二维形式柯西不等式

1、二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式 ., )( 1等号成立时当且仅当则实数都是若二维形式的柯西不等式定理bcaddcba222222222222222)()(bd)(ac )( :bdacbcadcbdadbcadcba证明bdacdcba2222) 1 (bdacdcba2222)2(二维形式的柯西不等式的变式二维形式的柯西不等式的变式:22222)()(bdacdcba .,., )( 2等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当则是两个向量设柯西不等式的向量形式定理kk2332244)()(, 1babababa证明为实数已知例分析:虽然可以做乘法展开上式的两边,然后在比较它们,但如果

2、注意到这个不等式的形式与柯西不等式的一致性,就可以避免繁杂的计算.证明:4422222()()()ababaabb根据柯西不等式,有33 2()ab112 ,ab1,4a bRab例设求证,11111()()()a bR abababab证明:分析:题目中有a+b=1这个条件,由于常数1的特殊性,用 a+b去乘任何数或式子,都不会改变它们的值.114ab即211()4abab的最大值求函数例xxy21015 3051y，且，函数的定义域为解:分析:利用不等式解决极值问题,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取得等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和.5125yxx 22225( 2

3、)(1)( 5)xx27 46 3221221222221212211)()(R,y,x,y, )( 3yyxxyxyxx那么设二维形式的三角不等式定理2212212221212221212222212121212222212121212222222221212121222222121)()(x 22x )(2x 2x 2x )( :yyxyyyyxxxyxyyxxyyxyyxxyyxyxyxyyxyx证明22122122222121)()(yyxxyxyx22122122222121)()( yyxxyxyx二维形式的三角不等式221221221222222212121)()()( zzyy

4、xxzyxzyx三维形式的三角不等式22222112222122221)()()( nnnnyxyxyxyyyxxx一般形式的三角不等式.1,yb, 4的最小值求且已知例yxxaRbayx2min22222)()(.,)( )()(, 1, :bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx时取等号即当且仅当解变式引申变式引申:.,94, 13222并求最小值点的最小值求若yxyx)61,41(,2194614113232.32, 1312.2194, 1)32()11)(94(:222222222最小值点为的最小值为得由时取等号即当且仅当由柯西不等式解yxyxyxyxyxy

5、xyxyxyx221.,10,( )A. -2 5,2 5 .2 10,2 10.10, 10 .5,5a bRababBCD若且则的取值范围是补补充充练练习习2536. 3625. 56. 65A.) (32, 1. 222DCByxyx的最小值是那么已知_1212. 3的最大值为函数xxy_2, 623,. 422值是的最大则满足设实数yxPyxyx_)1()1(, 1. 522的最小值是则若bbaabaAB311225小结小结: .,),()()() 1 (22222等号成立时当且仅当二维形式的柯西不等式bcadRdcbabdacdcba .,.(4)等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当柯西不等式的向量形式kkbdacdcba2222)2(bdacdcba2222)3(22122122222121)()(5)