区间关联函数及其应用研究

1、区间关联函数及其应用研究摘 要本文研究的是区间关联关联函数及其应用性问题.首先直接利用点的关联函数的概念给出了区间关联函数的定义.在此的基础上,又给出了区间关联函数的规范化方法,并得到了它的一个重要性质.然后再给出可能度的定义和性质,从而得到区间数的排序方法.为便于在综合评价和决策等方面的应用,根据空气污染指数范围及相应的空气质量类别建立了空气质量的关联函数.根据实际观测数据,通过此评价分析方法得到2007年中国具有代表性的6大城市空气质量关联函数的区间数,并依据区间数的排序方法得到了该6大城市空气质量优劣的排序.关键词 区间关联函数; 可能度; 排序; 空气质量1、前 言从蔡文教授1983年

2、提出可拓集合以来,从物元分析发展到可拓学,已初步形成了它的理论框架,并开始向应用领域发展.可拓集是可拓论的主要支柱之一,并用关联函数来刻画,所以在实际应用中要考虑区间关于区间的关联函数. 因此, 区间关联函数是一个值得研究的课题.现有文献提出了一些关联函数的计算公式,但都是假定物元的所有特征量值能被精确测量.然而,由于系统复杂性和信息不确定性的影响,使人们获得精确信息的愿望难以实现,为此人们提出了各种不确定性理论和方法,如灰色系统、粗糙集理论等.由于国内外对区间数的研究取得了不少成果,因此可用区间数表示特征的不精确量值,以探讨不精确基元的定量问题.设为论域,文献125均把关联函数定义为论域到实

3、域的一个映射,现已有许多应用.可拓学研究现实世界中的矛盾问题,探讨处理矛盾问题的规律和方法,而事物的发展、矛盾的转化有一个由量变到质变的过程;人们对发展中的事物以及模糊事物的认识也不会只停留在一个点上,而对事物认识的变化就要用到区间数.模糊数学中为描述不确定性和模糊性引入了区间数的概念,但其区间只能含于内,反映的是变化的模糊程度可有时并不能很好地刻划客观对象的变化情况.例如,人们对某事物的某一特征(如服装的颜色),不仅有“爱好”程度的区别,某些人可能会表现出截然相反的“厌恶”心理,在选购商品时首先排除具有“厌恶”特征的事物.对水质、空气等的评价也有从“达标”向“优秀”和“污染”2个方向的变动.

4、为反映这样具有“爱好”与“厌恶”、“利”与“弊”等不同程度的情况,引入包含正负数的区间数也就顺理成章了.文献6引入了区间与区间之距的概念,并在此基础上给出了区间关联函数的概念. 则直接利用文献1中点的关联函数概念,定义区间关联函数,并得到了区间关联函数的一个重要性质.为便于在评价和决策等方面的应用, 文献1在区间关联函数定义的基础上,给出了区间关联函数的规范化方法,然后再进行排序，并根据空气污染指数范围及相应的空气质量类别建立了空气质量的关联函数.根据实际观测数据通过计算得到了2007年中国具有代表性的6大城市空气质量关联函数的区间数,并依据区间数的排序方法得到了该6大城市空气质量优劣的排序.

5、2.区间关联函数的定义设为论域,点的关联函数的定义参考文献2,即定义1 设为论域,是到实域的一个映射,为给定的对中元素的变换,称为论域上关于元素变换的一个可拓集合,为的关联函数,为关于的关联度. 在此基础上,我们引入了区间关联函数的概念.本文中,为参考文献1所表示的区间,当时,记此时,令,当时,记.定义2 设为论域,若对中任何一区间,都有一个区间数与之对应,为给定中元素的变换,则称为论域上关于元素变换的一个区间可拓集合,为的关联函数,为区间关于的关联度,其中,. 虽然此定义并未提供具体构造区间关联函数的方法,但只要建立了点的关联函数之后就不难求得区间关联函数的取值范围.3.区间关联函数的规范化

6、2.1区间关联函数的规范化方法假设:,表示个对象或个决策方案.,表示个衡量条件(或属性),并假设这些条件是加性独立的.,以区间形式表示的个衡量条件的权重向量的取值范围,其中,. 把对象关于衡量条件的关联函数(区间数形式),记为,则条件各对象评判关联函数分别为矩阵称为判别矩阵,其中. 有时,由于各属性数量级的不同,对关联函数的值难以比较和综合,因此，必须将关联函数规范化.将规范化为,则规范化结果记为.规范化的方法如下: 规范化时之所以除以不同的数,正是因为事物变化经过零界点发生了质变,从而在不同变动区域内呈现出不同变化特征的缘故.设个衡量条件的权重向量为,对文献3中方法作适当的调整,则对象的综合

7、评价值,可由如下线性规划模型求得:由,容易证明. 通过上述两个模型可以得到所有对象的综合评价值.2.2区间关联函数的一个有用性质 性质1 设且无公共点,令点的关联函数为,则对于区间关联函数有 且; 且与有公共端点且;或; 或 证明 由参考文献1的性质5.1.10以及本文定义2,即得到性质1.有时为了便于对优劣程度的比较或对不同指标的综合需要把关联函数规范化,设符合量值要求的范围为,为论域,通常在符合要求的范围内,在不符合要求的范围内.针对的不同符号,如果大于零则除以,如果小于零则除以,从而把化为之间的区间数. 如何评判对象的优劣即对区间数进行排序非常重要,下面给出区间数的一种排序方法.4.区间

8、数的排序方法3.1可能度的定义以及性质设为区间数,并认为所考察的变量(或指标)落在此区间内,且服从均匀分布.当时时,此时记,则称区间数退化.先考虑两个区间数排序的情形.定义3 设两个区间数,当时,称与相等,记为;如果的可能度大于0,则称区间数大于区间数,记;如果的可能度小于0,则称区间数小于区间数,记.定义4 若均为非退化区间数,此时有3种情形(图 1图 1 两个区间数非退化时的几种情形),区间数的可能度(记为) 及的可能度(记为)分别定义为,有其中一个退化,不妨设退化为一点,可能度定义为至于,均退化为一点的情形,则是普通实数的比较,其可能度定义为图 1 两个区间数非退化时的几种情形 由上述定

9、义,容易看出时,并且容易证明以下性质. 性质2 性质3 当时,有.性质4 在情况下,当时, ;当时, ;当时,有.由定义容易证明,且易知其逆也成立,即是:性质5 在时情况下,当,有;当时,有;当时,有利用可能度概念能否对多个区间数进行排序呢?利用上述性质容易证得以下性质6,即可能度的传递性,它对排序具有关键作用.性质6 设区间数,如果,则.3.2排序方法 利用性质6,即可能度的传递性,可以对区间数进行排序,对多个区间数排序仍然是不方便的,下面指出一种易于操作的简便排序算法. 设为一组区间数,建立区间数两两比较的可能度矩阵,即由性质1便有区间数两两比较的可能度矩阵满足:,且,故矩阵为反对称矩阵.

10、其中,表示的可能度,但由于上述排序方法所得数据仅仅是两两比较的结果.由性质6可知区间数较大则可能度较大,因此,对区间数排序可以采用如下步骤: 首先对可能度矩阵按行求和:求得排序向量,由上述我们得到: 性质7 设可能度矩阵,若对两区间数有(),则(). 因此,只要比较排序向量中各个分量的大小即可得到相应区间数的排序.5.城市空气质量评估与排序4.1选取城市空气污染指标数据空气污染指数()是用来衡量各地空气质量的一个标准.空气污染指数的计算方法是根据每天测得的主要污染物,和的浓度,计算出各污染物的污染分指出数,取最大值作为该城市或区域当日的空气污染指数的值.空气质量与污染指数的关系如下表所示(表

11、1).表 1 空气污染指数范围及相应的空气类别空气污染指数()0-5051-100101-150151-200201-300300空气质量状况优良轻微污染轻度污染中度污染重污染为了减少计算的复杂性,以下我们选取了中国不同地理位置的6个城市2007年空气污染指数的分布情况,分别是北京、成都、乌鲁木齐、哈尔滨、上海和广州,数据来源于中国环境监测总站10.为了减少个别数据的误差或消除偶然性,提高结果的精确性,我们对数据进行了以下适当处理:即同一城市在一年中最大的10个数据取平均值作为最大值,在一年中最小的10个数据取平均值作为最小值.得到如下全国6个城市的2007年空气污染指数区间数(表 1见表 2

12、).表 2 选取的全国6个城市的2007年空气污染指数区间数城市北京成都乌鲁木齐哈尔滨上海广州区间数26.1,351.632.3,187.127.4,429.928.3,228.524.8,172.626.7,142.24.2污染指数的关联函数及规范化 根据表1空气质量与污染指数的关系,我们建立如下的空气质量关联函数,其中污染指数100是可正常活动的“好”与对身体有一定影响的“坏”的空气质量分界点. 根据区间关联函数的定义2,计算上述6个城市空气污染质量指数的区间关联函数的值所得如下(见表 3).表 3 选取的全国6个城市的2007年空气污染指数区间关联函数值城市北京成都乌鲁木齐哈尔滨上海广州

13、区间数-2.5160,0.2831-0.8710,0.2096-3.2990,0.2650-1.2850,0.2534-0.7260,0.3032-0.4220,0.2745 然后利用上述区间关联函数规范化的方法,进行规范后得到这6个城市空气污染质量指数新的区间数如下(见表 4).表 4 选取的全国6个城市的2007年空气污染指数区间关联函数值规范化后的区间数城市北京成都乌鲁木齐哈尔滨上海广州区间数-0.7627,0.3216-0.264,0.2381-1,0.301-0.3895,0.2878-0.2201,0.3444-0.1279,0.31184.3城市空气质量排序 利用前面的规范化方法

14、得到新的区间数以后,再利用可能度的定义,我们得到了空气污染指数关联函数的区间数两两比较的可能度矩阵(反对称矩阵)为: 其中,表示的城市依次是北京、成都、乌鲁木齐、哈尔滨、上海和广州.然后对以上的可能度矩阵按行求和，得到排序向量:其中,表示的城市依次是北京、成都、乌鲁木齐、哈尔滨、上海和广州.因此,我们比较此排序向量中各个分量的大小后即得到相应区间数的排序,进而得到上述6大城市空气质量由好到坏的次序依次为: 广州、上海、成都、哈尔滨、北京、乌鲁木齐. 值得特别指出的是根据由关联函数转化后的区间数进行排序与按照空气污染指数的分布区间数直接排序,可能会出现不同结果.以成都与长沙这2个城市为例,在中国

15、环境监测总站10查询2007年长沙2007年空气污染指数区间数为长沙,则区间关联函数的为长沙,规范化后得到长沙.那么计算得到规范化后成都与长沙2个城市空气污染指数关联函数的区间数两两比较的可能度矩阵(反对称矩阵)为:其中,表示的城市依次是成都与长沙.然后对以上的可能度矩阵按行求和，得到排序向量:其中,表示的城市依次是成都与长沙.因此,较此排序向量中各个分量的大小后即得到相应区间数的排序,进而得到成都空气质量好于长沙.但是成都与长沙如果按照空气污染指数的分布区间数进行排序,则空气质量长沙好于成都.原因是什么呢?实际上,空气污染指数的分布区间数,上下2个端点数值的意义是不同的.上端点数大于100时

16、离100越远,表示空气质量越坏,影响空气质量的主要污染物是可吸入颗粒物(),其波动幅度较大,数量级也较大.而下端点数小于100时离100越近,表示空气质量越好, 而且其波动幅度较小.因此,有必要引入以100为零界的关联函数,并将其所得区间数规范化.这样效果如何呢?从每天公布的成都与长沙2个城市空气污染指数的平均值,可以证明此结论,即成都空气质量好于长沙.5、结论本文针对具有不确定性区间数的多属性决策问题,完整地给出了一套分析方法.该方法主要针对以区间数形式引入了区间关联函数的一种新定义,并获得了一个有用的性质,给出的综合评价值进行相应的方案排序.在决策者不能给出承担风险态度的情况下,本文提出了

17、两个区间数相互比较的可能度的概念,这也就是给出了决策方案排序的可能度,并且将此分析方法成功地应用于城市的空气质量的综合评价.参考文献1 蔡文.物元模型及其应用M.北京:科学技术文献出版社,1994.2 杨春燕, 蔡文.可拓集合的新定义J.广东工业大学学报,2001,18(8):5960.3 Bryson N,Mobolurin A.An action learning evaluation procedure for multiple criteria decision making problemsJ.European Journal of Operational Research,1996

18、,96:379386.4 李志林,邓谋杰.区间关联函数及其在地区空气质量评估中应用J.海南大学学报,2007,25(1):3539.5 蔡文, 杨春燕,林伟初.可拓工程方法M.北京:科学出版社,1997.6 胡宝清,何娟娟.区间论域上的区间可拓集及其关联函数J.广州工业大学学报,2001,18(1):48547 李志林.区间关联函数的的新定义及其应用研究J.数学的实践与认识, 2006,36(2):2072108 李志林.区间关联函数为区间数的综合评价方法J.汉江大学学报,2003,31(1):17209 李志林.区间数的一种排序方法J. 海南大学学报,2003,21(1):4710 中国环境

19、监测总站 CORRELATION FUNCTION WITH INTERVAL NUMBER AND ITS APPLICATIONABSTRACT This paper describes the problem of correlation function with interval number and its application. The method of normalization of correlation function with interval number was presented on the basis of its definition and obtains a useful property of it. Then giving the method of ranking for interval number was