电磁场与交换技术 第二章

1、电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-1电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-2l 三种常用的正交坐标系（三种常用的正交坐标系（1.4.1） 直角坐标系直角坐标系 （方向矢量）（方向矢量） 直角坐标系中的长度元、面积元和体积元直角坐标系中的长度元、面积元和体积元（1.4. 1）（1.4. 2）（1.4. 3）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-3 圆柱坐标系圆柱坐标系 （方向矢量）（方向矢量） 圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元（1.4. 5）（1.4. 6）（1.

2、4. 7）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-4 球面坐标系球面坐标系 （方向矢量）（方向矢量） 球面坐标系中的长度元、面积元和体积元球面坐标系中的长度元、面积元和体积元电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-5 直角坐标系与圆柱坐标系之间的关系直角坐标系与圆柱坐标系之间的关系l 三种常用正交坐标系的转换（三种常用正交坐标系的转换（1.4.2） 直角坐标系与球面坐标系之间的关系直角坐标系与球面坐标系之间的关系 圆柱坐标系与球面坐标系之间的关系圆柱坐标系与球面坐标系之间的关系电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分

3、析1-6 广义坐标系广义坐标系 (方向单位矢量方向单位矢量) 广义柱坐标系广义柱坐标系 (方向单位矢量方向单位矢量) 不同坐标系中的长度元、面积元和体积元不同坐标系中的长度元、面积元和体积元 线积分线积分 或或 、面积分、面积分 或或 和体积分和体积分 不随位置坐标而改变不随位置坐标而改变 随着位置坐标的改变而改变随着位置坐标的改变而改变(方向方向) 三种常用的正交坐标系的相互转换（坐标的转换和方向三种常用的正交坐标系的相互转换（坐标的转换和方向矢量的转换）矢量的转换） 几点说明几点说明电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-7l 物理量的分类物理量的分类 标量场标

4、量场 矢量场矢量场电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-8（1.1.1） 单位矢量单位矢量模等于模等于1的矢量叫做单位矢量。的矢量叫做单位矢量。（1.1.2） 矢量表示法矢量表示法在三维空间中，在三维空间中，矢量矢量 可表示为一根有方向的线段可表示为一根有方向的线段该线段的长度该线段的长度 代表该矢量的模，代表该矢量的模，该线段的方向该线段的方向 代表该矢量的方向代表该矢量的方向电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-9 直角坐标系中矢量的表示直角坐标系中矢量的表示（1.1.3）（1.1.4）（1.1.5） 例如：例如：（1.1.6）（

5、1.1.7）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-10位置矢量与距离矢量位置矢量与距离矢量 场点坐标场点坐标 源点坐标源点坐标 场点矢径场点矢径 源点矢径源点矢径电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-11位置矢量与距离矢量位置矢量与距离矢量 位置矢量位置矢量由坐标原点出发引由坐标原点出发引向空间某一点的有方向线段，称向空间某一点的有方向线段，称为该点的位置矢量或矢径。为该点的位置矢量或矢径。 距离矢量距离矢量由由源点源点出发引向出发引向场点场点的矢量称为距离矢量的矢量称为距离矢量。（1.1.13）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第

6、第1章章 矢量分析矢量分析1-12 一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。 在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。 矢量与标量的乘积矢量与标量的乘积（1.1.18）（1.1.19） 负矢量负矢量与原矢量大小相等，方向相反的矢量。与原矢量大小相等，方向相反的矢量。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-13 矢量加法和减法矢量加法和减法 矢量加法满足交换律和结合律矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。，矢量减法不满足交换律。（1.1.20）（1.

7、1.21）14电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-14 直角坐标系中矢量加法和减法直角坐标系中矢量加法和减法 只有矢量和矢量之间才能进行相加减。只有矢量和矢量之间才能进行相加减。（1.1.24）（1.1.25）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-15 标量积标量积(the dot product)和矢量积和矢量积(the cross product) 两个两个矢量的矢量的标量积标量积（点积）（点积）定义为定义为这两个这两个矢量的模以及矢量的模以及这两个这两个矢量矢量 之间夹角的余弦三者的乘积之间夹角的余弦三者的乘积。（1.1.26

8、） 两个两个矢量的矢量的矢量积矢量积（叉积）（叉积）的的模等模等于于这两个这两个矢量的模以及矢量的模以及这两个这两个矢量矢量之间夹角的正弦三者的乘积，而方之间夹角的正弦三者的乘积，而方向垂直于两矢量所构成的平面，其向垂直于两矢量所构成的平面，其指向按指向按“右手法则右手法则”来确定来确定。（1.1.29）16电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-16 “右手法则右手法则”和和“右手螺旋法则右手螺旋法则” 17电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-17电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-18 标量积满足交

9、换律和分配律标量积满足交换律和分配律，矢量积只满足分配律矢量积只满足分配律。 若两个矢量垂直若两个矢量垂直, ,即它们间夹角为即它们间夹角为9090o o, ,则标量积等于则标量积等于零零, ,而矢量积最大而矢量积最大, ,等于这两个矢量模的乘积等于这两个矢量模的乘积; ;若两个若两个矢量平行矢量平行, ,即它们间夹角为零即它们间夹角为零, ,则矢量积等于零则矢量积等于零, ,而标而标量积最大量积最大, ,等于这两个矢量模的乘积。等于这两个矢量模的乘积。 若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂直；若两个非零矢量的矢量积等于零，则这相互垂直

10、；若两个非零矢量的矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。两个矢量必相互平行。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-19 标量积和矢量积在直角坐标系中的计算标量积和矢量积在直角坐标系中的计算（1.1.33）（1.1.35） 思考题：两个矢量恒等式的证明，书思考题：两个矢量恒等式的证明，书Page.6。20 若某空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定值，就称若某空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定值，就称在该空间中定义了这个物理量的在该空间中定义了这个物理量的场场或或函数函数 若这个物理量是标量，则这个场或函数称为若这个物理量是标量，则这个场或函数称为标

11、量场标量场或或标量函数标量函数。如一幢建筑物内的温度分布、一个区域内的电位分布等等如一幢建筑物内的温度分布、一个区域内的电位分布等等 若这个物理量是矢量，则这个场或函数称为若这个物理量是矢量，则这个场或函数称为矢量场矢量场或或矢量函数矢量函数。如某河流区段内水流的速度分布、一个区域内电场强度的分布等如某河流区段内水流的速度分布、一个区域内电场强度的分布等 若标量场中各点标量值的大小都相同，则称场中物理量是若标量场中各点标量值的大小都相同，则称场中物理量是常数常数 若矢量场中各点矢量大小和方向都相同，则称场中物理量为若矢量场中各点矢量大小和方向都相同，则称场中物理量为常矢常矢 若场中的物理量在各

12、点所对应的值不随时间而变化，则这个场称若场中的物理量在各点所对应的值不随时间而变化，则这个场称为为静态场静态场或或恒定场恒定场；否则，就称为；否则，就称为时变场时变场。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-2021电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-21 标量场的等值面标量场的等值面 等值面等值面函数均取相同值的曲面。函数均取相同值的曲面。例如，静电场中的等位面。例如，静电场中的等位面。 在三维空间中，每一点对应着也仅对在三维空间中，每一点对应着也仅对应着一个确定的函数值，因此它必属应着一个确定的函数值，因此它必属于也仅属于一个等值

13、面。于也仅属于一个等值面。 空间中所有的点均有等值面通过，所空间中所有的点均有等值面通过，所有的等值面均互不相交。有的等值面均互不相交。 对于同一个常数值对于同一个常数值 ，可以有多个互，可以有多个互不相交的等值面。不相交的等值面。 如果是在二维空间，函数均取相同值如果是在二维空间，函数均取相同值的点构成就是一条条的等值线，例如的点构成就是一条条的等值线，例如山体的等高线就是一种常用的等值线。山体的等高线就是一种常用的等值线。22电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-22 矢量场的矢量线或通量线矢量场的矢量线或通量线 矢量线矢量线一系列有向曲线。线一系列有向曲线。

14、线上每一点的切线方向代表该点矢上每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的矢量线密度量场方向，而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。例如，电代表该点矢量场大小。例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线场中的电力线、磁场中的磁力线 矢量场中的每一点均有一条矢量矢量场中的每一点均有一条矢量线通过，所以矢量线充满了整个线通过，所以矢量线充满了整个矢量场所在的空间矢量场所在的空间 矢量线可以汇聚于某一点，但是矢量线可以汇聚于某一点，但是不能相互交叉。不能相互交叉。 矢量场的矢量线满足的微分方程矢量场的矢量线满足的微分方程电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-231. 1.

15、标量场的方向导数标量场的方向导数 方向导数方向导数空间某一空间某一点点的的标量场沿标量场沿某一某一方向的变化率定方向的变化率定义为该标量场在义为该标量场在该该点沿点沿该该方向的方向导数方向的方向导数（1.2.1） 其中其中电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-24 根据求导法则根据求导法则（1.2.2） 方向余弦方向余弦 该方向上的单位矢量该方向上的单位矢量（1.2.3）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-25 标量函数标量函数 在空间给定点沿在空间给定点沿 方向的方向导数等方向的方向导数等于该点的梯度矢量于该点的梯度矢量 在该方向

16、上的投影在该方向上的投影 。2. 标量场的梯度标量场的梯度 标量场标量场 的梯度的梯度 大小等于标量函数大小等于标量函数在该点最大在该点最大的的方向导数值，方向指向使函数值增加最快的方向导数值，方向指向使函数值增加最快的方向。方向。（1.2.5）（1.2.6） 梯度的表示梯度的表示哈密顿（哈密顿（Hamilton）算子算子 （读作（读作del）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-26 直角坐标系中直角坐标系中的哈密顿算子的哈密顿算子 （1.2.7） 直角坐标系中直角坐标系中的梯度表示式的梯度表示式 （1.2.8） 算子算子 具有类似于矢量和微分的性质，称为矢量微

17、分算子具有类似于矢量和微分的性质，称为矢量微分算子电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-27 梯度的基本公式梯度的基本公式（1.2.9）（1.2.10）（1.2.11）（1.2.12）（1.2.13） 其中，其中， 为常数；为常数； ， 为标量函数。为标量函数。例例1.2.1 试证明：试证明： ； 。式中。式中 和和 分别表示对场点坐标和源点坐标的哈密顿算子。分别表示对场点坐标和源点坐标的哈密顿算子。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-28证明：证明：依梯度的基本公式依梯度的基本公式电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢

18、量分析矢量分析1-29 通量线通量线或矢量线或矢量线一系列有方向的曲线，该线上每一点一系列有方向的曲线，该线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的通量线密度代的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的通量线密度代表该点矢量场的大小。表该点矢量场的大小。 通量通量 矢量场穿过曲面矢量场穿过曲面 的通量线的总数，它可表的通量线的总数，它可表示为矢量沿该曲面示为矢量沿该曲面 的面积分。的面积分。（1.2.16）（1.2.17）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-30 开口曲面的正法线方向需要事先设定。通量的正、负与面开口曲面的正法线方向需要事先设定。通量的正、负与

19、面积元矢量的方向选取有关。积元矢量的方向选取有关。 闭合曲面的正法线方向规定为由的内部指向外部，即外法闭合曲面的正法线方向规定为由的内部指向外部，即外法线方向。线方向。 通量可以用来描述矢量场在空间的分布。借助于通量的概通量可以用来描述矢量场在空间的分布。借助于通量的概念，矢量又称为通量密度。例如，电位移也常常称为电通念，矢量又称为通量密度。例如，电位移也常常称为电通量密度。量密度。 发出通量线的点称为发出通量线的点称为“源源”，吸收通量线的点称为，吸收通量线的点称为“沟沟”。例如，静电场中的正电荷是发出电力线的例如，静电场中的正电荷是发出电力线的“源源”，负电荷，负电荷是吸收电力线的是吸收电

20、力线的“沟沟”。 穿过整个闭合曲面的总通量等于穿过整个闭合曲面的总通量等于“源源”发出的通量线减发出的通量线减“沟沟”吸收的通量线。吸收的通量线。 几点说明几点说明电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-31 通量概念描述了空间一个较大范围内场与源之间的关系通量概念描述了空间一个较大范围内场与源之间的关系散度概念将描述空间每一点场与源之间的关系。散度概念将描述空间每一点场与源之间的关系。 矢量场的散度矢量场的散度 矢量穿过闭合曲面的通量与该矢量穿过闭合曲面的通量与该闭合曲面所包围的小体积之比的极限。闭合曲面所包围的小体积之比的极限。（1.2.18） 一个矢量场的散度

21、是一个标量，可理解为穿过包围单位一个矢量场的散度是一个标量，可理解为穿过包围单位体积的闭合表面的通量。因此，人们也习惯地将散度称体积的闭合表面的通量。因此，人们也习惯地将散度称为通量源密度。为通量源密度。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-32 三种典型的散度值三种典型的散度值 对于静电场，在有电荷存在的点上，散度不为零。且对于静电场，在有电荷存在的点上，散度不为零。且散度大于零处具有正电荷，散度小于零处具有负电荷散度大于零处具有正电荷，散度小于零处具有负电荷 对于恒定磁场，因为不存在磁荷，散度必处处为零对于恒定磁场，因为不存在磁荷，散度必处处为零电磁场与电磁波

22、理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-33 直角坐标系中直角坐标系中的散度表示式的散度表示式 （1.2.22）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-34 散度的基本公式散度的基本公式 注意：这些基本公式均与坐标系的类型无关。它们不注意：这些基本公式均与坐标系的类型无关。它们不但在直角坐标系中成立，在其它坐标系中仍然成立。但在直角坐标系中成立，在其它坐标系中仍然成立。 其中，其中， 为常矢；为常矢； 为常数；为常数； 为标量函数，为标量函数， 为矢量函数。为矢量函数。（1.2.23）（1.2.24）（1.2.25）（1.2.26）例例1.2.2 设设

23、 表示空间两点表示空间两点 与与 之间之间距离，试求距离，试求 。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-35解：解：电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-36 值得提醒注意的一点是：在上述计算中，需假设距离值得提醒注意的一点是：在上述计算中，需假设距离R不不等于零。否则，函数等于零。否则，函数(1/R)将出现奇异点。在第将出现奇异点。在第3章讨论镜章讨论镜像法时（像法时（3.7节）将会证明：节）将会证明：（1.2.27）（1.2.28）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-37 环量环量 矢量场沿空间一条

24、闭合曲线的线积分。矢量场沿空间一条闭合曲线的线积分。（1.2.29） 矢量场的环量是一个标量矢量场的环量是一个标量用来描述一个矢量场的旋用来描述一个矢量场的旋涡特性。大小和正负取决涡特性。大小和正负取决于矢量场的分布以及该闭于矢量场的分布以及该闭合曲线积分的环绕方向。合曲线积分的环绕方向。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-38 旋度在某一方向上的投影旋度在某一方向上的投影（rotation或或curl） 矢量场的旋度矢量场的旋度 或或 大小等于该点最大的环量大小等于该点最大的环量密度，方向为取得最大环量密度的那块小面积的法线方向密度，方向为取得最大环量密度的那

25、块小面积的法线方向 环量密度环量密度矢量沿闭合曲线的环量与小面积之比的极限矢量沿闭合曲线的环量与小面积之比的极限,其大小与矢量的分布和闭合曲线的方向有关。其大小与矢量的分布和闭合曲线的方向有关。（1.2.30）39电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-39 不同闭合路径位置情况下的环量不同闭合路径位置情况下的环量电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-40 直角坐标系中直角坐标系中旋度的推导旋度的推导 （1.4.5）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-41 直角坐标系中直角坐标系中的旋度表示式的旋度表示式

26、 （1.2.34）（1.2.35）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-42 旋度的基本公式旋度的基本公式 注意：这些基本公式均与坐标系类型无关。它们不注意：这些基本公式均与坐标系类型无关。它们不但在直角坐标系中成立，在其它坐标系中仍然成立但在直角坐标系中成立，在其它坐标系中仍然成立 其中，其中， 为常矢；为常矢； 为常数；为常数； 为标量函数，为标量函数， 为矢量函数为矢量函数（1.2.36）（1.2.37）（1.2.38）（1.2.39）例例1.2.3 试证明：试证明： 。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-43证明：证明：电磁

27、场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-441.2.5 梯度、散度、旋度的比较梯度、散度、旋度的比较 一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向；标量位的最大变化率及其方向； 一个矢量函数的散度是一个标量函数，它描述了空间各点一个矢量函数的散度是一个标量函数，它描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系；场矢量与通量源之间的关系； 一个矢量函数的旋度是一个矢量函数，它描述了空间各点一个矢量函数的旋度是一个矢量函数，它描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系。场矢量与旋涡源之间的关系。 只有当场

28、函数具有连续一阶偏导数时，梯度、散度、旋度只有当场函数具有连续一阶偏导数时，梯度、散度、旋度的定义才是有意义的。在某些场量不连续的交界面上，就的定义才是有意义的。在某些场量不连续的交界面上，就不可能定义梯度、散度和旋度。不可能定义梯度、散度和旋度。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-45电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-46 矢量场的矢量场的“源源”有两种，建立散度的通量源和建立旋度的旋有两种，建立散度的通量源和建立旋度的旋涡源。要使矢量场是非零场，则必存在产生这种场的一种源。涡源。要使矢量场是非零场，则必存在产生这种场的一种源

29、。非零矢量场不可能既是无源场又是无旋场非零矢量场不可能既是无源场又是无旋场 若一个矢量场的散度处处为零，就不存在通量源，该矢量场若一个矢量场的散度处处为零，就不存在通量源，该矢量场称为无源场称为无源场(恒定磁场恒定磁场)。 若一个矢量场的旋度处处为零，就不存在旋涡源，该矢量场若一个矢量场的旋度处处为零，就不存在旋涡源，该矢量场称为无旋场称为无旋场(静电场静电场)。 存在通量源的矢量场为有源场。在源区，该矢量场散度不为存在通量源的矢量场为有源场。在源区，该矢量场散度不为零；在非源区，该场散度仍然可以为零。零；在非源区，该场散度仍然可以为零。 存在旋涡源的矢量场为有旋场，但该场旋度仅在旋涡源所在存

30、在旋涡源的矢量场为有旋场，但该场旋度仅在旋涡源所在空间点上不为零，在其它点上仍然可以为零。空间点上不为零，在其它点上仍然可以为零。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-47 大部分矢量恒等式和矢量基本定理都可通过直接计算来证大部分矢量恒等式和矢量基本定理都可通过直接计算来证明。为简单起见，可在直角坐标系中证明，对其它正交坐明。为简单起见，可在直角坐标系中证明，对其它正交坐标系，也都是成立的。标系，也都是成立的。（1.3.1）（1.3.2）（1.3.3）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-48 恒等式恒等式 的意义的意义 任何一个标量

31、函数的梯度的旋度必等于零。任何一个标量函数的梯度的旋度必等于零。 任何一个梯度场必然为无旋场，而任何一个无旋场也必为任何一个梯度场必然为无旋场，而任何一个无旋场也必为有位场。例如静电场。有位场。例如静电场。 恒等式恒等式 的意义的意义 任何一个矢量函数的旋度的散度必等于零。任何一个矢量函数的旋度的散度必等于零。 任何一个旋度场必为无源场，而任何一个无源场必为有旋任何一个旋度场必为无源场，而任何一个无源场必为有旋场。例如恒定磁场。场。例如恒定磁场。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-49 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子算子 在直角坐标系中的拉普拉斯算子在

32、直角坐标系中的拉普拉斯算子例如例如 对于其它坐标系对于其它坐标系（1.3.4）但但（1.3.9）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-501.3.2 矢量场的基本定理矢量场的基本定理 高斯高斯(Gauss)散度定理散度定理矢量场穿过空间任一闭合曲面的矢量场穿过空间任一闭合曲面的通量等于该矢量的散度在曲面所包围体积内的体积分。通量等于该矢量的散度在曲面所包围体积内的体积分。证明：将体积分割成证明：将体积分割成 N 个的小体积个的小体积（1.3.10）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-51 斯托克斯斯托克斯（Stokes）定理）定理

33、矢量场矢量场沿空间任一闭合曲线沿空间任一闭合曲线的环量等于该矢量场的旋度穿过以闭合曲线作为边界曲线的环量等于该矢量场的旋度穿过以闭合曲线作为边界曲线的任一开放曲面的通量。的任一开放曲面的通量。证明：将该曲面剖分为证明：将该曲面剖分为N 个小面积个小面积（1.3.11）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-52 格林（格林（Green）第一定理）第一定理或格林第一恒等式或格林第一恒等式 这个定理可以通过令这个定理可以通过令 ，利用高斯散度定理证明。，利用高斯散度定理证明。 格林（格林（Green）第二定理）第二定理或格林第二恒等式或格林第二恒等式（1.3.13）（1

34、.3.12）（1.3.14）（1.3.15）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-53证明：采用反证法。假设同时存在两个矢量场证明：采用反证法。假设同时存在两个矢量场 和和 ， 它们具有相同的散度和旋度以及边界条件，即它们具有相同的散度和旋度以及边界条件，即 令令 则有则有 唯一性定唯一性定理理若在区域若在区域 内矢量场内矢量场 的散度的散度 、旋、旋度度 以及在边界面以及在边界面 上的切向分量上的切向分量 或或(法向分量法向分量 )已给定，则矢量场在该区域内的解是唯一的。已给定，则矢量场在该区域内的解是唯一的。由矢量恒等式和格林定理，可证明要满足上述两式，必有由

35、矢量恒等式和格林定理，可证明要满足上述两式，必有得证。得证。电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-54 亥姆霍兹亥姆霍兹(Helmholtz)定定理理空间有限区域空间有限区域 内任一矢内任一矢量场量场 均可以表示为一个无源场均可以表示为一个无源场 (即即 或或 )和一个无旋场和一个无旋场 (即即 或或 )之和，之和， 即即（1.3.25）（1.3.26）（1.3.24）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-55 亥姆霍兹定亥姆霍兹定理理的一个的一个特例特例空间区域为无限大，而场源空间区域为无限大，而场源却分布在一个有限区域内。在这种情

36、况下，如假设矢量场却分布在一个有限区域内。在这种情况下，如假设矢量场在无限远处以足够快的速度减弱至零，即在无限远处以足够快的速度减弱至零，即则有则有 在无限大空间中，只要知道矢量场的散度和旋度，就能将在无限大空间中，只要知道矢量场的散度和旋度，就能将其定量地确定下来。既无源又无旋的场是不存在的。其定量地确定下来。既无源又无旋的场是不存在的。（1.3.27）（1.3.28）（1.3.29）（1.3.30）电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论第第1章章 矢量分析矢量分析1-56 正交曲线坐标系正交曲线坐标系三个坐标面均为一般的曲面。任意两三个坐标面均为一般的曲面。任意两坐标面的交线为第三个坐标变量

37、的坐标轴，一般为曲线。坐标面的交线为第三个坐标变量的坐标轴，一般为曲线。空间任一点有三个坐标轴通过，坐标轴上的单位矢量相互空间任一点有三个坐标轴通过，坐标轴上的单位矢量相互正交且符合右手螺旋法则。这三个单位矢量的方向随空间正交且符合右手螺旋法则。这三个单位矢量的方向随空间点位置的不同而变化。点位置的不同而变化。 正交曲线坐标系的类型很多正交曲线坐标系的类型很多, 已出现的有已出现的有 10 多多种。除直角种。除直角坐标系这种特殊的正交曲线坐标系以外，其它还有圆柱、坐标系这种特殊的正交曲线坐标系以外，其它还有圆柱、球面、椭圆柱、抛物柱等正交曲线坐标系。常用的就是直球面、椭圆柱、抛物柱等正交曲线坐标系。常用的就是直角坐标系，圆柱坐标系和球面坐标系。角坐标系，圆柱坐标系和球面坐标系