202X202X学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数课件新人教A版必修1 (3)

1、2.32.3幂函数幂函数 目标导航目标导航 新知导学新知导学素养养成素养养成1.1.幂函数的概念幂函数的概念一般地一般地, ,函数函数 叫做幂函数叫做幂函数, ,其中其中 是自变量是自变量, , 是常数是常数. .y=xy=xx x思考思考1:1:幂函数图象不可能出现在第几象限幂函数图象不可能出现在第几象限? ?答案答案: :第四象限第四象限. .这是因为这是因为y=xy=x中当中当x0 x0时时,y,y不可能小于不可能小于0.0.思考思考2:2:两个幂函数图象最多有几个交点两个幂函数图象最多有几个交点? ?最少呢最少呢? ?答案答案: :两个幂函数图象最多有两个幂函数图象最多有3 3个交点个

2、交点, ,如如y=xy=x3 3和和y=xy=x的图象的图象, ,由于幂函数图由于幂函数图象都过点象都过点(1,1),(1,1),因此两幂函数图象最少有一个交点因此两幂函数图象最少有一个交点. .3.3.幂函数的性质幂函数的性质y=xy=xy=xy=x2 2y=xy=x3 3y=y=y=xy=x-1-1定义域定义域R RR RR R0,+)0,+)x|x0 x|x0值域值域R R0,+)0,+)R R0,+)0,+)y|y0y|y0奇偶性奇偶性奇奇偶偶奇奇非奇非偶非奇非偶奇奇单调性单调性增函增函数数x0,+)x0,+)时时, , 函数函数; ;x(-,0 x(-,0时时, , 函数函数 函数函

3、数 函数函数x(0,+)x(0,+)时时, , 函数函数; ;x(-,0)x(-,0)时时, ,减函数减函数增增减减增增增增减减12x名师点津名师点津各种幂函数的图象和性质各种幂函数的图象和性质当指数当指数=1=1时时,y=x,y=x的图象是直线的图象是直线; ;当当=0=0时时,y=x,y=x0 0=1=1是断直线是断直线( (除点除点(0,1),(0,1),除此以外幂除此以外幂函数的图象都是曲线函数的图象都是曲线. .幂函数幂函数y=xy=x的图象在第一象限内具有如下特征的图象在第一象限内具有如下特征: :直线直线x=1,y=1,y=xx=1,y=1,y=x将将直角坐标平面在第一象限的直线

4、直角坐标平面在第一象限的直线x=1x=1的右侧分为三个区域的右侧分为三个区域、,如图如图. .那么那么(1,+)(1,+)y=xy=x的图象经过区域的图象经过区域内内; ;(0,1)(0,1)y=xy=x的图象经过区域的图象经过区域内内; ;(-,0)(-,0)y=xy=x的图象经过区域的图象经过区域内内. .并且在直线并且在直线x=1x=1的右侧的右侧, ,从从x x轴起轴起, ,幂函数幂函数y=xy=x的指数的指数由小到大递增由小到大递增, ,即即“指大图高指大图高“指小图低指小图低, ,在直线在直线x=1x=1的左侧的左侧, ,图象从下到上图象从下到上, ,相应相应的指数由大变小的指数由

5、大变小. .课堂探究课堂探究素养提升素养提升解析解析:(2):(2)幂函数幂函数f(x)=(m2-m-1)xmf(x)=(m2-m-1)xm的图象与坐标轴无交点的图象与坐标轴无交点, ,可得可得m2-m2-m-1=1,m-1=1,且且m0,m0,解得解得m=-1,m=-1,那么函数那么函数f(x)=x-1,f(x)=x-1,所以函数是奇函数所以函数是奇函数, ,在在定义域上不是减函数定义域上不是减函数, ,且无最值且无最值, ,应选应选B.B.(2)(2021(2)(2021福建龙岩期中福建龙岩期中) )假设函数假设函数f(x)=(m2-m-1)xmf(x)=(m2-m-1)xm是幂函数是幂函

6、数, ,且图象且图象与坐标轴无交点与坐标轴无交点, ,那么那么f(x)(f(x)() )(A)(A)是偶函数是偶函数 (B)(B)是奇函数是奇函数(C)(C)是单调递减函数是单调递减函数(D)(D)在定义域内有最小值在定义域内有最小值易错警示易错警示(1)(1)幂函数解析式的构造特征幂函数解析式的构造特征: :解析式是单项式解析式是单项式; ;幂指数为常数幂指数为常数, ,底数为自变量底数为自变量, ,系数为系数为1.1.(2)(2)幂函数幂函数y=xy=x的图象与坐标轴无交点的图象与坐标轴无交点, ,那么那么0,0,而不是而不是0.0.解析解析: :由由m2-m-1=1m2-m-1=1得得m

7、=2m=2或或m=-1,m=-1,又又x(0,+)x(0,+)时幂函数为减函数时幂函数为减函数, ,那么需那么需m2-2m-30,m2-2m-3cba(A)dcba(B)abcd(B)abcd(C)dcab(C)dcab(D)abdc(D)abdc解析解析:(2):(2)在第一象限内在第一象限内,x=1,x=1的右侧局部的图象的右侧局部的图象, ,图象由下至上图象由下至上, ,幂指数幂指数增大增大, ,所以所以abcd.abcd.应选应选B.B.方法技巧方法技巧(1)(1)根据幂函数解析式选择幂函数图象应根据函数解析式的特征判断根据幂函数解析式选择幂函数图象应根据函数解析式的特征判断函数在第一

8、象限时函数图象的变化趋势函数在第一象限时函数图象的变化趋势, ,再结合函数的定义域、奇偶再结合函数的定义域、奇偶性等方面确定函数图象的形状性等方面确定函数图象的形状. .(2)(2)根据幂函数的图象比较指数的大小根据幂函数的图象比较指数的大小, ,可根据幂函数的单调性以及图可根据幂函数的单调性以及图象的变化判断象的变化判断, ,也可利用特征也可利用特征, ,如令如令 x=2, x=2,作出直线作出直线x=2x=2与各图象的交点与各图象的交点, ,由指数函数由指数函数y=2xy=2x的单调性即可由交点的纵坐标确定指数的大小关系的单调性即可由交点的纵坐标确定指数的大小关系. .(2)(2)如图是幂

9、函数如图是幂函数y=xmy=xm与与y=xny=xn在第一象限内的图象在第一象限内的图象, ,那么那么( () )(A)-1n0m1(A)-1n0m1(B)n-1,0m1(B)n-1,0m1(C)-1n1(C)-1n1(D)n1(D)n1解析解析:(2):(2)在在(0,1)(0,1)内取内取x0,x0,作直线作直线x=x0,x=x0,与各图象有交点与各图象有交点, ,那么那么“点低指数大点低指数大. .如图如图.0m1,n-1.0m1,n-1.应选应选B.B.答案答案: :(1)B(1)B答案答案: :(2)C(2)C (3)(3)如图中所给函数图象是幂函数的是如图中所给函数图象是幂函数的是

10、.(.(填图象序号填图象序号)解析解析: :(3)(3)可根据所给函数是否过定点可根据所给函数是否过定点(1,1)(1,1)判断判断. .图象过定点图象过定点(0,1),(0,1),因此是指数函数因此是指数函数; ;图象是函数图象是函数y=1,y=1,因为过因为过(0,1),(0,1),故不是故不是y=xy=x0 0的图象的图象; ;图象过定点图象过定点(1,1)(1,1)及及 (-1,-1), (-1,-1),因此是因此是y=xy=x(0)(3-2x)-2,(x+1)-2(3-2x)-2,求求x x的范围的范围. .纠错纠错: :错解中只考虑了利用幂函数性质转化为关于错解中只考虑了利用幂函数

11、性质转化为关于x x的不等式的不等式, ,而无视而无视了了x+10 x+10及及3-2x0.3-2x0.学霸经历分享区学霸经历分享区(1)(1)对于幂函数对于幂函数y=x(R),y=x(R),只要求出只要求出的值就可以求出幂函数的的值就可以求出幂函数的解析式解析式, ,求幂函数解析式的常用方法是待定系数法求幂函数解析式的常用方法是待定系数法. .(2)(2)求解幂函数图象问题的两种方法求解幂函数图象问题的两种方法依据图象上下判断幂指数大小依据图象上下判断幂指数大小, ,相关结论为相关结论为: :在在(0,1)(0,1)上上, ,指数越大指数越大, ,幂函数图象越靠近幂函数图象越靠近x x轴轴( (简记为指大图低简记为指大图低););在在(1,+)(1,+)上上, ,指数越大指数越大, ,幂幂函数图象越远离函数图象越远离x x轴轴( (简记为指大图高简记为指大图高).).(3)(3)幂式值大小比较应根据待比较幂式的特征幂式值大小比较应根据待比较幂式的特征, ,构造幂函数或指数函构造幂函数或指数函数性质比较其大小数性质比较其大小. .(4)(4)对于幂函数的综合应用问题应注意以下两点对