3高考本源探究之数列不等式

1、数列高考试题探源及复习建议南昌一中 喻瑞明数列题在高考试卷中出现非常有规律：两个选填题或一个大题重视基础知识和基本技能的考查，重视数学思想方法考查我们现在一起探索高考数列题的命题规律，及对今后数列命题、复习的一些思考1、近几年全国高考数列试题统计统计了全国I卷近五年、全国II卷近五年、全国III卷近三年文理共26份试卷以大题形式考查，全部是在第17题，14年II卷题考查了先放缩再求和，从而证明不等式，有一定难度，其它题均是基本题型，比较容易；以小题形式考查，有1题次出现在第12题（2017理科1卷，考查分组数列求和），2题次出现在题（递推公式求通项，），其它题都是偏容易题型，以数列基本量的换算

2、题型出现次数最多重视转化与化归思想，无论是递推公式求通项，还是数列求和，都注重将一般数列转化为等差、等比数列解决；重视函数与方程思想，考查数列的函数特性，利用函数图像、性质等求数列的最大（小）项，数列基本量的换算体现的是设未知数、列方程、解方程的基本思想2、数列基本量的换算等差、等比数列的基本量有首项、公差（比），项数、项、和，这些量之间的相互换算，是高考题中常见题型例1（2017年I卷理科第4题）记为等差数列的前项和若，则的公差为A1B2C4D8【答案】C题目来源：课本例题和习题思想方法：设未知数、列方程、解方程的方程思想这类题大多数学生能比较快的做好，对这类题，我们还有哪些方面可以帮助同学

3、，或者说高考这类题型还可以从哪些方面变化呢？2.1灵活应用等差、等比数列的性质 要求同学特别熟悉等差、等比数列性质，特别注意关注数列项与和的下标联系，简化条件，尽量列出易解方程【例1】另解由联想到，从而得到，两式相减得到2.2 熟悉设未知数的方法一般设，也可以设为，如果等差数列已知和未知都只与有关，设更好算，同样，如果等比数列已知和未知都只与有关，可以设【例1变式1】（2015年II卷文科第9题）已知等比数列满足,则（ ） 【答案】C该题如果设公比，解方程，运算稍微麻烦，结合性质，把看成未知数，先求，再求，运算量小2.3 重视解方程消元技巧等比数列基本量换算题，经常会出现高次方程，需要同学有整

4、体思想，经常将两个方程相减、相加、相除，从而实现消元【例1变式2】（2017江苏，9）等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= 分析：当时，显然不符合题意；当时，设，则 ，两式相除解得，所以，因此答案：2.4 数列性质与函数性质结合【结论1】若奇函数是上的单调函数，数列是等差数列，则【结论2】若函数在上单调，且图像关于点对称，数列是等差数列，则：【例1变式3】已知函数的定义域为，数列是等差数列，若，则A恒为正 B恒为负 C等于 D可正可负简解： ，函数是奇函数，又，所以函数是上的单调递增函数，得，根据结论1，选C【方法总结】（1）研究函数与数列综合问题，不好入手，可以先看函数的性质、图

5、像等（2）利用上述结论解题，对函数有两个要求：是定义域内的单调函数；图像关于点成中心对称2.5 与解不定方程结合数列与不定方程结合题，通常以存在性问题出现，一般问是否存在三项满足条件难点在解不定方程，通常有：由不等式求范围找整数解，由整除条件找约数，由奇偶性否定，由有理数、无理数否定等方法【例1变式4】（武汉市2015届五月模考题理科18题）若是各项均不为零的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，若数列满足，为数列满足，为数列的前项和（1）求和；（2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由（1）（2）3、递推公式上述26份试卷中，递推公式题出现次数多，但主要以

6、等差、等比数列的证明、判定为主，有两题是只要求前几项，只有两题是直接由递推公式求通项的，但这两题仍然是通过转化成等差、等比数列求通项，没有考查过累加、累乘等方法3.1 由递推公式求前几项【例2】（2014年II卷文科第16题） 数列满足，则_题目来源：课本例题和习题思想方法：特殊与一般思想，字母的意义【答案】参考题：（北京高考题）已知，若数列满足，则等于_.重视周期数列，善于归纳推理。3.2 转化成等差、等比数列【例3】（2015理科I卷第17题）为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和.【答案】（）（）该题第一问是由递推公式求通项，那么这类题是怎么来的呢？1.设

7、数列是公差为的等差数列，则递推公式，是公差为的等差数列2.设数列是公差为的等差数列，则递推公式型，是公差为的等差数列3.设数列是公差为的等差数列，则递推公式型，是公差为的等差数列4.设数列是公差为的等差数列，则递推公式，是公差为的等差数列如5.设数列（）是公差为的等差数列，则，当时，即为例3第1问6. 设数列是公比为的等比数列，则递推公式，数列是公比为的等比数列（可用待定系数法求得）7.设数列是公比为的等比数列，则递推公式，数列是公比为的等比数列如，【例3变式1】（山西省晋城市2018届高三上学期第一次模拟）已知数列满足， （1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前10项和简析： ，又提醒（

8、1）找数列的第项时，要注意不但的下标要改成，式子中的每一个也要改成；（2）利用递推公式消，提醒同学不能同时用递推公式换；（3）利用定义法证明数列是等比数列，需要检验不等于8.设数列（）是公比为的等比数列，则【例3变式2】【2016年III卷文科第17题】已知各项都为正数的数列满足，.（I）求；（）求的通项公式.【答案】（）；（）9.设数列是公比为的等比数列，则得到递推式：【例3变式3】（2013年高考新课标I（理）若数列的前n项和为Sn=,则数列的通项公式是=_.4、特殊数列求和特殊数列（不是等差、等比数列）求和，我们基本思路是裂项相消或转化为等差、等比数列求和，具体方法有：裂项重组、裂项相消

9、、并项、错位相减、倒序相加，这里我们重点提裂项相消法和错位相减法4.1裂项相消特殊数列求和的一种重要方法，在考试中出现的频率比较高具体过程是：把数列的每一项拆成另一数列相邻两项的差，即，然后通过累加，消掉中间的项，剩下首末若干项，从而求出数列的和【例3 】（2015理科I卷第17题）为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和.【答案】（）（）该题第二问是裂项相消法求特殊数列的和，这类题目怎么来的呢？1.设数列是公差为的等差数列，则（1）（2）（3） （4） 如令，得到【例4变式4】（2013年高考江西卷（理）正项数列的前项和满足:(1)求数列的通项公式;(2)令,数

10、列bn的前项和为.证明:对于任意的,都有答案：，2.设数列是公比为的等比数列，则令，则3.设数列是公比为的等比数列，则,利用的单调性进行放缩，转化为等比数列求和如【例3变式5】（2014年高考新课标II卷理科17）已知数列满足（1）证明是等比数列，并求的通项公式； 答案： （2）证明： 4.设数列，是公比分别为的等比数列，则,利用的单调性进行放缩，转化为等比数列求和【例3变式6】（2012广东理科19）设数列的前项和为，满足，且成等差数列（1）求的值；（2）求数列的通项公式；答案：（3）证明：对一切正整数，有简解：4.2 错位相减法适用于差比型数列求和，是高考热点之一，考查等差（比）数列定义，

11、考查等比数列定义、求和，考查转化与化归思想同学对错位相减法是又爱又恨，爱是因为方法容易想到、容易学会，恨是因为花很多时间，容易算错【例4】求数列的前项和1两个易错点：（1）两式相减时漏掉式中的第一项或式中的最后一项；（2）利用等比数列求和公式求和时，错误认为式中间是项，这里为了避免考虑项数，尽量选择公式；2最后结果是可以验证的，如时， 时，3.思考：我们都熟悉裂项相消法求和，这里我们能不能把表示成另一个数列相邻两项的和呢？设，待定系数得：，即，这样我们就可以用裂项相消法求和了， 对于差比型数列（其中等差，等比）求和，我们可以考虑把通项拆成：，其中是等差数列，可以通过观察出来，也可以通过待定系数

12、得到，从而得：5、数列最大（小）项数列是定义域为正整数集（或其子集）的函数，因此我们研究数列的最大（小）项可以利用数列的函数特性，借助研究函数最值常用方法来解决，体现函数思想和数形结合思想这类题经常出现在较难的选填题和解答题第二问【例5】（2013年2卷理科16题）等差数列的前项和为 ，已知，则 的最小值为_.5.1 数列单调性法是通过判断数列的单调性，从而求出数列最大（小）项的方法分享两个经验：（1）判断数列单调性常用方法：判断的符号，若恒为正，则数列是递增数列，若恒为负，则数列为递减数列；（2）若数列在时递增，在时递减，则的最大项为；若数列在时递减，在时递增，则的最小项为5.2 图像法(见

13、录像课)5.3 整体法通过理解数列项的大小、正负等，整体把握数列前项和或前项积的变化规律，从而求出其最大（小）项的方法【规律总结】（1）数列是递增数列，其前项和为，则是的最小值的充要条件是（2）数列是递减数列，其前项和为，则是的最大值的充要条件是（3）各项均为正的数列是递增数列，其前项积为，则是的最小值的充要条件是（4）各项均为正的数列是递增数列，其前项积为，则是的最大值的充要条件是【例5变式】（2012南昌市二模）已知公差不为的等差数列的前项和为，且满足，又依次成等比数列，数列满足，其中为大于的常数（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，若当且仅当时，取得最小值，求实数的取值范围分析

14、：（1），；（2）由（1）得，我们需要研究这个数列的前项和的最值，因为大于，所以随增大而减小，即，即，解得，所以实数的取值范围是6、数列分组问题分组数列最早起源于数学竞赛，然后慢慢走进高考中【例6】（2017年1卷理科第12题）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前

15、N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A440B330C220D110【答案】A【题源】（2003年全国高考理科第22题）设是集合中所有的数从小到大排列，即将数列各项按照上小下达，左小右大的原则写成如下的三角形数表：（1） 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；（2） 求数列是按一定规律排列的一列数，如果数列的排列规律比较复杂，不是我们常见的等差、等比数列，我们经常对其按一定规则分组，使我们更容易发现数列项的排列规律，从而找到该数列的项或和，常见的分组方法有：数字特征分组、循环特征分组、增项缺项分组6.1数字特征分组对排列规律不明显的数列，我们可以通过观察其各项的数字特征：如分子、分母的

16、和，幂的底数、指数和或差等，根据数字特征分组【例6变式1】已知数列：，则这个数列的第项满足（ ） A B C D我们可以发现：第组各项分子、分母的和为，分子由递减到，分母由递增到，共有项由，我们得到前组共有项，找满足不等式的最小的正整数，估算：，这样我们可以确定在第组的第项，所以的分母是，分子、分母和为，因此分子为，即，选A答案：A6.2增缺项分组在原数列基础上增加或删去部分项得到新数列，需要求新数列的项或和，我们可以对其进行分组研究，分组策略是以增加项或缺项为分组界项【例6变式2】【2018年浙江卷】已知集合将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前n项和，则使得成立的的最小值为_

17、第组有且只有中的一个元素：，各组其他的元素是中元素依次排列，第组的第一个奇数是，最后一个奇数是，前组包含的奇数有：奇数，共个，因此前组所有项的和是：，若是第组的最后一个数，即，则不等式化为：，即，解得，所以即，因此满足不等式，现在我们只要思考在第六组最后一项即满足不等式外，还有没有项满足条件，设第六组的第项满足条件，则该项为，前组所有项和为，第六组前项和为：，所以不等式可以化为：，即，验证满足这个不等式的最小的整数为，这时，是第个奇数，在其前面有集合中的个元素，所以，所以满足不等式的最小的正整数的值为6.3 循环特征分组：见微课程7、易错点7.1 总是忘记了“”由前项和公式求通项是数列中的常见题，大家都知道可以通过公式：消去，从而求通项，但我们用这个公式解题时，经常忘记当时的情形【例7】已知数列满足，若，则等于_分析：是不是很开心，这下我总不会忘记你，时，！错解：由，得，两式相减得到：，由累乘知道：，将代入，得到：，所以，正解： 又当时，条件化为：，所以，所以答案：7.2数不清的项数利用等差、等比数列求和时，我们同学总是不注意项数的判断，习惯认为就是项，从而导致出错，要让我们同学养成好的习惯，注意观察前几项，写出数列的通项公式，从而找到最后一项是第几项【例8】设，则