将与或函数式试将与或函数式 化为化

38、为“与非与非与非与非”式。式。解：利用反演定理，得解：利用反演定理，得BDCBCABYYY BDCBCABBDCBCABYCBCAABYCBACBACBABCACABABC)7 , 6 , 4 , 3 , 1 , 0(imi又又CBACBAmmmYiKK52CBCAABY解：解：只要将只要将“与或与或”式两次求反，就转换为式两次求反，就转换为“与非与非与非与非”式式二、逻辑函数的公式化简法：（用基本公式和常用公式消去多余的逻辑二、逻辑函数的公式化简法：（用基本公式和常用公式消去多余的逻辑变量和多余的与项和或项）变量和多余的与项和或项）1.并项法并项法：运用公式：消去：运用公式：消去B和和 两个

39、因子。两个因子。例：例： 或或2.吸收法：吸收法：利用公式：消去利用公式：消去AB项。项。例：例：ABAABBACDBACDBAY1CDBCDBACDBACDABAACDBAY)()(2CBABACBACCBACBCACBAY)()(3)()(4DDBCDDCBBCDDCBDBCDCBYBBCCBBDCBDCBBCDDCBDBCDCBY)()(4AABAADADBCBAADADABDCBAY)()(13.消项法消项法：利用公式：利用公式： 消去消去BC项。项。CAABBCCAABBAACCBBAACCBBAACY1EDCEBADCBAEDCBEEADCBAY)(2EBADCBAEDCEBADC

40、BA)(2DCABABDCABABYABDCDCAB)1 (BCDCBABCAAY)(3BCADCBABCABCA)(4.消因子法：消因子法：利用公式：，消去因子利用公式：，消去因子 。BABAAACBABCBY1CBCDACBCDAACBACDAAY)(2DCBACBADCBAY3DACDACACDCAACDCDAACY)(4AAAABCBCABCACBAABCBCACBAYBCBAAABCCCBA)()(A5.配项法：配项法：利用配项：利用配项：例例:例例:化简时应灵活运用以上方法化简时应灵活运用以上方法DEBADBCACBADCDBCBBAY)(DEBACBADCDBCBACDEBACB

41、ADBCBACDEBADBACBAC例：CBAACBCCBABACBCBBABAY)()(CBACBACBCBABCABACACBBABCACBAACBCAB)()1 ()1 (利用利用 配项：配项：1 AA例例:DEBADCA)CA(BDBCBACYDEBADCAADBCBACDEBADCACBADBCBACDCADBCBADCDBCBADBCBA 例：化简例：化简试用代数法证明试用代数法证明C)AB)(AC)C)(BAB)(A C)C)(BAB)(AFC)AB)(AGCAABBCCAABFCAABG证明：令证明：令求求F，G两个函数的对偶函数两个函数的对偶函数由于F=G，则有F=G一、逻辑

42、函数的卡诺图表示：一、逻辑函数的卡诺图表示：1.用卡诺图表示最小项用卡诺图表示最小项: 任一逻辑函数均可写成最小项形式。任一逻辑函数均可写成最小项形式。CBACBACBABCABACAC)B,F(A,图形两侧标准的图形两侧标准的0和和1表示使对应表示使对应小方格内最小项为小方格内最小项为1的变量取值，的变量取值，处在任何一列或一行两端的最小处在任何一列或一行两端的最小项也具有逻辑相邻性。项也具有逻辑相邻性。卡诺图是上下，左右闭合的图形。卡诺图是上下，左右闭合的图形。 逻辑函数的卡诺图是一个特定的方格图。图中的每一个小方格逻辑函数的卡诺图是一个特定的方格图。图中的每一个小方格代表了逻辑函数的最小

43、项，且任意两个相邻小方格所代表的最小项代表了逻辑函数的最小项，且任意两个相邻小方格所代表的最小项只有一个变量之差。只有一个变量之差。二变量卡诺图二变量卡诺图1.7 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法三变量卡诺图：四变量卡诺图： 建立多于二变量的卡诺图，则每增一个逻辑变量就以原卡诺图的建立多于二变量的卡诺图，则每增一个逻辑变量就以原卡诺图的右边线（或底线）为对称轴作一对称图形，图中变量列（或行）的变右边线（或底线）为对称轴作一对称图形，图中变量列（或行）的变量不变，变量行（或列）因增加变量其取值应以旋转对称轴为准来填量不变，变量行（或列）因增加变量其取值应以旋转对称轴为准来填写，对称轴

44、左面（或上面）原数字前面增加一个写，对称轴左面（或上面）原数字前面增加一个0，对称轴右面（或，对称轴右面（或下面）原数字前增加一个下面）原数字前增加一个1。 从四变量卡诺图可以看出卡诺图的排布特点，两变量函数太简单从四变量卡诺图可以看出卡诺图的排布特点，两变量函数太简单不必用卡诺图，不必用卡诺图，五变量函数的卡诺图由两张四变量卡诺图组成，但已五变量函数的卡诺图由两张四变量卡诺图组成，但已失去了直观性，不常用。失去了直观性，不常用。2. 用卡诺图表示逻辑函数：用卡诺图表示逻辑函数：ABCDDCBADCBADCBAFAB CD 00011110000000011100110010101000用卡诺

45、图表示逻辑函数的方法如下：用卡诺图表示逻辑函数的方法如下： a、将逻辑函数写成标准形式，即最小项表达式。、将逻辑函数写成标准形式，即最小项表达式。 b、逻辑函数包含哪些最小项，其对应的方格填、逻辑函数包含哪些最小项，其对应的方格填1。 c、逻辑函数不包含的最小项，其对应的方格填、逻辑函数不包含的最小项，其对应的方格填0或空着。或空着。例：例：二、二、 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数相邻小方格的合并规则：相邻小方格的合并规则：在卡诺图中，凡紧邻的小方格或与轴线对称的小方格都叫做逻辑相邻，在卡诺图中，凡紧邻的小方格或与轴线对称的小方格都叫做逻辑相邻，它们之间只有一个变量不同，可圈在一起，

46、利用对和律：它们之间只有一个变量不同，可圈在一起，利用对和律： 进进行合并。行合并。两个相邻的小方格可以合并成一个乘积项，且消去一个变量。两个相邻的小方格可以合并成一个乘积项，且消去一个变量。ABAABA BC 00 01 11 100111114（22）个相邻的小方格可合并为一个乘积项，且消去二个变量。）个相邻的小方格可合并为一个乘积项，且消去二个变量。N（2k）个相邻小方格可合并为一个乘积项，且消去）个相邻小方格可合并为一个乘积项，且消去k个变量。个变量。AB CD 000111100011011111111110AB CD 0001111000110111101111AB CD 0001

47、1110001101111111111011111. 根据逻辑函数画出逻辑函数的卡诺图。根据逻辑函数画出逻辑函数的卡诺图。2. 合并最小项。对卡诺图上相邻的合并最小项。对卡诺图上相邻的“1”方格画包围圈，并注意以方格画包围圈，并注意以下要点：下要点：化简步骤：化简步骤：（2）为了充分化简，）为了充分化简，1方格可以被重复圈在不同的包围圈中。方格可以被重复圈在不同的包围圈中。若若某个包围圈中所有的某个包围圈中所有的“1”均被别的包围圈圈过，则这个包围圈是多均被别的包围圈圈过，则这个包围圈是多余的。余的。（1）每个包围圈只能包含）每个包围圈只能包含 个个1方格方格(n=0，1，2，)。即只能。即只

48、能按按1，2，4，8，16这样的这样的1方格的数目画包围圈。方格的数目画包围圈。n2（3）不能漏圈任何一个不能漏圈任何一个“1”。若某个若某个“1”没有与其他没有与其他“1”相邻，相邻，则单独圈出。则单独圈出。（5）包围圈的个数尽量少，这样逻辑函数的与项就少。）包围圈的个数尽量少，这样逻辑函数的与项就少。（6）包围圈尽量大，这样消去的变量就多，与门输入端的数目就少。）包围圈尽量大，这样消去的变量就多，与门输入端的数目就少。（7）每个包围圈中包含的新的）每个包围圈中包含的新的1方格要尽量多，以获得最简与或式。方格要尽量多，以获得最简与或式。（4）为避免画出多余的包围圈，画包围圈时应遵从由少到多的

49、顺）为避免画出多余的包围圈，画包围圈时应遵从由少到多的顺序圈。即首先圈独立的序圈。即首先圈独立的1方格，再圈仅为两个相邻的方格，再圈仅为两个相邻的1方格，然后方格，然后分别圈分别圈4个、个、8个相邻的个相邻的1方格。方格。4. 将所有包围圈所对应的乘积项相或就得到最简与将所有包围圈所对应的乘积项相或就得到最简与-或表达式。或表达式。3. 写出每个包围圈所对应与项的表达式（写出每个包围圈所对应与项的表达式（变量发生变化的自动消变量发生变化的自动消失，变量无变化的保留，失，变量无变化的保留，“0”用反变量，用反变量，“1”用原变量用原变量）。）。例例2.化简化简BCDBCADABCBADCBADC

50、BAYDCBABABCDBDCAYAB CD 0001111000101111111111101CBCBCACAYA BC 00 01 11 1001111111CBCABAY例例1.化简化简解：解： ABC D00011110 ABC D00011110001101001101010111010111110011110011100000100000两点说明：两点说明： 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。比较、检查

51、才能确定。不是最简不是最简最简最简 ABCD00011110 ABCD00011110001100001100011110011110110010110010101010101010 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。BDADBBABCF化简逻辑函数化简逻辑函数)15,14,11,10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 2 , 0(),(mDCBAFBDADBDCBAACF1.8具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简由于外部

52、条件的限制，输入变量的某些组合不会在电路上出现，由于外部条件的限制，输入变量的某些组合不会在电路上出现，即即不允许出现不允许出现；电路输入的变量的某些组合值电路输入的变量的某些组合值对输出没有影响对输出没有影响。第第种情况中，对输入变量取值的限制称为约束，把这一组变量取种情况中，对输入变量取值的限制称为约束，把这一组变量取值等于值等于1的那些最小项称为的那些最小项称为约束项约束项。第第种情况中，在这些变量取值下等于种情况中，在这些变量取值下等于1的那些最小项称为的那些最小项称为任意项任意项。把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的无关项。把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的无关项。以上所讨论的逻辑

53、函数，其函数值是完全确定的，以上所讨论的逻辑函数，其函数值是完全确定的，1或或0 。然而当：。然而当：1.8.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项约束项约束项：某些取值组合不会出现。：某些取值组合不会出现。 任意项任意项：某些取值组合时的函数值无关紧要，既可取：某些取值组合时的函数值无关紧要，既可取0，也可取，也可取 1，不影响电路的功能。，不影响电路的功能。含有无关项的函数的两种表示形式：含有无关项的函数的两种表示形式：1、L=m()+d()2、L=m()，给定约束条件为，给定约束条件为ABC+ACD=0* 把约束项写入逻辑函数式中是无关紧要的把约束项

54、写入逻辑函数式中是无关紧要的 * 在真值表中和卡诺图中用在真值表中和卡诺图中用表示无关项，可以取值为表示无关项，可以取值为1，也可，也可取值为取值为0，对逻辑函数是无影响的。，对逻辑函数是无影响的。例：例：A,B,C三个逻辑变量，三个逻辑变量，A=1表示电动机正转，表示电动机正转，B=1表示它反转，表示它反转，C=1表示停止。因为这三个命令只能执行其中一个，所以表示停止。因为这三个命令只能执行其中一个，所以ABC只能只能取值取值001，010，100，而其余最小项则为约束项。，而其余最小项则为约束项。0ABCCBACABBCACBA约束条件为：约束条件为： 在卡诺图中，究竟将在卡诺图中，究竟将作为作为1（即认为函数式中包含有这个最小项）（即认为函数式中包含有这个最小项）还是作为还是作为0（即认为函数式中不包含这个最小项）对待，原则上：（即认为函数式中不包含这个最小项）