数列与解析几何综合—点列问题

1、1如图，直线与相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，点Pn（n=1，2，）的横坐标构成数列（）证明； （）求数列的通项公式；（）比较的大小.【解析】（）证明：设点Pn的坐标是，由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：由Pn+1在直线l1上，得 所以 即 （）解：由题设知 又由（）知 ，所以数列 是首项为公比为的等比数列.从而 （）解：由得点P的坐标为（1，1）. 所以（i）当时，>1+9=10.而此时 （ii）当时

2、，<1+9=10.而此时 EX：已知点都在直线上，为直线与轴的交点，数列成等差数列，公差为1.（）(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和.(3)求证： + (2, )【解析】(1) 4分（2）令=14则它的前项的和=13，= 4分 (3) 2分 4分2、如图，曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形设正三角形的边长为,nN(记为),.(1) 求的值;P1P2P3Q1Q2O(2) 求数列的通项公式;(3) 求证:当时,.【解析】（1）由条件可得,代入曲线得;(2) 点代入曲线并整理得,于是当时,即又当,故所以数列是首项为、公差为的等差数列,;(3) 由（2）得，当时，

3、欲证，只需证，即证，设，当时,有成立.所以只需验证n=2时不等式成立.- 13分事实上,.综上,原不等式成立.-14分3、已知曲线C：， ： （）。从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设。 （I）求的坐标； （II）求数列的通项公式；（III）记数列的前项和为，求证：【解析】（1）由题意得知，（2），点的坐标为在曲线上，又在曲线上，（III）+7分 =11分，6（本小题满分15分，其中第一小问4分，第二小问6分，第三小问5分）过曲线上的点作曲线C的切线l1与曲线C交于，过点P2作曲线C的切线l2与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，（1）求点P2、P3的坐标.（2）求数列的

4、通项公式.（3）记点到直线的距离为，求证：.【解析】（1）4分（2）曲线C上点处的切线的斜率为，故得到的方程为6分联立方程消去y得：化简得： 所以：8分由得到点Pn的坐标由就得到点的坐标所以： 故数列为首项为1，公比为2的等比数 列所以：10分（3）由（2）知：所以直线的方程为：化简得：12分所以15分7.已知曲线C:y=x2(x0),过C上的点A1（1，1）作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C于交A3，依次作下去，记点An的横坐标为an(nN*).（1）求数列an的通项公式；（

5、2）设数列an的前n项和为Sn，求证：anSn1;（3）求证：【解析】(1)曲线C在点An(an,a切线ln的方程是y-a由于点Bn的横坐标等于点An+1的横坐标an+1，所以，令y=0，得an+1 an。数列an是首项为1，公比为的等比数列.an=（2）Sn=2(1-),anSn=4×(1-).令t=，则0t，anSn=4t(1-t)=-4(t-)2+1.当t=，即n=1时，-4(t-)2+1有最大值1，即anSn1.（3）Skak,kN*，akSka数列是首项为1，公比为4的等比数列.=8、（06山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=

6、1，2，3，(1)证明数列lg(1+an)是等比数列；(2)设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；(3)记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.【解析】（）由已知，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（）由（）知（*）=由（*）式得（）又又.9（本题满分16分）由原点O向曲线引切线，切于不同于O的点P1（x1，y1），再由点P1引此曲线的切线，切于不同于P1的点P2（x2，y2），如此继续下去，得到点列Pn(xn，yn) .（I）求；（）求证：数列为等比数列；（）令， 为数列的前项的和，若对恒成立，求的取值范围.【解析】() -1分过切点P1（x1，y1）的切线方程为由于切线过原点O，因此解得 -4分 () 过切点Pn+1（xn+1，yn+1）的切线方程为由于切线过点Pn（xn，