圆锥曲线中的四心（精编版）

1、圆锥曲线中的“四心”云南省会泽县茚旺高级中学杨顺武摘要： 通过对三角形四心与圆锥曲线的有机结合，达到训练学生的思维，提升学生的解题能力。同时起到培养学生的说思路、练本领、强 素质的作用关键词：思维流程内心 外心 重心 垂心 解题能力正文： 圆锥曲线是每年高考的重点内容之一，从近几年的命题风格看，既注重知识又注重能力， 既突出圆锥曲线的本质特征，又体现传统内容的横向联系和新增内容的纵向交汇，而三角形在圆锥曲线中更是如鱼得水，面积、弦长、最值 等成为研究的常规问题。 “四心”走进圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此， 在高考数学第二轮复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提

2、高学生的数学解题能力，增强学生的信心，从而战胜高考B(2,0) 、 C1, 3三点2（）求椭圆 E 的方程：（）若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点， F (1,0), H (1,0) ，当DFH 内切圆的面积最大时，求DFH 内心的坐标；思维流程：（）由椭圆经过A、B、C 三点设方程为mx2ny21得 到 m, n 的 方 程解出 m, n（）由DFH 内切圆面积最大转化为DFH 面积最大转化为点 D 的纵坐标的绝对值最大最大D 为椭圆短轴端点DFH 面积最大值为3S DFH12周长r内切圆r内切圆33例 1、已知椭圆 E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(2,0

3、) 、得出 D 点坐标为0,33解题过程：（）设椭圆方程为mx 2ny 21 m0, n0将 A(2,0)4m、 B (2,0)1,3、C (1,) 代入椭圆 E的方程，得29解得 m1 , n1 .mn143422椭圆 E 的方程 xy143（） | FH |2 ，设 DFH 边上的高为S DFH12hh 2当点 D 在椭圆的上顶点时，h 最大为3 ，所以S DFH的最大值为3 设 DFH 的内切圆的半径为R ， 因为 DFH的周长为定值6 所以，S DFH1 R62所以 R的最大值为33所以内切圆圆心的坐标为(0,3)3.点石成金：S 的内切圆1的周长r 2的内切圆例 2、椭圆长轴端点为A

4、, B， O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AFFB1 ， OF1 （）求椭圆的标准方程；（）记椭圆的上顶点为M ，直线 l 交椭圆于 P,Q 两点，问：是否存在直线 l ，使点 F 恰为PQM 的垂心若存在，求出直线l 的方程; 若不存在，请说明理由。思维流程：（）由 AF? FB1 ， OF1(ac)(ac)1 ， c1a2,b1写出椭圆方程（）由 F 为PQM 的重心PQMF , MPFQk PQ1yxm3x24mx2m 220x 22 y 22消元两根之和，MP? FQ0得出关于解出 m解题过程：（）如图建系，设椭圆方程为x2y2a2b21(ab0) , 则c1又 AFFB1 即

5、( ac)(ac)1a2c2 a22故椭圆方程为x22y12（）假设存在直线l 交椭圆于 P, Q 两点，且 F 恰为PQM 的垂心，则设 P( x1, y1), Q( x2 , y2) ，M (0,1), F (1,0) ，故k PQ1 ，yxm于是设直线 l 为yxm，由2x2 y22 得3x24mx2m220 MPFQ0x1 ( x21)y2 ( y11) 又 yixim(i1,2)得 x1( x21)( x2m)( x1m1)0即2x x( xx)(m1)m2m0由韦达定理得1 2122m224m22(m331)mm0解得 m4 或m1（舍）经检验 m34符合条件3点石成金： 垂心的特

6、点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零xy22例 3、在椭圆 C：1中，F1、F 2 分别为椭圆C 的左右两个焦点， P43为椭圆 C上的且在第一象限内的一点，PF1 F2 的重心为 G，内心为 I （）求证： IGF1F2 ；（）已知 A 为椭圆 C上的左顶点，直线 l 过右焦点F2 与椭圆 C 交于 M , N两点，若 AM , AN的斜率k1 , k2满足 k1k21 ，求直线 l 的方程2思维流程：（）由已知得F1 (1,0)， F2(1,0)设 P(x0 , y0 )x0重心 G(,y0 )331S PF 1F21F1 F2y 0y02S PF1F 2( PF12PF

7、 2F1F 2)r内切圆S PF1 F23r内切圆y0ry 0内3I 的纵坐标为y 03IG F1F2IGF1 F212（）由 kk1 ，可知 l 的斜率一定存在且不为0，设为 kl 的方程为y2k( x1)yk (x1)x2y2消去 y得 (314 k2 )x 28k 2 x4k 212043x1x 28k 2234k 2利用1x1 x24k1234k 2k 1k 22得 k 的方程解出 k解题过程：（）设P(x0 ,y0 ) ，重心G( x, y) ，由已知可知F1 (1,0 ) ， F2 (1,0)则 xx0(1)12031 ， yy00003G( x0 ,3y0 )3由S PF1F21

8、 F Fyy 2又 S PF1F21 ( PF12PF2F1 F2)r内切圆S PF1F 23r内切圆y0内心 I 的纵坐标为 y03IG F1 F2即 IGF1 F2 （）若直线 l 斜率不存在，显然k1k20 不合题意；则直线 l 的斜率存在设直线 l 为 yk ( x1) ，直线 l 和椭交于M ( x1 , y1) ，N (x2 , y2 ) 。将 yk( x1) 代入3 x 24 y212中得到 :(34k 2 ) x28k 2 x4k 2120依题意：9 k290得k1或k1由韦达定理可知：x1x234 k 28k 24k 212又 k AMk ANx1 x13y1y24 k 2x

9、11k(x21 )x12x22x12x2211k23()x12x22而1x121x22x1 x2x1x22( x14x2 )44k 28k 2124(316k24k 2 )4(34k 2 )2k 213k 2从而 k AM求得 kk AN2 符合 kk (21.2k 211132)3kk2故所求直线 MN的方程为： y2( x1).点石成金： 重心的特点为坐标x1x2 3x3 , y1y2 3y32例 4、已知双曲线 C 以椭圆 x2y1 的焦点为顶点，以椭圆的左右顶点为43焦点（）求双曲线C的方程；（） 若 F1 , F 2 为双曲线 C的左右焦点， P 为双曲线 C上任意一点， M 为PF

10、1 F2的外心，且F1PF 260, 求点 M 的坐标思维流程：（）由已知易得双曲线中a1,c2,b3写出双曲线的方程（）M 是PF1 F2 的外心M 在 y 轴上，且F1 MF 22F1 PF2F1MF 2120 0 ,MF1F 2300在 RtMF1O 中，F1O2,MF1 O300MO233M (0,23 )3解题过程：（）由已知可知，双曲线的a1,b3, c2 ，则双曲线的方程为x 2y123（）因为 M 为外心，所以MF1MF2 ，则点 M 在线段 F1 F2 的垂直平分线上即在y 轴上又同弧上的圆心角是圆周角的2 倍，F1MF 22F1 PF2则F1 MF20120,0MF1 F2

11、30在 RtMF1O 中，F1O2,MF1O300则 MO233即M (0,23 ) 3点石成金： 外心的特点为到三个顶点的距离相等或说是三边的垂直平分线的交点2能力提升： 1、椭圆： xa 2y1( a2b 2b0) 求椭圆的焦点三角形内心的轨迹方程解：如图（ 1），设点 Px0 , y0，内心 I 为 (x , y) ，焦点F1 (c ,0) 、 F 2 (c,0) ， PF1r1 ， PF2r 2 ，则 r1r22ex0 过内心 I 作 ID、IE、IF 垂直 F1F2、F1P、PF2 于点 D、E、F 点 I是F1F2 P 的内心，点D、E、F是内切圆的切点，图（ 1） 由切线长定理，

12、得方程组：PE PF F1 DF1 E F2 F F 2 Dr1r2，2c结合 r1r22ex0 ，解得：F1 Dcex0 而 F1 Dcx ，xex0，既 x0x e又 F1 F2P 面积 Sc y0 ， S1 ( F F1022PF1PFF ) y(ac) y ， c y0(ac)y ，既y= ac cy x2y2x 2y 2将代入001(ab0 ) ，得1a 2b2c2b2 c2(ac) 22可知，椭圆 xa 22y1(a b2b0) 焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆，它的离心率是2e1e22、椭圆： xa 2y1(a2b 2b0) 求椭圆的焦点三角形垂心的轨迹方程；解：如图（ 2），设点

13、 P(x0 , y0 ) ，垂心 H 为( x, y) ，焦 点F1 (c ,0) 、 F 2 (c,0)， 则F1H( xc, y)，PF2(cx0 ,y0 ) F1 H PF2 ， ( xc, y)(cx0 ,y0 )=0图（ 2）2又 xx0 ，c2xyy00 . x2y2而001(ab0) ，a2b 222y02b0a 2(a 2x2 )b( a2 a2x2 ). 将式代入式，整理得：ya(cx ) 2222bax由方程可以看出， 椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线，它与哪些初等函数图象有关请大家思考3、已知动圆过定点F0,1，且与定直线y1 相切（）求动圆圆心P 的轨迹 W 的方

14、程；（）设过点 F 的直线 l 与轨迹 W 相交于 A 、 B 两点，若在直线y1 存在点 C ，使ABC为正三角形，求直线l 方程.（）当直线 l 得斜率大于零时，求ABC 外心的坐标2解：（）设动圆圆心为P( x, y) ，根据题意，得x2( y1) 2y1化简得 x4 y故动圆圆心 P 的轨迹 W 的方程为 x24 y .（）设直线 l 的方程为 ykx1 ，A(x1,y1 ), B( x2 , y2 )，弦 AB 中点为M (x0 ,y0 )（）当 ky10 时，由2x4 y得 A(2,1), B(2,1)此时 AB4 ，有图形的对称性可知，y1 上的点 C 只可能是(0,1)而 AC

15、(02) 2(11)222故 ABAC ，不合题意 .（）当 ky0 时，由kx1得 x 24 kx40x 24 y2x1x24k , x1 x24, y1y2k( x1x2 )24k 22则 x0x1x222 k, y0y1y222k 21即 M (2k,2k1)若在直线 y1 上存在点 C ，使ABC 为正三角形则设直线MC : y1 ( x k2 k)( 2k 21) ，与 y1 联立，解得 x4k2 k3 ，即 C(4k2k 3 ,1)由 CM3 AB ， 得2(2k2k 3 ) 2(2k 22) 23 ( y12y22)即(2 k322 k)22(2 k2)322(4 k4)4化简得k 2 (k 21)22(k 21) 2即k 22, k2故直线 l 的方程为 y2x1（）由 ( ）知， k2 ，直线 l 的方程为 y2 x1，点 C(82 ,