一元二次方程复习讲义

1、一元二次方程复习讲义一.基本概念1.定义：形如：（）的方程.即：只含有一个未知数，并且所含未知数的最高次数是2的方程，叫一元二次方程.其中a、b、c都是常数，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项；（）叫做一元二次方程的一般式.例题：若方程是关于x的一元二次方程，求m的值.分析：已知方程是关于x的一元二次方程，故可化成.其中方程左边是一个关于未知数x的二次三项式()，方程右边是零。由此可知该一元二次方程的二次项为，次数必须等于2.解：由已知得，解得 2.一元二次方程的特殊形式（1）当b=0，时，有：，x=0（2）当b=0，时，有：，此方程可转化为： 当a与c异号时，>0，根据平方根的

2、定义可知，. 即：当b=0，且a与c异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根是互为相反数；当a与c同号时，<0，负数没有平方根，方程无实数根.（3）当，c=0时，有：，此方程的左边可以因式分解，使方程转化为：.即：x=0或，.由此可见：当，c=0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，且两实根中必有一个是0.二.一元二次方程的解法1.首要工作：解一元二次方程时，如果所给的方程不是一元二次方程的一般式，第一步要先把它化为一元二次方程的一般式，然后再确定用什么方法求解.2.解一元二次方程的常用方法：（1）直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项， 是一个形如：

3、的方程时，可以使用此方法求解.解法步骤：把常数项移到等号右边：方程中各项都除以二次项系数：开平方求出未知数的值：（2）因式分解法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程左边的多项式可以因式分解的话，可以使用此方法求解.解法步骤：把方程的左边因式分解，转化为两个因式乘积的形式；令每个因式分别等于0，进而求出方程的两个根.例：解关于x的方程：解：把方程左边因式分解得： ，（3）配方法：当一元二次方程化为一般式后，不能用直接开方和因式分解的方法求解时，可使用此方法. 解法步骤： 若方程的二次项系数不是1时，方程中各项同除以二次项系数，使二次项系数为1；把常数项移到等号右边；方程两边同时加上一次项系数一

4、半的平方；方程左边变成一个完全平方式，右边合并同类项，变为一个实数；方程两边同时开平方，从而求出方程的两个根. 例1：解方程： 解：方程两边同时除以3得： 把二次项系数先化为1 移项，得：常数项移到等号右边 方程两边都加上一次项系数一半的平方 即：方程左边变成完全平方式，右边合并同类项 方程两边同时开平方 ，最后求出方程的根 例2：解方程： 解：移项，得：常数项移到等号右边 方程两边都加上一次项系数一半的平方 即：方程左边变成完全平方式，右边合并同类项 方程两边同时开平方 ，最后求出方程的根（4）公式法：利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，适用于所有的一元二次方程. 求根公式：一元二次方

5、程 （） 的求根公式为： （其中、 分别为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项） 解法步骤：先把一元二次方程化为一般式； 找出方程中a、b、c等各项系数和常数的值； 计算出的值； 把a,b, 的值代入公式 求出方程的两个根 例题：解方程：（1） （2）x(x+12)=8x+12 （3）2 解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8 =(-4)2-4×1×4=16-16=0 原方程根为. （2）原方程化简得：方程中：a=1,b=4,c=-12 =(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 = 原方程根为：，-6. （3）方程中：a=2,b=-3

6、,c=2 =(-3)2-4×2×2=9-16=-7 <0 原方程无实数根.3.一元二次方程解法练习题（1）用直接开方法解一元二次方程：x+12 (2x-1)=7 （2）用因式分解法解一元二次方程： 5x(x-3)=6-2x 2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4) 3(x-5)2=2(5-x) （3）用配方法解一元二次方程： x2-7x-9=04x2-12x+3=0 x(x+4)=8x+123x24x1=0 4x28x+1=0 （4）用公式法解一元二次方程： 3x24x1=0 4x28x+1=0 4x2-12x+3=0 2x2-33x+130=0 x2-=0（5）

7、选择适当的方法解下列方程: 三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把叫做一元二次方程：（）的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况： 例1.不解方程判断下列方程跟的情况： （1） （2） （3）2 解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8 =(-8)2-4×2×8=64-64=0 =0 原方程有两个相等的实数根. （2）方程中：a=1,b=4,c=-12 =(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 >0 原方程有两个不相等的实数根. （3）方程中：a=2,b=-3,c=2 =(-3)2-4×

8、2×2=9-16=-7 <0 原方程无实数根.例2.关于x的一元二次方程（m1）x22（m3）xm20有实数根，求m的取值范围.分析：当m10时，该方程是关于x一元二次方程,要使一元二次方程有实数根，必须；但当m-1=时，即m=1时，该方程变为6x+2=0，它是一个一元一次方程，所以m. 解：当m10时, 即：m时，该方程是关于x一元二次方程.原方程有实数根，即：2（m3）24（m1）（m2）28m44解得：m的取值范围是且m. 例3. 求证：关于x的一元二次方程总有实数根. 证明：且， 总有 关于x的一元二次方程总有实数根.四.一元二次方程根与系数的关系1.定理：设一元二次方

9、程(且)的两个根分别为和，则：； 特别地：对于一元二次方程，根与系数的关系为： ； 注：此定理成立的前提是也就是说必须在方程有实数根时才可使用.此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理，它是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Fran&ccedil;ois Viète；1540年1603年12月13日）提出的，韦达是十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为“代数学之父”。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系，所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理。2.根与系数关系的应用举例（1）验证一元二次方程的解是否正确； 例1.不解方程，检验下

10、列方程的解是否正确？ =0 （，） （，） 解：， ， ，= ，是方程的解. ，不是方程的根.（2）已知一元二次方程的一个根，求另一个根；例1.已知关于的一元二次方程x24xp0的一个根是2，求该方程的另一根.解：设方程的另一根为，则 +2=-4，=-6 方程的另一根为-6.例2.已知方程有一个根是2，求它的另一个根.解：是它的另一个根是，则 2·=，= 方程的另一根为.注：本题也可由+2=求出=（3）已知一元二次方程的两根或两根之和与两根之积，求这个方程；例3.已知一元二次方程的两根分别为和，求这个方程.解：设所求的一元二次方程为：，则 =+（）=， ·（）= 所求的一元

11、二次方程为：即： .例4.已知一元二次方程的两根之和是10，两根之积是22，求这个方程和这个方程的两个根解：设所求的一元二次方程为：，则 ，； 所求的一元二次方程为： 解这个方程得：，.例5.已知两个数的和是5，这两个数的积是6，求这两个数.解：把所求的两个数看做是某个一元二次方程的两个根，根据已知条件可知：+， ·这个一元二次方程为： 解这个方程得：，. 所求的两个数分别为2和3.（4）利用根与系数关系求方程中的未知系数； 例6.已知方程的一个根是，求另一根及k的值. 解：设方程的另一根为，则·()=, = +=, 即：= 方程的另一根为，k的值为6.例7.已知关于x的方

12、程的一个根是另一个根的2倍，求m的值. 解：设方程的两根分别为和2，由根与系数关系可知：+2= =3，即：3=3 =1， 2=2 方程的两个根分别是1和2. m=·(2)=1×2=2 （5）利用根与系数关系求代数式的值； 例8.若是方程的两个根，求下列各式的值： ； ； ； 解：由题意，根据根与系数的关系得：+， =-2=4028 =2 注：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：， ， ， ， 根与系数的关系充分体现了整体代换的思想 （6）运用根的判别式和根与系数的关系解综合题 例9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和求实数的取值范围；当时，求的值解：由题意有

13、，解得 全品中考网即：实数的取值范围是由得若，即，解得由知： ， 不合题意，舍去若，则 ， 由 得当时，例10.已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值方程两实根的积为5； 方程的两实根满足分析： 由根与系数关系即可求出；有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论解：方程两实根的积为5， 即： 当时，方程两实根的积为5由得知：当时，所以方程有两相等实数根，=0，；当时，-， 即 由于时，故不合题意，舍去综上可得，时，方程的两实根满足例11.已知一元二次方程若方程有两个实数根，求m的范围；若方程的两个实数根为，且+3=3，求m的值.解：=4-4m 方程有两个实数根， 4-4m0，即m1由一元二次方

14、程根与系数的关系和已知可得： = =例12. 已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1m）xm2 的两实数根为x1，x2求m的取值范围；设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值解：将原方程整理为一般式：x2 + 2（m1）x + m2 = 0 原方程有两个实数根， = 2（m1）24m2 =8m + 40，解得 m x1，x2为x2 + 2（m1）x + m2 = 0的两根， y = x1 + x2 =2m + 2，且m一次函数y=2m + 2中y随m的增大而减小当m 取最大值时，y取得极小值1例13.已知关于x的方程若这个方程有实数根，求k的取值范围；若这个方程

15、有一个根为1，求k的值；若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值解: 由题意得0 化简得 0，解得k5将1代入方程，整理得：，解这个方程得 ，.设方程的两个根为，根据题意得又由一元二次方程根与系数的关系得：，当k2时m取得最小值5例14.已知关于的一元二次方程（为常数）求证：方程有两个不相等的实数根； 设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值 解：，方程有两个不相等的实数根 ，又，解方程组： 得：由根与系数关系：，得：，解得：根与系数关系练习题一、填空题1一元二次方程的两根之积是 2以1，-3为根的一元二次方程是_.3若是方程=4的两根

16、，则的值是 4一元二次方程x2-5x+6=0 的两根分别是x1,x2, 则x1+x2等于 5若方程的两根之差为1，则的值是 _ 6. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _ 7. 设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _ ，= _ 8.已知、是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（-3）（-3）= 9.已知一元二次方程的两根为、,则_.10.设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_11.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是 12.已知方程的两个解分别为、，则的值为 13

17、.若是方程=4的两根，则的值是 14.一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是 15. 如果方程的两根相等，则之间的关系是 _ .16.在RtABC中,斜边AB=5,BC、AC是一元二次方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0 的两个实数根,则m等于_.17.若方程x2+3x+m=0的一根是另一根的一半,则m=_,两个根是_.18. 已知实数满足，则= _ ，= _ ，= _ 19.关于x的方程x2-kx+6=0有一根-2,那么这个方程两根倒数的和是_.20.已知、是关于的方程的两个实数根，且，则 二、选择题1一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是()ABCD2

18、若是方程的两个根，则的值为()ABCD3已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于()ABCD4若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )ABCD大小关系不能确定5若实数，且满足，则代数式的值为()ABCD6.已知方程的两根为，那么=（ ）(A ) (B) (C )3 (D) 37.下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A） （B） （C） （D）8.若方程的两根互为相反数，则的值是（）(A )5或2 (B) 5 (C ) 2 (D) 5或29.若方程的两根是，那么的值是（）(A ) (B) 6 (C ) (D)

19、10. 已知方程=0的两根是，那么（ ） (A )7 (B) 3 (C ) 7 (D) 3三、解答题1关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值2若一元二次方程x2(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，求a+b的值.3设x1、x2 是一元二次方程x2+4x3=0的两个根，且2x1(x22+5x23)+a =2，求a的值.4方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，求（x1-1）（x2-1）的值.5已知2是关于的一元二次方程x24xp0的一个根，求该方程的另一个根6若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值7已知关于的一元二次方程(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为，且满足，求的值8已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是时，求的值9已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11求证：关于的方程有实数根10若是关于的方程的两个实数根，且都大于1(1) 求实数的取值范围；(2) 若，求的值11. 关于的方程有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求的值.12.若关于的方程两根的平方和是9. 求